课时冲关20 利用导数证明不等式（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第13节 导数的综合应用 课时冲关20利用导数证明不等式 学生用书P302 1.(2024·红河州模拟)已知函数f(x)=mx一” 当a≤0时，f(x)>0对任意x∈(0，十o∞)恒成立， 所以函数f(x)在区间(0，十∞)上单调递增； -lnx(m,n∈R). (1)若函数f(x)在(1，f(1)处的切线与直线 当a>0时，由f(x)>0得x>号，由f(x)< x一y=0平行，求实数n的值； (2)若n=1时，函数f(x)恰有两个零点x1,x2 0,得0<x<受，所以画数f(x)在区同 (0<x1<x2),证明：x1+x2>2. 解：①因为了e)”-且切线与直线x 【号十∞)上单调递增，在区间(0，受)上单调 递减.综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调 y=0平行，可得f(1)=n-1=1,所以n=2; 递增区间为(0，十o∞)，无减区间；当a>0时，函 (2)证明：当n=1时，fx)=m-1-1nx, 数f(.x)的单调递增区间为 [号，十小，单调递 [m-⊥-1nx1=00 减区间为0，受) 由题意知 m-1-In t:-0@ (2)当a=1时，f(x)=x2+x-lnx, 要证明f(x)十e>.x2+x+2,只需证明e-lnx ②-①得：lnx2-lnx1=二飞 -2>0, T1T2 设g(x)=e-lnx-2,则问题转化为证明对任 x2一1 意的x>0,g(x)>0,令g'(x)=c-1=0,得 x2=x1 即ln .③ e'1 x 令1=2，则x2=tx1,且>1， 易知方程有唯一解，不妨设为x。,则x。满足e 又因为x1十x2=x1十tx1=(1十t)x1,由③知： 1 In t=t-1 ta 当x变化时，g(x)和g(x)变化情况如下表： 所以-品>1 x (0,xo) To (x0,十∞) g'(x) 0 要证x1十x2>2, 只需证(1十)1>2， g(z) 递减 极小值 递增 tin t g(x)min=g(xo)=e'o-In o-2= 1十o-2, 即证，1>21nt, t 因为x>0,且xo≠1，所以g(x)m>2W1-2=0, 即t-1-21n>0. 因此不等式得证。 t 3.(2024·岳阳市模拟)已知函数f(x)=ax2+ 令A)=1--2n14>1,则W)= In x+2. (1)若a∈R,讨论函数f(x)的单调性； 4-1>0, (2)曲线g(x)=f(x)-a.x2与直线l交于 2 A(x1y1),B(x2y2)两点，其中x1<x2,若直线 所以h(t)在(1，十o∞)上单调递增且h(1)=0, 所以当t∈(1，+o∞)时，h(t)>0, 1斜率为k,求证<名< 即x1十x2>2. 解：(1)fx)=2ax+1-2a2+1(x>0. 2.(2024·乐山市模拟)已知函数f(x)=x2-(a -2)x-alnx(a∈R). a≥0时，恒有f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单 (1)求函数y=f(x)的单调区间； 调递增， (2)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)十e a<0时，令f(x)>0,即2ax2+1>0,解得0< >x2+x+2. ,令f'(x)<0,即2ax2+1<0,解得x 解：(1)函数f(x)的定义域是(0，十∞)， f'(x)=2x-(a-2)-4=x+1)(2.x-a) 1 -2a ·434· 第二章函数、导数及其应用 综上，a≥0时，f(x)在(0，+o∞)上单调递增， 4<0时fx)在0厂园上单调道婚，在 (3)证明：授am)=iaa)-(a+号)n+n n∈N", 云+上单羽递减： 则h(a+1)-h)=1+(a+号)nn (2)证明：k=8）-g()_1n-n西 -fa+）)in+D-1-(a+号f+) x2-x1 x2一t1 要证<脚证n品石 x2一x1 由(2)知：x= 1∈(0,1]， x2一1 到f)a+)(+a). 等价于1<4<，令=，则>1， In ta 所以h(n+l)-h(n)<0,故h(n)在n∈N*上递 TI 减，故h(n)≤h(1)=1; 只湾证1<品. 由t>1知lnt>0,故等价于lnt<t-1<tlnt, 令g()=1nx-（x+5D且x>0. 设90)=4-1-1n,则g0=1-}>0 4x+2 所以o(t)在(1，十o∞)上单调递增，所以(t)> 则'(x)=x-1)1- x(2.x十1)2 p(1)=0,即t-1>lnt. 当0<x<1时，9(x)>0,9(x)递增， 又设h(t)=tlnt-(t-1),则h'(t)=lnt>0, 当x>1时，p'(x)<0,p(x)递减， 所以h(t)在(1，+o∞)上单调递增， 所以9(x)≤p(1)=0, 所以h(t)>h(1)=0,即tlnt>t-1, 故在xe(0,十oo)上n≤5)gD恒成立， 4x+2 4.@23·天津卷已知函数f)-(任+号》nx+1以 别m)-ha+1)-(a+)n1+)-1< (1)求曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率； 〔+出 1 (2)当x>0时，证明：f(x)>1; 一1一 2+) 4n(3n+2) (3证明号<aa》-(a+号)n+naeN 解：(1)fx)=ln(x+D+ln(x+D, (0马)所以A(2)-a(3)< 则f)++十D 1 1n(x+1) -}ac8)-（g）…aa 所以了2)=号-2， -1)-h(m)< (品) 故y=f)在工=2处的切线针率为写- 累加得A(2)-A<-) (2)证明：要证x>0时fx)-(但+号)h(x十 而h(2)=2- n2h1)=1,为>> 1)>1,即证ln(x+1)> ,年2>0 n2,所以h(2)=2-多n2>音，则-A(m) 令ga)=nct1)年g且>0， (-)-2+1n2m≥8. 则ge市++0 4 所以)-am)<h2-1+(-)小 所以g(x)在(0，十∞)上递增，则g(x)>g(0) 含n2-1+2<故m>≥3： =0, 即ln(x+1)>2 十2 筛上，吾<hm≤1，即号<iaal)-(+》ha 所以当x>0时，f(x)>1. +n≤1，n∈N. ·435·