课时20 函数中的综合问题（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

高考总复习数学 课时冲关20 函数中的综合问题 对应学生用书P270 1.已知函数f(x)=a·2-xln2. (1)讨论函数f(x)的单调性； 解：1)当a=时f)=(x-1e+32,所 1 以f'(x)=xe十x, (2)当a>0时，证明：不等式f(x)≤2lna十 a 有实数解. 所以f①=合fD=e+1. 解：(1)f(.x)=aln2·2x-ln2=ln2(a·2-1), f0在x=1处的切线方程为y-之=(e十1) 当a≤0时，f'(x)<0,则函数f(x)在（一∞，十 2 ∞)上单调递减； (x-1), 当a>0时，当<1og时，f(x)<0,当x> 即y=(e+1).x一e- (2)(i)当a=0时，f(x)=(x-1)e,不合 10g二时，f(x)>0,所以函数f(x)在 题意； -∞，log2 若a≠0，由f(x)=(x-1)e十a.x2,所以f'(x) =xe*+2ax=x(e*+2a), (i)当a>0时，当x∈(0，+o∞)时，f(x)>0, 即f(x)单调递增； 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在（一∞，十 当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0,即f(x)单调 ∞)上单调递减； 递减， 当a>0时，函数f(x)在 -,logd 上单调 又f(0)=-1<0,f(1)=a>0,由零点存在定 理及函数的单调性可知： 递减，在(g:十上单递增 存在唯一的x1∈(0,1)，使得f(x1)=0, 2证明：由1)得fxn=fg）a 又当x→一o∞时，f(x)→十∞，由零点存在定理 及函数的单调性可知： 2古-ln2×log2a =1+lna, 存在唯一的x2∈（一∞，0)，使得f(x2)=0, 所以a>0满足题意； 则只要证明1十lna≤2lna+】即可， (ii)当a<0时，令f(x)=0,得x=0或x =ln(-2a), 即证lna+1-1≥0. a ①若-<a<0,则ln(-2a)<0,则当x∈(- 令Aa)=l1na+日-1a>0 o∞，ln(-2a))时，f(x)>0,即f(x)单调递增； 当x∈(ln(-2a),0)时，f'(x)<0,即f(x)单调 则hH(a)=1-1=a-1 a aa, 递减； 当0<a<1时，h'(a)<0,当a>1时，h'(a)>0, 当x∈(0，十o∞)时，f'(x)>0,即f(x)单调 所以函数h(a)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞) 递增； 上单调递增， 又f(ln(-2a)=-2a(ln(-2a)-1) 所以h(a)≥h(1)=0,即lna+1-1≥0， +a(ln(-2a)2 0 =a[(ln(-2a))2-2ln(-2a)+2]<0,不合 所以当a>0时，不等式f(x)≤21na十1有实 题意； 数解 ②若a=-是，则a(-2a=0,则f(x)≥0在 2.已知函数f(x)=(x-1)e十ax2 R上恒成立， (1)当a=号时，求函数f(x)在x=1处的切线 即f(x)在R上单调递增，不合题意； 方程； @若a<-号，则1h(-2a)≥0， (2)若函数f(x)有两个零点，求参数a的取值 当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0,即f(x)单调 范围. 递增； ·346· 第三章一元函数的导数及其应用 当x∈(0，ln(-2a)时，f(x)<0,即f(x)单调 4.已知函数f(x)=alnx十a 递减； 当x∈(1n(-2a),+o∞)时，f'(x)>0,即f(x) (1)讨论f(x)的极值； 单调递增； (2)若(ex1)=(ex2)(e是自然对数的底数)， 又f(0)=-1<0,不含题意， 且x1>0,x2>0,x1≠x2,证明：x1十x2>2. 综上所述，参数a的取值范围为(0，十o∞). 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，求导得 3.已知函数f(x)=x2十ax-a2lnx,a≥0. f(x)=-alnz, x2 (1)当a=2时，讨论函数f(x)的单调性； 若a=0,则f(x)=0,无极值； (2)若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取 若a≠0，由f(x)=0,可得x=1, 值范围. 若a<0,当0<x<1时，f(x)<0,则f(x)单调 解：(1)若a=2,则f(x)=x2+2x-4lnx, 递减，当x>1时，f(x)>0,则f(x)单调递增， 故f(x)=2.x+2-4=2(x十2)(x-1) 此时，函数f(x)有唯一极小值f(1)=a,无极 大值； 当0<x<1时，f(x)<0;当x>1时，f(x) 若a>0,当0<x<1时，f(x)>0,则f(x)单调 >0, 递增，当x>1时，f(x)>0,则f(x)单调递减， 故f(x)在(1，十∞)上单调递增，在(0,1)上单 此时，函数f(x)有唯一极大值f(1)=a,无极 调递减，即f(x)的增区间为(1，十∞)，减区间 小值； 为(0,1). 所以当a=0时，函数f(x)无极值； (2)f(x)=2.x+a-a2=2x-a)(x+a) 当a<0时，函数f(x)有极小值f(1)=a,无极 大值： 当a-0时，f(x)=x2,此时f(x)在(0，十o∞)无 当a>0时，函数f(.x)有极大值f(1)=a,无极 零点，不合题意. 小值； 当a>0时，当0<<号时，则f(x)<0:当x> (2)证明：由(ex1)=(ex2),两边取对数可得 时，f'(x)>0,故f(x)在(2，+∞上单调递 x(1n+1)=x1(1n2+1),即ln西+1 _Inx2+1 增，在0，号)上单调道减，故f(x)m=f（号》 =子a2-a1n号，因为函数f(x)有两个不同的 当a=1时，f(x)=lnx+1,f(x)=_ln2 由(1)可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在 零点，则是a2-a1n号<0，即a>2e. (1,十o∞)上单调递减，所以f(x)mmx=f(1)=1, 又当a>2e时，f1)=1+a>0,两1<号， 而（日）=0，>1时>8极成 因此，当a=1时，存在x1,x2且0<x1<1<x2, 站合函数的单羽丝可得f(x)在(0，受)上有卫 满足f(x1)=f(x2), 只有-个零点；而f(a2)=a十a3-2a21na=a 若x2∈[2，十o∞)，则x1十x2>x2≥2成立； (a2+a-2In a),4g(a)=a2+a-2In a,a> 若x2∈(1,2)，则2-x2∈（0,1)， 2e,则 记g(x)=f(x)-f2-x),x∈(1,2)， ga-2a+1-2>0,故ga在(2e,+)上单 则g'()=f(x)+f(2-x）=-ln'-l(2-2 x2(2-x)2 调递增，故g(a)>4e+2e-21n(2e)>4e lnx_ln(2-x-_ln-（z-1)+1>0, +2e-21nei=4e+2-子>0， 即有函数g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x) >g(1)=0,即f(.x)>f(2-x), 故f(a)>0,结合函数的单调性可得f(x)在 于是f(x1)=f(x2)>f(2-x2),而x2∈(1,2)， (受，+∞)上有且只有一个零点， 2-x2∈(0,1)，x1∈(0,1)， 函数f(x)在(0,1)上单调递增，因此x1>2 故a的取值范围为a>2e. x2,即x1十x2>2. ·347·