15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时）-课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定、互逆命题及逆定理，课堂导入先回顾线段和角的对称轴、角平分线性质，通过类比角平分线性质提出问题，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于采用探究式教学，通过画图观察、猜想验证得出性质，培养几何直观与推理能力（数学思维）。结合实例分析互逆命题结构，发展抽象能力（数学眼光），当堂检测题如三角形垂直平分线交点、周长计算，强化应用意识（数学语言）。小结清晰，助力学生构建知识体系，提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

15.1.2 线段的垂直平分线 （第1课时） 人教版 (2024) 八年级上册 第十五章 轴对称 1 理解并掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理 结合具体的实例，了解原命题及其逆命题、定理及其逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题，识别两个命题是不是互逆命题 能够运用线段垂直平分线的性质和判定定理进行简单的几何证明和计算 学习目标 2 知识回顾 线段和角是轴对称图形，你能画出它们的对称轴吗？ 角的对称轴是该角的 平分线所在的直线. 线段的对称轴是 其垂直平分线. 角平分线的性质是什么？ 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线. 3 新知引入 线段和角是轴对称图形，你能画出它们的对称轴吗？ 角平分线的性质是什么？ E D P 角的平分线上的点到 角两边的距离相等. 类比角的平分线，线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离的关系是什么？ 4 探索新知 探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，···在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3 ，···与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 发现：P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，… 如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B、线段 P2A 与 P2B、线段 P3A 与P3B ······都是重合的，因此它们也分别相等. 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 5 探索新知 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质. 如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC＝BC，点 P 在 l 上. 求证：PA＝PB. A B l P C 证明：当点 P 与点 C 不重合时， ∵ l⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB． 又 AC＝CB，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB (SAS)． ∴PA＝PB． 当点 P 与点 C 重合时，显然成立. 6 探索新知 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 任意一点 A B l P C 几何语言： ∵ PC ⊥ AB，AC＝BC， ∴ PA＝PB. 作用：利用线段垂直平分线的性质证明线段相等或求线段长. 拓展：三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等. 7 探索新知 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？ 与线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等. 命题成立吗？ 你会证明吗？ 方法点拨：我们需要过点 P 作出一条辅助线，然后证明这条辅助线是线段 AB 的垂直平分线. 注意：这条辅助线不能同时体现出垂直与平分两个性质. 8 探索新知 已知，PA＝PB． 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 作垂直，证平分 证明：如图，过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D， 则有∠PDA＝∠PDB＝90°． 在 Rt△PDA 和 Rt△PDB 中， ∴Rt△PDA≌Rt△PDB (HL)． ∴AD＝BD． ∴PD 垂直平分 AB，即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 9 探索新知 已知，PA＝PB． 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 作平分，证垂直 证明：如图，取 AB 的中点 D，连接 PD. 则有 AD＝BD． 在△PDA 和△PDB 中， ∴△PDA≌△PDB (SSS)． ∴∠PDA＝∠PDB＝90°． ∴PD 垂直平分 AB，即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 10 探索新知 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. A B l P C 几何语言： ∵ PA＝PB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 11 探索新知 思考：分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 两个命题的题设、结论正好相反． 你还学习过其他的具 有类似关系的命题吗？ 两条直线平行，内错角相等. 内错角相等，两条直线平行. 题设 结论 结论 题设 12 探索新知 互逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 13 探索新知 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理， “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 14 探索新知 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 注意： 1.互逆定理都是真命题. 2.一个定理一定有一个逆命题，但不一定有逆定理. 3.互逆定理是一对互逆命题，但一对互逆命题不一定是一对互逆定理. 15 当堂检测 16 当堂检测 B 17 B 当堂检测 18 A 当堂检测 19 A 当堂检测 20 C 当堂检测 21 C 当堂检测 22 当堂检测 23 当堂检测 24 本节课学习了哪些知识点呢？ 1. 线段垂直平分线的性质与判定； 2. 互逆命题； 3. 互逆定理. 25 1.到的三个顶点距离相等的点是的( ) A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三边中线的交点 解析：到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：B. 2.如图，中，，的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为( ) A.14 B.16 C.18 D.20 解析：由题意可得：， ，， . 3.下列命题中，逆命题是真命题的是( ) A.直角三角形的两锐角互余 B.等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17 C.全等三角形的面积相等 D.若，则 解析：A、逆命题为：有两角互余的三角形为直角三角形；此逆命题为真命题，所以A选项正确； B、逆命题为：等腰三角形周长为17，则其中两边长是3和7；也可能是5，7，此逆命题为假命题，所以B选项错误； 3.下列命题中，逆命题是真命题的是( ) A.直角三角形的两锐角互余 B.等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17 C.全等三角形的面积相等 D.若，则 解析：C、逆命题为：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等；此逆命题为假命题，所以C选项错误； D、逆命题为：若，则；x也可能为，此逆命题为假命题，所以D选项错误；故选：A. 4.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C. 5.如图，在中，，，，是的垂直平分线、M是直线上一动点，则的最小值为( ) A.5 B.10 C.12 D.13 解析：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当A、C、M三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即为12，故选：C. 6.如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且. (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长. 解析：(1)证明：连接. 垂直平分，， ，， 垂直平分，，； 6.如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且. (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长. 解析：(2)的周长为21cm，， ，， ，， ，. $