第3章 3.4 函数中的构造问题（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §3.4函数中的构造问题 ★[考试要求] 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过 已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题， 跃升>关健能力 学生用书P57 核心考点分类突破 题型1（ 利用f(x)与x构造函数 则原不等式等价于f202)<-1, (x+2025) [例1](1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x) 由g(.x+2025)= f(x+2025) (x+2025)2 <-1=g(-1)→0 是f(x)的导函数，当x≥0时，f(.x)-2x>0,且f(1) =3,则f(x)>x2+2的解集是 ( >x+2025>-1, A.(-1,0)U(1,+o∞) 解之得x∈(-2026，-2025). B.(-∞，-1)U(1,+∞) [答案]B C.(-1,0)U(0,1) 规律方法 D.(-∞，-1)U(0,1) (1)出现nf(x)十xf(x)形式，构造函数F(.x)= [解析]令g(x)=f(x)-x2, x”f(x); 因为f(x)是偶函数， (2)出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x) 则g(-x)=f(-x)-(-x)2=g(x), f(z) 所以函数g(x)也是偶函数， g'(x)=f(x)-2x, 跟踪训练 因为当x≥0时，g(x)=f'(x)-2x>0, [多选]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 所以函数g(x)在(0，十o∞)上单调递增， x>0时，xf'(x)+2f(x)>0恒成立，则() 不等式f(x)>x2十2即为不等式g(x)>2, A.f(1)<4f(2) B.f(-1)<4f(-2) 由f(1)=3,得g(1)=2, C.16f(4)<9f(3) D.4f(-2)>9f(-3) 所以g(x)>g(1), 解析：AD[令g(x)=xf(x), 所以|x>1,解得x>1或x<-1, 当x>0时，xf(x)+2f(x)>0, 所以f(.x)>x2十2的解集是(-∞，-1)U(1,十o∞). .当x>0时，g'(x)=2xf(x)十xf'(x) [答案]B xLxf'(x)+2f(.x)]>0, (2)已知函数f(.x)的定义域为(-o∞，0)，f(-1)= .g(x)=xf(x)在(0，十∞)上单调递增 -1,其导函数f'(x)满足xf(x)一2f(x)>0,则 又f(.x)为定义在R上的奇函数，y=x2为定义在 不等式f(x+2025)十(x+2025)2<0的解集为 R上的偶函数， ( .g(x)=x2f(x)为定义在R上的奇函数. A.(-2026,0) B.(-2026,-2025) .g(x)是增函数 C.(-∞，-2026) D.(-∞，-2025) 由g(2)>g(1),可得4f(2)>f(1),故A正确； [解析]根据题意可令g（x)=2(x<0)→ 由g(-1)>g(-2),可得f(-1)>4f(-2),故B 错误； g(x)=f()=2fm<0. 由g(4)>g(3),可得16f(4)>9f(3),故C错误； 由g(-2)>g(-3),可得4f(-2)>9f(-3),故D 所以)=在(-，0)上单羽造浅， 正确.] ·76· 第三章一元函数的导数及其应用 题型2 利用f(x)与e构造 规律方法 [例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x) (1)出现f'(x)十nf(x)形式，构造函数F(x)=e“ <f(x)-2,则 f(x); A.f(2026)-ef(2025)<2(e-1) (2)出现f'(x)一nf(x)形式，构造函数F(x)= B.f(2026)-ef(2025)>2(e-1) f(x) C.f(2026)-ef(2025)>2(e+1) D.f(2026)-ef(2025)<2(e+1) 日跟踪训练 [解析]令g(x)=f)+2 已知定义在R上的函数f(.x)满足f(x)十f(x)>0, e 且有f(3)=3,则f(x)>3e3的解集为 则g(x)=fx)-f)-2>0. 解析：设F(x)=f(x)·e,则F(x)=f'(x)·e +f(x)·e=e[f(.x)+f(x)]>0, 因此函数g(x)是增函数， .F(x)是增函数. 于是得g(2026)>g(2025), 又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3 即f2026)+2>f(2025)+2 e2028 e2025 ,'f(x)>3e3r等价于f(.x)·e>3e3, 即F(x)>F(3), 整理得f(2026)-ef(2025)>2(e-1),故B .x>3,即所求不等式的解集为(3，十). 正确. 答案：(3，十∞) [答案]B (2)f(x)是定义在R上的函数，满足2f(x)+f(x) 题型3〔 利用f(x)与sinx、cosx构造 =,(-D=一六则下列说法正确的是（ [例3】[多选]定义在(0，)上的函数f(x),已知 A.f(x)在R上有极大值 f'(x)是它的导函数，且恒有cosx·f(x)十sinx B.f(x)在R上有极小值 ·f(x)<0成立，则有 C.f(x)在R上既有极大值又有极小值 A.f(小 ()() D.f(x)在R上没有极值 [解析]根据题意，2f(.x)十f(x)=xe',故2f(-1) c()f) ()>(） +f(-1)=-e1, [解折]药递西量g)-0<r》 又f-10=得2(-动)+f-1D=-是故 则g(x)=f)cosx+fr)sint<0,即画数 f(-1)=0,令g(x)=e2f(x), (cos x) 则g'(x)=2ef(x)+e2f'(x)=e2[2f(x)十 gx)在(0，)上单调递减，所以(>（号） f'(x)]=e2r·xe'=xe3, 即2e2rf(x)+e2f'(x)=xe3,记h(x)=e2f'(x) 所以)>r()同理()>()脚 =xes-2e2f(x)=xes-2g(x), ()>) 所以h'(.x)=e3r+3.xer-2g'(x)=e3x+3.xe3x 2xer=e3r(x十1)，当x<-1时，h'(x)<0,当x> [答案]CD -1时，h'(x)>0,所以函数h(x)在(-∞，一1)上 规律方法 递减，在（一1，+o∞）上递增，所以h(x)≥h(-1)= 函数f(x)与sinx,cosx相结合构造可导函数的 e2f(-1)=0,即e2f'(x)≥0，即f(x)≥0，所以 几种常见形式 f(x)在R上单调递增，故f(x)在R上没有极值. F(x)=f(x)sin x, 故选项ABC说法错误，选项D说法正确。 F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x; [答案]D F(x)=f(x) sin x ·77· 高考总复习数学 F()=f(r)sin tf(r)cos 又a-b= 1_1m5_5-3ln5_lne-ln125>0, sinx 610 30 30 F(x)=f(x)cos x, 得a>b, 所以a>b>c. F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x; [答案]A F(x)=f(x) π cos x (2)已知e是自然对数的底数，a= 2ln√x F()=f(a)cos +f(x)sin a 1 跟踪训练 A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.b>c>a 函数f(x)定义域为(0，π)，其导函数是f(x),当(0，π) 时，有f(x)sinx-f(x)cosx<0,则关于x的不等式 [解析] 构建f(x)= nxx>e,则f(x)= )()inx的解集为 司之0在e,十上换成2 解析：令g(x)=f,则 可知f(x)在(e,十o∞)上单调递增， sin x g(x)=P()sin z-f(a)cos 因为a= π 24 2n灰nx,c=n2n: sin'x 可知f(4)>f(π)>f(e)=e,即c>a>e: 因为x∈(0，π)，所以sinx>0, 构建g(x)=x-sinx,x>0,则g'(x)=1-cosx≥ 因为f(x)sinx-f(.x)cosx<0,所以g'(x)<0, 0在(0，十∞)上恒成立， 所以g(x)在(0，π)上单调递减， 可知g(x)在(0，十∞)上单调递增，则g(x)>g(0) =0,即x>sinx,x>0, 由f)KEf(in,得 14 ,所以 可得>sin名，且e>0,则e>e·sn,即e sin x sin 4 >b: 综上所述：c>a>b. g(x)<g()周为g(x)在(0，x)上单调递减，所 [答案]B 以<x<x,所以不等式f(x)<f开)sinx的 规律方法 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构 解条为（任 特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不等式： 答案：（管 0),lnx≤x-1≤x2-x(x>0),e≥x+1,e≥e 题型4 构造具体函数关系 >x(x>0) 跟踪训练 [例4] (1)设a=1, 3 A.c<b<a B.c<a<b 已知a=sin=nc=则 C.b<c<a D.b<a<c A.a>bc B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b [解析] 谈fx)=,则了)=1-2=0， 解析：D[a=sin晋>in-=-= 得x=√， 设f(x)=1nx十1-x,x>1则f(x)=x<0, 则f(x)在(0，√)上单调递增，在（√，十∞）上单调 故f(x)在(1，十o∞)上为减函数，故f(.x)<f(1) 递减， 0即lnx<x-1(x>1), b=f(5),c=f(√6)，则b>c, 所以6=lh是>名-1=c,故a>c>6.] ·78