1.1集合的概念（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了集合的概念知识体系。从元素与集合的基础定义出发，明确集合相等及元素三大特征（确定性、互异性、无序性），进而学习元素与集合的从属关系、常用数集符号，掌握列举法和描述法两种表示方法，了解集合分类（有限集、无限集、空集），最终形成集合新定义题型的解题思路，构建从概念到应用的学习支架。 知识链路以“概念-特征-关系-表示-分类-应用”为逻辑主线，通过易错点辨析（如忽略确定性、互异性）和题型分类（判断构成、元素关系、表示方法等）强化理解。每个知识点配有方法技巧和典型例题，注重培养学生用数学眼光辨析集合确定性，用数学思维严谨处理参数问题，用规范数学语言表示集合，提升抽象能力与逻辑推理意识。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 🔷知识点一 元素与集合的基础定义 1.元素与集合概念 把研究对象统称为元素，常用小写字母表示； 把一些确定元素组成的总体叫做集合（简称集），常用大写字母表示. 2.集合相等 若两个集合包含完全相同的元素，则称两个集合相等，与元素排列顺序无关. 3.集合中元素三大特征 ① 确定性：给定集合，任意对象能明确判断属于或不属于该集合，模糊描述无法构成集合. 例：“本班个子很高的学生”无判定标准，不能构成集合；“本班身高≥175cm的学生”标准清晰，可构成集合. ② 互异性：同一个集合内元素互不重复，重复元素只保留一个. 例：书写错误，正确写法；含参数集合求出参数后必须回代检验互异性. ③ 无序性：集合元素无先后顺序，与是同一个集合. ⚠️特别提醒 判断对象能否组成集合，首要检验确定性；求解参数题目，最后必须检验互异性. 🔷 知识点二 元素与集合的从属关系 1.两类符号 若是集合的元素，记作，读作“属于”； 若不是集合的元素，记作，读作“不属于”. 2.书写规范 仅用于元素与集合之间，不能用于集合与集合之间. 🔷 知识点三　常用数集及其专用符号 集合名称 含义 符号 自然数集 全体非负整数（含0） 正整数集 全体正整数（不含0） 或 整数集 全体整数 有理数集 全体有理数 实数集 全体实数 📌归纳总结 0属于自然数集，不属于正整数集；无理数属于实数集，不属于有理数集. 🔷 知识点四　集合的两种表示方法 1. 列举法 把集合所有元素一一列举，写在大括号内，元素间用逗号分隔. 适用：元素个数少、有明显规律的有限集. 格式：； 注意：自带“全体、所有”含义，不能额外加“所有、全体”. 2. 描述法 用集合元素满足的共同特征描述集合，标准格式： 竖线左侧：代表元素（区分数集/点集关键）；竖线右侧：元素约束条件. 数集示例： 点集示例：（元素是平面坐标点） ⚠️特别提醒 区分数集与点集： 代表数字，是数集；代表坐标，是点集；两类集合无公共元素. 🔷 知识点五　 集合分类 1.有限集：集合元素个数有限（例：小于10的质数构成的集合） 2.无限集：集合元素个数无限（例：全体自然数、所有偶数） 3.空集：不含任何元素的集合，记作 易错区分：（无元素）、（含一个元素0）、（含一个元素空集） 🔷 知识点六　 集合新定义通用解题思路 1.读懂题干给出的运算或性质规则； 2.代入集合内元素逐一计算； 3.根据互异性剔除重复元素，统计最终元素； 4.出现参数时，分情况讨论并检验互异性. 📌归纳总结 判断集合三步走：一看确定性，二看互异性，三看无序性； 表示集合选方法：少元素用列举，无限/范围类用描述； 分清代表元素：单字母是数集，有序数对是点集. 易错点1 忽略确定性，误判能否构成集合 错例：“好看的图画”“接近10的实数”可以组成集合 错因：无明确判定标准，不满足确定性. 规避方法：能给出清晰边界、可明确判定“是或否”的对象才能构成集合. 易错点2 忽略互异性，参数求解不检验 错例：集合，直接保留 错因：时集合变为，出现重复元素，违反互异性，应舍去. 规避方法：求出参数后代回原集合，删除造成元素重复的解. 易错点3 混淆元素与集合、集合与集合符号 错例：、 错因：只能连接元素和集合；集合之间包含用. 正确：，. 易错点4 分不清数集与点集，判定交集出错 错例：认为与有相同元素 错因：前者是数字集合，后者是坐标点集合，二者无公共元素，交集为空集. 规避方法：先看竖线左侧代表元素，单个字母为数集，有序数对为点集. 易错点5 空集相关概念混淆 错例：认为 错因：没有任何元素；有一个数字元素0；有一个集合元素，三者完全不同. 规避方法：牢记三者本质区别，解题时先明确集合的元素构成，区分“空集本身”“含0的集合”“含空集的集合”三类概念，不混淆三者的定义与符号表示。 易错点6 描述法书写格式错误 错例：{所有大于3的整数}、{x大于0小于5} 错因：描述法规范格式必须带竖线，不能省略代表元素与分隔符，正确写法应该是. 规避方法：写描述法时，必须严格遵循{x|x满足的条件}格式，先写代表元素，再用竖线分隔，注明取值范围，不省略符号，不写口语化表述. 题型一：判断对象能否构成集合 📝方法技巧 判定标准：确定性；模糊描述（高大、优秀、接近）不能成集；确定、可量化对象可成集. 1.（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 【答案】B 【分析】根据集合的定义一一判断即可． 【详解】对于A，“一个平面内的所有点”是确定的，能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“某校高一（1）班的高个子学生”的标准不确定，因而不能构成集合，故B符合题意； 对于C，“所有大于零的正整数”的标准确定，能构成集合，故C不符合题意； 对于D，“不等于0的偶数”的标准确定，能构成集合，故D不符合题意. 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（   ）． A．①④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据集合的概念逐个确定即可． 【详解】①能构成集合；②不能构成集合，“难题”标准不确定； ③不能构成集合，“比较接近1”的标准不明确； ④能构成集合；⑤能构成集合． 故选：A． 3.（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 4．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数，需找出10以内所有符合质数定义的数组成集合；对于选项B，集合中的元素具有无序性，即集合中的元素顺序不影响集合本身，结合集合元素的无序性判断即可；对于选项C，集合中的元素具有互异性，即集合中的元素不能重复，先求解方程，再根据元素的互异性判断即可；对于选项D，：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，由此即可判断正误. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 由集合元素的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D正确． 故选：ABD． 题型二： 判断元素与集合的关系 📝方法技巧 1.熟记数集符号； 2.代入验证元素是否满足集合条件，满足用，不满足用. 1.（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 2.（2026•通州区校级模拟）已知集合S＝{x∈Z||x|≤2}，T＝{y|y≥﹣2}，则下列正确的是（　　） A． B．S∩T＝S C．{﹣1}∈T D．SUT＝S 【答案】B 【分析】先求出集合S，再利用元素与集合的关系和集合间的包含关系判断各个选项即可． 【详解】解：由题意可知，集合S＝{x∈Z||x|≤2}＝{x∈Z|﹣2≤x≤2}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 所以，故A错误； 因为T＝{y|y≥﹣2}，所以S⫋T，所以S∩T＝S，SUT＝T， 故B正确，D错误； 因为{﹣1}⊆T，故C错误． 故选：B． 3.（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 4.（多选）（25-26•高安市校级月考）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z，k＝0，1，2，3，4}，给出如下四个结论，正确的是（　　） A．2026∈[1] B．﹣3∈[3] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D．“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]” 【答案】ACD 【分析】对于A求2026除以5的余数即可判断；对于B由﹣3＝5×（﹣1）+2即可判断；对于C整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，即可判断；对于D若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，则a﹣b∈[0]，当a﹣b∈[0]时，得a＝5n+b，即[a]＝[b]进而求解． 【详解】解：由题意，[k]＝{5n+k|n∈Z，k＝0，1，2，3，4}， 对于A：因为2026÷5＝405⋯⋯1，所以2026∈[1]，故A正确； 对于B：因为﹣3＝5×（﹣1）+2，所以﹣3∈[2]，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4， 所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同， 其差能被5整除，故a﹣b∈[0]， 当a﹣b∈[0]时，a﹣b＝5n，n∈Z，所以a＝5n+b，所以[a]＝[b]， 即整数a，b属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD． 5.（多选）（25-26•南安市月考）非空数集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A；由此可知：下列判断中，正确的是（　　） A．﹣1∈A B．若x，y∈A，则x﹣y∈A C． D．若x，y∈A，则xy∈A 【答案】CD 【分析】由题意，根据性质一一判断即可． 【详解】解：对于A，假设﹣1∈A， 因为集合A是非空集合，所以存在x∈A， 由性质①，因为﹣1∈A，x∈A，所以， 由性质②，因为x∈A，﹣x∈A，所以x﹣x＝0∈A， 若y＝0，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故﹣1∉A，故A错误； 对于B，由性质①，因为x∈A，所以 ， 所以1+1＝2∈A，所以1﹣2＝﹣1∈A， 而﹣1∉A，故选项B错误； 对于选项C，因为集合A是非空集合，所以存在x∈A， 由性质①，因为x∈A，所以， 由性质②，因为1∈A，所以1+1＝2∈A，所以1+2＝3∈A，⋯，2025∈A，2026∈A， 由性质①，，故C正确； 对于D，由性质①，因为x∈A，所以， 由性质①，因为y∈A，1∈A，所以， 由性质①，因为x∈A，，所以，故D正确． 故选：CD． 题型三： 集合的表示方法 📝方法技巧 有限少量元素用列举法；无限、范围、特征类用描述法；点集必须用作代表元. 1． （25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用描述法表示集合，可表示为_______. 【答案】是的倍数且 【分析】描述元素4,8,12,16的共同特征即可. 【详解】用描述法表示集合，可以为：是的倍数且. 故答案为：是的倍数且（答案不唯一） 2.（25-26高一上·安徽·阶段检测）方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】BC 【分析】解出方程，根据集合的描述法、列举法得出答案. 【详解】由可得， 所以根据描述法、列举法可得方程的解集为或， 故选：BC 3.（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 4．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 5.（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 题型四：由元素与集合关系求参数 📝方法技巧 1.将元素代入集合等式或不等式，解出参数候选值； 2.必检验互异性，剔除使集合元素重复的参数； 3.区分数集、点集，对应代入计算. 1.（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 2.（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 3.（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 4.（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 5.（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 题型五： 判断集合元素个数 📝方法技巧 1.列举所有满足条件的元素； 2.重复元素只计1次，最后统计总数； 3.含分式、根式集合注意定义域限制（分母≠0，被开方数≥0）. 1.（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 3.（25-26高一上·吉林·阶段检测）由实数所组成的集合的元素个数可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】利用集合的互异性及对的取值情况进行分类讨论求解. 【详解】当时，根据集合的互异性，可知集合的元素为0，集合的元素个数为1； 当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个； 当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个. 综上可知集合的元素个数为1或2. 故选：BC 4.（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 【答案】3 【分析】利用定义作集合运算，注意元素的互异性即可. 【详解】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 5.（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知，，，，则中元素个数的可能值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】通过取值的所有可能，列出等式，逐个求解即可. 【详解】对α，β取值的所有可能，考虑到，列表如下： 当时，由，解得：； 当时，由，解得：； 当时，由，解得：或； 当时，由，解得：或； 当时，由，解得：或； 当时，由，解得：或； 当时，由，解得：或； 当时，由，解得：或； 当时，由，解得：或； 当时，由，解得：或或； 所以中元素个数的可能值为1或2或3， 故选：BCD． 题型六： 集合新定义题型 📝方法技巧 严格按照题干给出的运算规则代入计算，计算完成后根据互异性去重，再求解问题. 1.（25-26高一上·吉林·阶段检测）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2025个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为． D．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D. 【详解】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，且与数集中的最大元素相等，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为对任意的，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集A，B有上确界，设，， 由上确界的定义可知，对于任意的，，都有，， 所以，即，故正确； 对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，， 此时， 则，故D错误. 故选：AC 2． （2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 6 8 【分析】第一空直接按定义分类讨论即可；第二空需分析出邻点需满足的约束条件，结合不等关系的要求得到邻点列可能的排列，最后构造出符合条件的邻点列. 【详解】（1）设与互为邻点的点为，则且， 若，则，解得，（舍去）或，点为； 若，则，解得或，或，点为； 若，则，解得（舍去）或，，点为， 综上，满足条件的点共有个； （2）根据，以及点集坐标范围可得，记， 则该邻点列各点的依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件， 因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以和 一样也是偶数，即为偶数，所以和的奇偶性相同， 即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知，其横纵坐标之和为奇数， 点集中满足为奇数的点共有个，依次为， 对应的值依次为（依次递减），满足要求的邻点列只能从这个点中选择 且按值递减的顺序排列，假设个点均可以存在，即有邻点列 ，可验证相邻点确实均为邻点，所以的最大值为. 3.（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】 (2) (3)证明：对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性： 若全相同：三个差都为，和为偶数； 若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数； 所有位置求和得：是偶数； 若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证. 【分析】（1）根据距离的定义，找出满足的即可； （2）先根据，分析元素所满足的条件，再求的最大值； （3）首先讨论三个差的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证. 【详解】（1），说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为， 则所有满足条件的为： ； （2）已知，， ，， 即和中恰好各有个分量为（其余为） 设的的位置集合为，的0的位置集合为,则， 则，而的最小值为， 因此的最大值为 （3）略 4.（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． (1)若，写出 中与x正交的所有元素； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见解析 (3)2个 【分析】（1）由定义可写出中与x正交的所有元素； （2）令，，当时，，当时，，那么，可得证； （3）当时，不妨设（有14个1），（有7个，7个1），则正交，再令，，，且它们之间互相正交，讨论相应位置数字都相同的个数，可得出，利用它们相互正交得矛盾，从而得出A中最多可以有的元素个数. 【详解】（1）设，且， 若与正交，则， 可得或或或或或； 中所有与x正交的元素为． （2）对于，存在，，使得． 令，， 当时，，当时，． 那么． 所以为偶数． （3）若时，不妨设 则与正交． 假设且它们互相正交． 设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外． a，b相应位置数字都相同的共有m个， b，c相应位置数字都相同的共有n个， 则． 所以，同理． 可得． 由于， 可得矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上，时，A中最多可以有2个元素． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 🔷知识点一 元素与集合的基础定义 1.元素与集合概念 把研究对象统称为元素，常用小写字母表示； 把一些确定元素组成的总体叫做集合（简称集），常用大写字母表示. 2.集合相等 若两个集合包含完全相同的元素，则称两个集合相等，与元素排列顺序无关. 3.集合中元素三大特征 ① 确定性：给定集合，任意对象能明确判断属于或不属于该集合，模糊描述无法构成集合. 例：“本班个子很高的学生”无判定标准，不能构成集合；“本班身高≥175cm的学生”标准清晰，可构成集合. ② 互异性：同一个集合内元素互不重复，重复元素只保留一个. 例：书写错误，正确写法；含参数集合求出参数后必须回代检验互异性. ③ 无序性：集合元素无先后顺序，与是同一个集合. ⚠️特别提醒 判断对象能否组成集合，首要检验确定性；求解参数题目，最后必须检验互异性. 🔷 知识点二 元素与集合的从属关系 1.两类符号 若是集合的元素，记作，读作“属于”； 若不是集合的元素，记作，读作“不属于”. 2.书写规范 仅用于元素与集合之间，不能用于集合与集合之间. 🔷 知识点三　常用数集及其专用符号 集合名称 含义 符号 自然数集 全体非负整数（含0） 正整数集 全体正整数（不含0） 或 整数集 全体整数 有理数集 全体有理数 实数集 全体实数 📌归纳总结 0属于自然数集，不属于正整数集；无理数属于实数集，不属于有理数集. 🔷 知识点四　集合的两种表示方法 1. 列举法 把集合所有元素一一列举，写在大括号内，元素间用逗号分隔. 适用：元素个数少、有明显规律的有限集. 格式：； 注意：自带“全体、所有”含义，不能额外加“所有、全体”. 2. 描述法 用集合元素满足的共同特征描述集合，标准格式： 竖线左侧：代表元素（区分数集/点集关键）；竖线右侧：元素约束条件. 数集示例： 点集示例：（元素是平面坐标点） ⚠️特别提醒 区分数集与点集： 代表数字，是数集；代表坐标，是点集；两类集合无公共元素. 🔷 知识点五　 集合分类 1.有限集：集合元素个数有限（例：小于10的质数构成的集合） 2.无限集：集合元素个数无限（例：全体自然数、所有偶数） 3.空集：不含任何元素的集合，记作 易错区分：（无元素）、（含一个元素0）、（含一个元素空集） 🔷 知识点六　 集合新定义通用解题思路 1.读懂题干给出的运算或性质规则； 2.代入集合内元素逐一计算； 3.根据互异性剔除重复元素，统计最终元素； 4.出现参数时，分情况讨论并检验互异性. 📌归纳总结 判断集合三步走：一看确定性，二看互异性，三看无序性； 表示集合选方法：少元素用列举，无限/范围类用描述； 分清代表元素：单字母是数集，有序数对是点集. 易错点1 忽略确定性，误判能否构成集合 错例：“好看的图画”“接近10的实数”可以组成集合 错因：无明确判定标准，不满足确定性. 规避方法：能给出清晰边界、可明确判定“是或否”的对象才能构成集合. 易错点2 忽略互异性，参数求解不检验 错例：集合，直接保留 错因：时集合变为，出现重复元素，违反互异性，应舍去. 规避方法：求出参数后代回原集合，删除造成元素重复的解. 易错点3 混淆元素与集合、集合与集合符号 错例：、 错因：只能连接元素和集合；集合之间包含用. 正确：，. 易错点4 分不清数集与点集，判定交集出错 错例：认为与有相同元素 错因：前者是数字集合，后者是坐标点集合，二者无公共元素，交集为空集. 规避方法：先看竖线左侧代表元素，单个字母为数集，有序数对为点集. 易错点5 空集相关概念混淆 错例：认为 错因：没有任何元素；有一个数字元素0；有一个集合元素，三者完全不同. 规避方法：牢记三者本质区别，解题时先明确集合的元素构成，区分“空集本身”“含0的集合”“含空集的集合”三类概念，不混淆三者的定义与符号表示。 易错点6 描述法书写格式错误 错例：{所有大于3的整数}、{x大于0小于5} 错因：描述法规范格式必须带竖线，不能省略代表元素与分隔符，正确写法应该是. 规避方法：写描述法时，必须严格遵循{x|x满足的条件}格式，先写代表元素，再用竖线分隔，注明取值范围，不省略符号，不写口语化表述. 题型一：判断对象能否构成集合 📝方法技巧 判定标准：确定性；模糊描述（高大、优秀、接近）不能成集；确定、可量化对象可成集. 1.（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（   ）． A．①④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 3.（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 4．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 题型二： 判断元素与集合的关系 📝方法技巧 1.熟记数集符号； 2.代入验证元素是否满足集合条件，满足用，不满足用. 1.（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2026•通州区校级模拟）已知集合S＝{x∈Z||x|≤2}，T＝{y|y≥﹣2}，则下列正确的是（　　） A． B．S∩T＝S C．{﹣1}∈T D．SUT＝S 3.（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（25-26•高安市校级月考）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z，k＝0，1，2，3，4}，给出如下四个结论，正确的是（　　） A．2026∈[1] B．﹣3∈[3] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D．“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]” 5.（多选）（25-26•南安市月考）非空数集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A；由此可知：下列判断中，正确的是（　　） A．﹣1∈A B．若x，y∈A，则x﹣y∈A C． D．若x，y∈A，则xy∈A 题型三： 集合的表示方法 📝方法技巧 有限少量元素用列举法；无限、范围、特征类用描述法；点集必须用作代表元. 1． （25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用描述法表示集合，可表示为_______. 2.（25-26高一上·安徽·阶段检测）方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 3.（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 4．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 5.（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 题型四：由元素与集合关系求参数 📝方法技巧 1.将元素代入集合等式或不等式，解出参数候选值； 2.必检验互异性，剔除使集合元素重复的参数； 3.区分数集、点集，对应代入计算. 1.（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 2.（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 5.（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 题型五： 判断集合元素个数 📝方法技巧 1.列举所有满足条件的元素； 2.重复元素只计1次，最后统计总数； 3.含分式、根式集合注意定义域限制（分母≠0，被开方数≥0）. 1.（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·吉林·阶段检测）由实数所组成的集合的元素个数可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 5.（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知，，，，则中元素个数的可能值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型六： 集合新定义题型 📝方法技巧 严格按照题干给出的运算规则代入计算，计算完成后根据互异性去重，再求解问题. 1.（25-26高一上·吉林·阶段检测）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2025个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为． D．若数集，有上确界，则数集一定也有上确界，为 2． （2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 3.（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 4.（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． (1)若，写出 中与x正交的所有元素； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $