第一章 第2节 命题与量词、充分条件与必要条件（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 自主诊断 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X”. (1)命题p的否定是p. (2)若p是q成立的充分条件，则q是力成立的必 要条件 () (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p台g. ( (4)了x∈M,p(x)与Hx∈M,p(x)的真假性 相同. (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量 词命题. (6)“对顶角相等”是全称量词命题. ( ) 答案：(1)/(2)/(3)/(4)×(5)/ (6) ◆[小题查验] 1.(教材改编)命题“Hx∈R,e-1≥x”的否定是 A.3x∈R,e-1≥x B.Hx∈R,e-1≤x C.3x∈R,e-1<x D.Hx∈R,e-1<x 答案：C 2.(多选)（教材改编）下列命题中为真命题的是 A.Hx∈R,x2>0 B.Hx∈R,-1≤sinx≤1 C.3x∈R,2<0 D.3x∈R,tanx=2 答案：BD 跃升>关键能力 对应 专点1 命题真假的判断（重难点） [典例](1)（多选）(2024·山东省高三模拟)下列结 论正确的是 A.若tana=2,则cos2a=3 5 B若sna十cosg=1.则sina十o2号 C.“]x。∈Z,sinx,∈Z”的否定是“Hx∈Z,sinx氏Z” D.将函数y=|cos2x|的图像向左平移灭个单位 长度，所得图像关于原点对称 [解析]BC[tana=2,则cos2a=cosa一sine cos a+sin a =1-tan'a_ ，故A错误：sina十c0s月=1，则 3 1+tan a sina+og=sina+1-sine)产=2(dna-8）》 3.（2022·浙江卷，4)设x∈R,则“sinx=1”是“cosx =0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A[若sinx=1,则x=受十2x,k∈Z.cosx =0:若cosx=0,则x=2十k,k∈Z,sinx=1或 sinx=-1.若sinx=1可推出cosx=0,充分性成 立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要 条件.门 4.(教材改编)若“x>3”是“x>m”的必要不充分条 件，则m的取值范围是 答案：(3，十∞) 5.下列命题： ①若a2>bc2,则a>b; ②若sina=sinB,则a=B; ③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x 2ay=1平行”的充要条件； ④若f(x)=log2x,则f(|x)是偶函数. 其中正确命题的序号是 解析：对于①，，ac2>bc2,.c2>0,.a>b正确；对 于②，sin30°=sin150°30°=150°，所以②错误； 对于③，l1∥L2台A1B2=A2B1, 即-2a=-4a→a=0且A1C2≠A2C1, 所以③正确；④显然正确. 答案：①③④ 学生用书P5 层级突破素养提升 十>分B正确： 根据存在量词命题的否定是全称量词命题：“了x。 ∈Z,sin o∈Z”的否定是“Hx∈Z,sin Z”,故C 正确；将函数y=|cos2.x的图像向左平移工个单 位长度，得到y=cos2x十 |sin2x为偶 函数，故D错误.] (2)(多选)(2024·山东省高三模拟)下列命题正确 的是 () A.若随机变量X~B(100,),且E(X)=20,则 D(2x+1)=5 B.己知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0， 十∞)上单调递减f(1)=0,则不等式f(1og2x) >0的解集为（2 C.已知x∈R,则“x>0”是“|x-1|<1”的充分不 必要条件 D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性 相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y=0. 3x-m,若样本中心点为(m,一2.8)，则m=4 [解析]BD[对A,:E(X)=20,∴.100p=20→ b=D0=1m·=1D(2x+ 是D(X)=4,故A错误：对B,:函教f)是定义 在R上的偶函数，.f(x)=f(x),f(log2x)> 0台f(|log2x)>f(1),∴.log2x<1台-1<1og2x< 12<<2,故B正确： 对C,x-1<1台0<x<2,.“x>0”推不出“0 <x<2”,而“0<x<2”可以推出“x>0”,.“x>0” 是“|x一1<1”的必要不充分条件，故C错误；对 D,样本中心点为(m,一2.8)，.0.3·m-n -2.8→m=4,故D正确.] （3(多选)已知函数f)=-是，gx)=ac0s受 十5-2a,(a>0).给出下列四个命题，其中是真命 题的为 () A.若3x∈[1,2]，使得f(x)<a成立，则a>-1 B.若Vx∈R,使得g(x)>0恒成立，则0<a<5 C.若Hx1∈[1,2]，Hx2∈R,使得f(x1)>g(x2) 恒成立，则a>6 D.若Hx1∈[1,2]，3x2∈[0,1]，使得f(x1) g(x2)成立，则3≤a≤4 [解析]ACD[对选项A,只需f(x)在[1,2]上 的最小值小于a,f(x)在[1,2]上单调递增， 所以f(x)。=f1)=1-2=-1,所以a>-1,故 1 A正确；对选项B,只需g(x)的最小值大于0，因为 aos受∈[-a,a],所以gx)m=-a+5-2a=5 -30>0,所以0<a<号，故B错误：对选项C只 需f(x)在[1,2]上的最小值大于g(x)的最大值， f(x）min=-1, g(x)mx=a+5-2a=5-a,即-1>5-a,a>6,故 C正确；对选项D,只需g（x)nmin≤f(x)min,g(x)max ≥f(x)max, fm=f2)=2-号-1，所以x∈[1,2]，f) ∈[-11]，x∈[0,1]时，受∈[0，引所以g(x) 在[0,1]上单调递减，g（.x)min=g(1)=5-2a, g(x)mx=g(0)=5-a,所以g(.x)∈[5-2a,5-a], 由题意， 5-2a≤-1今3≤a≤4，故D正确.] 15-a≥1 方法指导 命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接 判断. (2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行 判断. 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 售点2)充分、必要条件的判断与应用 ◆[命题角度1]充分、必要条件的判定（基础点） 1.“a>b”的二个充分条件是 ( A.ea-6>2 B.1n8>0 C.ab D.1<1 a b 解析：A[对A,由e>2,得a-b>ln2,因为 ln2>0,所以a-b>0,所以“e-6>2”是“a>b”的 一个充分条件，A正确，对B,由1n分>0，得号>1， 当a,b均大于0时，得a>b;当a,b均小于0时，得 a<6.所以“n分>0”推不出“a>,即“n分>0” 不是“a>b”的充分条件，B不正确.对C,当a=一5， 6=-3时，（-5)5=-7=，(-3)3= (-3)》=一27(-5)5>(-3)3，满足4>6，但 1 a<b,所以“a>b”不是“a>b”的充分条件，C不正 确，对D.当a=-4,0=2时，满足合<方但a<6, 所以“1<1”不是“a>b”的充分条件，D不正确.] 2.(2023·北京卷)若xy≠0，则“x十y=0”是“义+ y =一2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 汇考题解读]本题以两个等式为载体设置题目， 考查逻辑推理，数学探索能力.充分必要条件是高 考命制创新试题的重要载体，它与其他知识结合， 题目具有一定的灵活性，能很好地考查学生的理 性思维能力： 解析：C[解法一：充分性：因为xy≠0，且x十y= 0,所以x=-y,所以之+义=二+义=一1-1 y T 一y =一2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且工 +义=-2，所以x2十y2=-2.xy,即x2+y2+2xy =0,即(x十y)2=0,所以x十y=0.所以必要性成 立.所以若xy≠0，“x十y=0”是“文十义=一2”的 y 充要条件 解法二：充分性：因为xy≠0，且x十y=0, 所以+y=2+y=x2+y+2xy-2x xy =x十y)2-2xY=一2x义=一2，所以充分性成立； xy 必要性：因为xy≠0，且工十义=一2，所以工十y y y =ty='ty'+2xy-2xy(rty)-2xy ty xy =x+》-2=-2,所以x+)=0,所以(x十 xy xy y)2=0,所以x十y=0,所以必要性成立.所以若xy ≠0，“x十y=0”是“工十义=-2”的充要条件.] y 高考总复习人教数学B版（新教材） 3.(2024·晋城模拟)设a∈R,则“a>3”是“函数y= log。(x-1)在定义域上为增函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A[因为函数y=log(x-1)在定义域(1， 十∞)上为增函数，所以a>1, 因此“a>3”是“函数y=log(x一1)在定义域上为 增函数”的充分不必要条件.] 题后反思 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p→q,q→p是否成立进行判断. (2)集合法：根据，9成立对应的集合之间的包含 关系进行判断. (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列 的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条 件是否成立为止 ◆[命题角度2]利用充要条件求参数的取值（范 围)（综合点） [典例]已知p:-2≤x≤10，q:(x-a)(x-a-1)> 0,若p是g成立的充分不必要条件，则实数a的取 值范围是 核心素养 逻辑推理一充分、必要条件关系中的核心素养 充分，必要条件问题中常涉及参数取值（范围）问题，直接 解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化 为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心索 养.具体见下表： 信息提取 信息解读 逻辑推理 p的对应的集 :-2≤x≤10， 合{x|一2≤x≤ 着眼点一：若力是q q:(x-a）(x-a 10},g的对应的 成立的充分不必要条 -1)>0 集合{xx>a十 件，则{x一2x10} 1,或x<a} 王{xx>a十1，或x<a} 着眼点二：借助于数轴 将集合间的基本关系 p是g成立的充 {x|一2≤x 转化为关于实数a的不 分不必要条件 10}￥{.x|x>a 等式组 +1,或x<a} [解析]由(x-a)(x-a-1)>0,得x>a十1或x <a,由题意，得{x-2≤x≤10}{xx>a十1，或 x<a},所以a十1<-2或a>10,即a<-3或a >10. [答案](-∞，-3)U(10,十∞) O[互动探究] 本例中，若p:一2<x<10,q:(x-a)(x-a-1)≥ 0,其他条件不变，则a的取值范围是 解析：由(x-a)(x-a-1)≥0，得x≥a十1或x≤ a,由题意得{x-2<x<10}军{x|x≥a十1，或x ≤a}.所以a十1≤-2，或a≥10，即a≤-3，或a ≥10. 答案：(-∞，-3]U[10,十∞) 方法指导 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或 充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集 合之间的关系列出关于参数的不等式求解. (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 一是一q的充分不必要（必要不充分、充要）条 件，则力是g的必要不充分（充分不必要、充要） 条件. 跟踪训练 已知条件： :<2<16,条件q:x+2)·(x+a) <0,若力是g的充分不必要条件，则a的取值范 围为 A.[-4,+∞) B.(-o∞，-4) C.(-∞，-4] D.(4,+∞) 解析：B[由<2<16，得-2<x<4, 即p:-2<x<4. 方程(x十2)(x十a)=0的两个根分别为一a,一2. ①若-a>-2,即a<2,则条件q:(x+2)(x十a)< 0等价于一2<x<一Q,由p是g的充分不必要条 件可得-a>4,则a<-4; ②若-a=-2,即a=2,则g:(x十2)(x十a)<0无 解，不符合题意； ③若-a<-2,即a>2,则g:(x十2)(x十a)<0等 价于一a<x<-2,不符合题意. 综上，可得a的取值范围为(-o∞，一4).] 专点3)全称量词命题与存在量词命题 ◆[命题角度1]全称量词命题、存在量词命题的真 假判断（基础点） 1.下列命题中的假命题是 ( A.Hx∈R,x2≥0 B.Vx∈R,2-1>0 C.3xo∈R,lgxo<1 D.3x。∈R,sinx。+cos o=2 解析：D[A显然正确；由指数函数的性质知2- >0恒成立，所以B正确；当0<x<10时，lgx<1, 所以C正确；因为sinx十cos=厄si(e十经) 所以-√2≤sinx十cosx≤√2，所以D错误.门 2.已知a>0,函数f(x)=ax2十bx十c,若m满足关于x 的方程2a.x十b=0,则下列选项中的命题为假命题 的是 ) A.3x∈R,f(xo)≤f(m) B.3xo∈R,f(xo)≥f(m) C.Hx∈R,f(x)≤f(m) D.Hx∈R,f(x)≥f(m) 解析：C[因为a>0,所以函数f(x)=ax2十b.x十 -处取得最小值.所以f(m)是函数f(x) c在x=一2a 的最小值.门 3.下列命题中，真命题是 A.3x∈[0,2]sinx+cox≥2 B.Hx∈(3，+oo),x2>2x+1 C.3x。∈R,x8十x。=-1 D.Yxe(经)an>sin文 解析：B[对于选项A,nx十cos=Esin+) ≤√2，所以此命题不成立；对于选项B,x2一2x一1 =(.x-1)2-2,当x>3时，(x-1)2-2>0,所以此 命延成对于越项计十1-(+)+月 >0,所以x2十x=一1对任意实数x都不成立，所以 此命题不成立：对于选项D,当x∈（行时，anx <0,sinx>0,命题显然不成立.] 题后反思 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题量 词名称 真假 判断方法一 判断方法二 真 所有对象使命题真 否定为假 全称命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量 真 存在一个对象使命题真 否定为假 词命题 假 所有对象使命题假 否定为真 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命题，若其 真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假. ◆[命题角度2]含有一个量词的命题的否定（基础点） 1.已知命题p:3x。∈R,x十2x。十2≤0，则p为 ( A.3x∈R,x+2xo+2>0 B.3x∈R,x+2xo+2<0 C.Hx∈R,x2+2.x+2≤0 D.Vx∈R,x2+2.x+2>0 解析：D[根据存在量词命题的否定，存在量词改 为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D.] 2.(2024·浙江杭州校考)命题p:Hx￠{x1≤x≤5}， x2-4x>5,则命题p的否定是 () A.3.x∈{xl1≤x≤5}，x2-4x≤5 B.3x氏{x|1≤x≤5}，x2-4.x≤5 C.Hxt{x|1≤x≤5}，x2-4x≤5 D.Hx∈{x|1≤x≤5}，x2-4x≤5 [解析]B[因为命题Hx任{x1≤x≤5}，x2一4x>5 是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即门x 庄{x1≤x≤5}，.x2-4.x≤5.] 3.(2024·咸阳模拟)已知命题：“存在x∈[1，+∞)， 使得(1og23)。>1”,则下列说法正确的是() A.:“任意x∈[1，十o∞)，使得(10g23)<1” B.p:“不存在xo∈[1，十o∞)，使得(1og23)'。<1” C.7p:“任意x∈[1，十o∞)，使得(1og23)≤1” D.p:“任意x∈(-o∞，1)，使得(1og23)'≤1” 。 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 解析：C[因为存在量词命题的否定是全称量词命 题，所以p:“任意x∈[1，十∞)，使得(1og23)≤1”.] 4.若命题：Hx∈ 22 ,tanx>sinx,则命题 p为 ( A.3xo∈ 元， 2’2 |,tan xo≥sin To B.3xo∈- 2'2小tan o>sin o ππ】 π，九 C.3x∈-，}tanx≤sinx D.3xo∈ -00,- sin o 解析：C[“Hx”的否定为“了x。”,“>”的否定为 “≤”，所以命题力为3x∈ sin xo.] 题后反思 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否 定的区别 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定 有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题 时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在 量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题 的否定只需直接否定结论即可. 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含 的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的 否定， ◆[命题角度3]参数的取值范围问题（综合点） [奥例]（1少（多选）若1x,∈合2]，位得2-江 十1<0成立是假命题，则实数入可能取值是 A B.22 C.3 D号 [解析]AB [:若“3x∈[合2]，使得2x8 入x十1<0成立”是假命题， 即“，∈[合2小使得>2，十成立“是假 命题， 即学价子“yx∈[22]，使得A≤2+成立“是 真命题 令f)=2x+x∈[22 由对勾函数可知，当x∈合2]时，f(x)在 [合号单羽逸成，在可停2]小上单别运增， 当工=号时，函数f(x)取最小值，即fx) 2 =2√2 高考总复习人教数学B版（新教材） ∴A≤f(x)mm=2√2， 方法指导 故实数入的取值范围为（一©∞，2√2].] 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， ②已知f)=lnr+1Dg)=(合)月 可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决. 一m,若 对Vx1∈[0,3]，3x2∈[1,2]，使得f(x1)≥ 跟踪训练 g(x2),则实数m的取值范围是 [解析]当x∈[0,3]时，f(x)mn=f(0)=0,当x 1已知命题“3x,∈R,使2+(a-1,+号<0”是 ∈[1,2]时ga)=g(2)=是-m,由fx)≥ 假命题，则实数a的取值范围是 A.(-∞，-1) B.(-1,3) g(x)min,得0≥ -m,所以m≥1 C.(-3,+∞) D.(-3,1) 解析：B[原命题的否定为Hx∈R,2x2十(a-1)x [答案] 十2>0，由题意知，其为真命题，即△=(a-1D-4X 。[互动探究] 若将本例(2)中“了x2∈[1,2]”改为“Hx2∈ 2x号0.则-2a-1<2,即-1<a<3.] [1,2]”,其他条件不变，则实数m的取值范围是 2.若命题“对Vx∈R,kx2-kx一1<0”是真命题，则k 的取值范围是 解析：当x∈[1,2]时，g(x)m=g(1)= 2m, 解析：“对Vx∈R,kx2一kx一1<0”是真命题，当k 由f(x)mn≥g(x)nmx,得0≥号 -m,m≥ =0时，则有一1<0；当k≠0时，则有k<0且△= 2 (一k)2-4XkX(-1)=k2+4k<0,解得-4<k< 答案：，+∞】 0,综上所述，实数k的取值范围是（一4,0]. 答案：（一4,0] 第3节 等式与方程（组）的解集 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 等式的性质及常用的恒等 1.掌握等式的性质及常用的恒等式， 1.等式的性质及常用的恒等式，可达 式，一元二次方程的解集及其 2.从函数观点看一元二次方程，会结合 成逻辑推理和数学运算的核心 根与系数的关系，解二元二次 一元二次函数的图像，判断一元二次 素养 方程组，这三部分内容作为学 方程实根的存在性及实根的个数，了2.一元二次方程的解集及其根与系 习其他知识的基础和工具，高 解函数的零点与方程根的关系. 数的关系，可提升直观想象的核心 3.会用代入消元法或加减消元法解二元 素养 考一般不单独命题，通常与解 不等式，函数，数列，解析几何 一次方程组，能灵活解二元二次方3.解二元二次方程组，培养数学运算 的核心素养 等知识相结合，考查数学运算 程组 及数形结合思想 夯实必备知识 对应学生用书P8 教材夯实强基固本 必备知识 2.恒等式 1.等式的性质 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍 实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两 成立， 边恒等. 用公式表示为：如果a=b,则对任意c,都有a十c =b+c; 3.方程的解集 (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未 式，等式仍成立. 知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合 用公式表示为：如果a=b,则对任意不为零的c, 称为这个方程的解集。 都有ac=bc. ·10