课时冲关19 利用导数研究函数的极值、最值（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 课时冲关19利用导数研究函数的极值、最值 学生用书P301 [基础训练组] 解析：A[化简可得a≥x3-3.x十3-工 1.(2024·沈阳市模拟)设函数f(.x)=xe+1,则 设fx)=x-3z+3-忌，则a≥fx)m, A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 f(x)=3x2-3-1-=(x-1D(3x+3+e). C.x=一1为f(x)的极大值点 可证3.x十3十e>0恒成立. D.x=一1为f(x)的极小值点 解析：D[由于f(x)=xe十1，可得 令f'(x)=0,解得x=1,故当x∈[-2,1)时， f'(x)=(x+1)e, g'(x)<0;当x∈(1，+∞)时，g(x)>0,故 令f'(x)=(.x+1)e=0可得x=-1, f(x)在[-2,1)上是减函数，在(1，十∞)上是增 令f(x)=(x十1)e>0可得x>-1,即函数在 函数 (-1,十c∞)上是增函数，令f'(x)=(x+1)e< 所以fm=gD=1-3+8-是=1-.] 0可得x<-1,即函数在(-∞，-1)上是减函 5.(多选)(2022·新高考I卷，10)已知函数f(x) 数，所以x=一1为f(x)的极小值点.] =x3-x十1，则 2.函数f)=-1ax的最小值为 ( A.f(x)有两个极值点 A. B.f(x)有三个零点 B.1 C.0 D.不存在 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 解析：A[f(x)=x-1=,且x>0. D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 令f(x)>0,得x>1;令f(x)<0,得0<x<1. 解析：AC[f'(x)=3x2-1,所以f(x)有两个 .f(x)在x=1处取得极小值也是最小值，且 极值点一 =1-25>0，所以 9 f)=3-1a1=] f(x)只有一个零点：由f(x)十f(一x)=2可 3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ae-lnx在 知，点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心；令 区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为() f(x)=3x2-1=2,可得x=±1，又f(1)= A.e2 B.e f(-1)=1, C.e D.e2 当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1, 解析：C[由题意可知f(x)=ae一1≥0在 当切点为（一1,1）时，切线方程为y=2x十3.门 区间(1,2)上恒成立，即a ()设g) 6.(多选)对于函数八)=名，下列说法正确的是 xe,则在x∈(1,2)上恒有g'(x)=(x十1)e>0,所 以g(x)min=g(1)=e,则 A.f(x)在x=1处取得极大值日 B.f(x)有两个不同的零点 e1.] 4.若关于x的不等式x3一3.x十3 是-00有 C.f(4)<f(π)<f(3) D.xe>2e" 解，其中x≥一2，则实数a的最小值为( ) 解析：AC[本题考查利用导数研究函数的性 A1- 成2-吕 质.由函数f)=二，可得函教f(x)的导数为 C. D.1+2e2 )=1长当1时fx)f)单阙 ·431· 高考总复习人教数学B版（新教材）》 递减；当x<1时，f'(x)>0,f(x)单调递增.可 因为x=1是f(x)的极大值点，所以一1>1， 得画数fx)在x=1处取得极大值。，所以A正 解得一1<a<0.综合①②得实数a的取值范围 确；因为f(.x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞) 是a>-1. 上单调递减，且f(0)=0,当x>0时，f(x)>0恒成 答案：a>-1 立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误； 10.(2024·银川市模拟)己知函数f(x)=ax一1 由f(x)在(1，十∞)上单调递减，且4>π>3> -lnx(a∈R). 1,可得f(4)<f(π)<f(3),所以C正确；由 (1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数； f(x)在(1，十o∞)上单调递减，且π>2>1，可得 (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，Hx∈ <号，即心<2e,所以D错误.] (0,十∞)，f(x)≥bx一2恒成立，求实数b的最 大值. 7.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异 解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞) 的三个公共点，则a的取值范围是 f'(x)=a-1=ax-1 解析：令f(x)=3x2-3=0,得x=土1，可得极 当a≤0时，f'(x)≤0在(0，十∞)上恒成立， 大值为f(一1)=2，极小值为f(1)=一2，如图， 函数f(x)在(0，十∞)上单调递减.所以f(x) 观察得一2<a<2时恰有三个不同的公共，点，故 在(0，十∞)上没有极值点. a的取值范围是(-2,2). 当a>0时，由fx)>0,得>日 所以f)在(0，)上逼减，在（日+∞）上通 增，即f)在=是处有权小值 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上没有极值，点； 答案：(-2,2) 当a>0时，f(x)在(0，十o∞)上有一个极值点. 8.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件) (2),函数f(x)在x=1处取得极值， 的函数关系式为y=-x3+27x十123(x>0), f(1)=a-1=0,则a=1,从而f(x)=x-1-lnx 则获得最大利润时的年产量为 百万件. 解析：y=-3.x2十27=-3(x十3)(x-3), 因此f(x)≥bx-2,即1+1-n≥6， 当0<x<3时，y>0;当x>3时y<0. 令g)=1+上ln,则g()=血x-2, 故当x=3时，该商品的年利涧最大. 答案：3 由g'(x)≥0得x≥e2, 则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2,十∞)上递增， 9.设函数f(x)=lnx-合ax2-c,若x=1是 f(x)的极大值点，则实数a的取值范围为 g)m=ge)=1-名故实数b的漾大位是1一 解析：f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(.x)= [能力提升组] 11.(2024·新乡市模拟)若函数f(x)=-x2+ax ax-b,由f(1)=0,得b=1-a. 十21nx在(1,2)上有最大值，则实数a的取值范 ÷f(x)=1-ax+a-1=二ax2+1+az-z 围为 A.(0,+∞) B.(0,3) =-（ax+1)(.x-1) C.(3,+∞) D.(1,3) ①若a≥0，当0<x<1时，f'(x)>0,f(x)单调 解析：B [f(x)=-2x+a+2 递增；当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减， -2x2+a.x+2 所以x=1是f(x)的极大值，点。 ②若a<0,由f'(x)=0,得x=1或x=-1 要使函数f(x)=-x2十a.x十2lnx在(1,2)上 有最大值， ·432· 第二章函数、导数及其应用 则函数f(x)=-x2十ax+2lnx在1,2)上有 极大值点，且x1<x2,则需满足f'(x。)>0,即 极大值。 e eeloga (n)ane 即方程-2x2十.x十2=0有两个不等实根，且 In a Ina)P→lna 较大根在区间(1,2). 10 (In a)2 In a lna>1-ln(lna)2,可解得a>e -2×12+a·1+2>0 解得0<a<3.] (-2×22+a·2+2<0 或0<a<1,由于0a<1,取交集得0<a<】 e 12.(2024·南充市模拟)函数f(.x)=x3十x2-a.x 答案(0， 一4在区间（一1,1）内恰有一个极值点，则实数 a的取值范围为 14.(2024·达州市模拟)已知函数f(x)=lnx A.(1,5) B.[1,5) ar.g(x)-g-(2a+D)x+(a+DInr. C.(1,5] D.(-∞，1)U(5,+c∞) (1)当a=1时，求函数f(.x)的极大值； 解析：B[由题意，f(x)=3x2+2x一a, (2)当a≥1时，求证：方程f(x)=g(x)有唯一 则f(-1)f(1)<0,即(1-a)(5-a)<0, 实根 解得1<a<5. 解：(1)a=1时，函数f(x)=lnx-x,f'(x) 当a=1时，函数f(x)=x3十x2-x一4在区间 (一1,1)恰有一个极值点， }-11号，当ze01时fa>0,当xea, x 当a=5时，函数f(.x)=x3+x2-5.x-4在区 十o∞)时，f(x)<0, 间(-1,1)没有一个极值点.] .f(x)在(0,1)上递增，在(1，十∞)上递减， 13.(2022·全国乙卷，16)已知x=x1和x=x2分 ∴.x=1时，函数f(x)取得极大值f(1)=-1. 别是函数f(.x)=2a-ex2(a>0且a≠1)的极 (2)方程f(x)=g(x)的根 z2-(a+10x十 小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范 围是 alnx=0的根，令A)=-(u十1)r+ 解析：f'(x)=2(a'lna-ex)至少要有两个零 alnx(x>0,a≥1)， 点x=x1和x=x2,我们对其求导，(x)= (x)=2-(a+1)z十a-(x-a)(x-1) 2a*(In a)2-2e. (1)若a>1,则f"(x)在R上单调递增，此时若 ①当a=1时，h'(x)≥0在(0，十∞)恒成立，函 f(xo)=0,则f(x)在(-o∞，xo)上单调递减， 数h(x)单调递增，方程f(x)=g(x)有唯一实根. 在(xo,十o∞)上单调递增，此时若有x=x1和x ②当a>1时，x∈(0,1)时，h'(x)>0,x∈(1， -x2分别是函数f(x)-2a-ex2(a>0且a a)时，h'(x)<0,x∈(a,+o∞)时，h'(x)>0, ≠1)的极小值点和极大值点，则x1>2,不符 .h(x)在(0,1)，(a,十∞)上单调递增，在(1， 合题意， Q)上单调道减，当h1)=-Q-号<0，x一 (2)若0<a<1,则f'(x)在R上单调递减，此 十∞时，h(x)→十o∞， 时若f(xo)=0,则f'(x)在（一∞，x。)上单调 函数h(x)与x轴只有一个交点，∴.方程f(x) 递增，在(x0,十∞)上单调递减，且x。= =g(x)有唯一实根. o8n0此时若有x=和=分别是西 综上所述，当a≥1时，方程f(x)=g(x)有唯 数f(x)=2a一ex(a>0且a≠1)的极小值，点和 一实根. ·433·