第3章 3.3 导数与函数的极值、最值（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §3.3导数与函数的极值、最值 ★[考试要求] 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭 区间上函数的最大值、最小值 复盘>必备知识 学生用书P55 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 (2)函数的极小值一定是函数的最小值. (×) 1.函数的极值 (3)函数的极小值一定不是函数的最大值， (/) (1)函数的极小值 (4)函数y=f'(x)的零点是函数y=f(x)的极值点. 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点 (X) x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0;而且 2.[多选]如图是导函数y= y 在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f(x)>0, f'(x)的图象，则下列说法正 y=f'(x) 则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函 确的是 10 数y=f(x)的极小值. A.(3,5)为函数y=f(x)的 (2)函数的极大值 单调递减区间 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点 B.(4,5)为函数y-f(x)的单调递增区间 x=b附近其他点的函数值都大，f(b)=0;而且在 C.函数y=f(x)在x=3处取得极大值 点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则 D.函数y=f(x)在x=4处取得极小值 b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 解析：AC[由图象可知，x∈(3,5)时，f(x)<0, y=f(x)的极大值. 所以(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，故A (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大 正确；由图象可知，x∈(4,5)时，f(x)<0,所以(4， 值统称为极值. 5)为函数y=f(x)的单调递减区间，故B错误；由 2.函数的最大（小）值 图象可知，f(3)=0,且当x∈(0,3)时，f(x)>0, (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件： 当x∈(3,5)时，f(.x)<0,所以f(x)在(0,3)上单 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 调递增，在(3,5)上单调递减，故函数y=f(x)在 连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. x=3处取得极大值，故C正确；由图象可知，f'(4) (2)求y-f(x)在区间[a,b]上的最大（小）值的步骤： 卡0，故x=4不是函数的极值点，故D错误.] ①求函数y-f(x)在区间(a,b)上的极值； 3.函数f(x)=lnx一x在区间(0，e]上的最大值为 ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 ( f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小 A.1-e B.-1 的一个是最小值。 C.-e D.0 知识拓展用活 1.对于可导函数f(x),f'(x。)=0是函数f(x)在 解析：B[因为f(x)=1-1=二，当x∈(0,1) x=x。处有极值的必要不充分条件. 时，f(x)>0;当x∈(1，e]时，f(.x)<0,所以当x=1 2.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点，则 时，f(x)取得最大值ln1-1=-1.] 该极值点一定是函数的最值点. 4.若函数f(x)=e十a.x在x-2处取得极值，则a= 3.极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取 得，其必定是极值. 解析：，f(x)=e十a.x在x=2处取得极值， 自主诊断查验 .f'(2)=e十a=0,解得a=一e2,经检验，符合 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） 题意. (1)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值. (×) 答案：一e ·72. 第三章一元函数的导数及其应用 跃升>关键能力 学生用书P56 核心考点分类突破 题型1 利用导数求解函数极值问题 [角度3]已知函数的极值（点）求参数 [例1-3]若函数f(.x)=x(x一c)2在x=一2处有 [角度1]函数极值的判断 极小值，则c= ( [例1-1][多选]已知函数f(x)是 A.-6 B.-2 R上的可导函数，f(x)的导函数 f'(x)的图象如图，则下列结论不 C.-6或-2 D.-4 a/o 正确的是 ) [解析]由函数f(x)=x(x一c)2,可得f(x)= A.a,c分别是极大值点和极小值点 (x-c)2+2.x(x-c)=(x-c)(3.x-c), B.b,c分别是极大值点和极小值点 因为函数在x=一2处取得极小值，可得f(一2)= C.f(.x)在区间(a,c)上是增函数 0,解得c=-2或c=-6, D.f(x)在区间(b,c)上是减函数 当c=-2时，令了(>0，解得<-2或>-号 [解析]由极值点的定义可知，a是极小值点，无 极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间 令f(x)<0,解得-2<x<-3, 2 (a,十o∞)上是增函数. 函数f(x)在（一∞，一2）上单调递增，在 [答案]ABD ◆[角度2]求已知函数的极值 (2)上单递减，在（号+）单 [例1-2】尼知f)-号则f) 递增， 所以f(x)在x=一2处有极大值，不符合题意， A.在(-o∞，+∞)上单调递增 舍去； B.在(-∞，1)上单调递减 当c=-6时，令f(x)>0,可得x<-6或x>-2; C.有极大值，无极小值 令f'(x)<0,可得-6<x<-2, D有极小值己，无极大值 函数f(x)在(-∞，一6)上单调递增，在（一6，一2） 上单调递减，在（一2，十∞）单调递增， [解析]f(x)=3g,(r)=3·e3x·e 所以f(x)在x=一2处有极小值，符合题意， e 综上可得，c=一6. =31-),当x>1时，f(x)<0,f(x)在区间 e [答案]A (1,十○)上单调递减，故A错误；当x<1时， 规律方法 f(x)>0,f(x)在区间(-o∞，1)上单调递增，故B 函数极值的两类热点问题 错误：当x=1时，f(x)=3取得极大值三，无极小 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f'(x);③解方 值，故C正确，D错误 程f(x)=0,求出函数定义域内的所有根； [答案]C ④列表检验f(x)在f'(x)=0的根x。左右两 (2)已知函数f(x)=sin2x-x,x∈(0，π)，则f(x) 侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x。处 的极大值点为 取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x。处取 [解析]f(x)=2cos2x-1,令f(x)>0,得0< 极小值. <<<：令x)<0得<x< 6 (2)由函数极值求参数的值或范围. f)在(o,看》()上单训适增，在 讨论极值点有无（个数）问题，转化为讨论 f'(x)=0根的有无（个数）.然后由已知条件列 (后晋)上单调适减，fx)的板大位点为看 出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注 意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不 [答案] 定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号， ·73· 高考总复习数学 !跟踪训练 设g)=十，则x)在合]上单减，在 1nx,x≥2 [1,3]上单调递增， 1.若函数f(x) 有最大值，则k的最大 kx,x<2 g(x）mn=g(1)=2, 值为 又（合）号83)-号 A.12 &色 当<a<9时y=f()在|合]上只有一个 c品 D. 变号零点。 解析：C[分析：利用导数求出函数f(x)在[2， 实数a的取值范周为停，智)门 十∞)上的极大值，根据函数f(x)有最大值可得出关 题型2 利用导数求函数的最值 于实数k的不等式组，即可得出实数k的最大值。 [例2] (2025·全国二卷)已知函数f(x)=ln(1+x) 当x≥2时，f(x)=ln工，则f(.x)=1-ln x x2 -，其中0<<号 -x+1 当2≤x<e时，f'(x)>0,此时，函数f(x)单调 (1)证明：f(x)在区间(0，十∞)存在唯一的极值点 递增， 和唯一的零点； 当x>e时，f(x)<0,此时，函数f(x)单调递减， (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0，十∞)的极值 则函数f(x)在x=e处取得极大值，且极大值为 点和零点. f(e)=1 （1)设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1一t),证明：g(t)在 In x 区间(0，x)单调递减； ,x≥2 因为函数f(x)= 有最大值，则 (ⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的结论. kx:x<2 [解]（1D因为fx)=n(1十x)-x+合2-x, 「k≥0 24<1部得0C≤品 ∈（〔o}: e 因此，实数及的最大值为品] 所以f)=十1+-3r 2.函数f)=lax+-ar(>0)在[合3]上有 =1-1-x十x十x2-3kx2-3k 1+x 且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是( A(侵) B层) 当x>0时，令f(x)=0,解得x=3k-1>0, c(别 D2, 所以当0<<-1时，f(x)>0.f(x)单调递 解折：B[f)=ax+分r-ax>0 增：吉>家-1时fx)<0,f)单调运减 f(x)=1+x-a, 所以=一1是了x)在(0，十0)上壁一的极抗 :画数f)=nx+合-aa>≥0)在[合3]上 点，是极大值点 有且仅有一个极值点， 因为绿小f0)=r()=(+) y=了()在[23上只有-个变号零点. +动-nf+)-a 令fx)=十x-a=0,得a= 十 所以3∈（头1）f,)=0, ·74 第三章一元函数的导数及其应用 所以x0是f(x)在(0，十∞)上唯一的零点. 解析：由f(x)=x一√2sinx,x∈[0，π]可得f'(x) (2)(1)因为g(t)=f(x1十t)-f(x1-t), =1-2cos a, 所以g)=f(+)+f(x,-）=3十0 1十x1+t 令f()=0可得c0s= 2 (x1+t-x1)+ 一3k(x1-t)2 1+x1-t （x1-t-x1)= 又x∈[0，]，所以x=交 制 当x∈[0，]时，f(x)<0,此时fx)在[0，]上 6kt2(t2-x7-2x1) 单调递减， (1+x1)2-t2 当x∈[F时，f(x)>0,此时f(x)在 因为∈(0，x1),所以t-x7-2.x1<0,(1十x1)2 t2>0, [紧小上单调遂增 所以g'(t) 6kt2(2-x-2x2<0, 易知f(0)=0,f(x）mmx=f(π)=π， (1+x1)2-t f)=f(-至-1， 即g(t)在区间(0，x1)上单调递减. 因此f(x)的最大值为元. （iⅱ)由(1)得，g(t)在(0，x1)上单调递减， 答案：π 所以g(x1)<g(0), g(x1)=f(2x)-f(0), 2.已知函数f(x)=4十lnx在区间[1，e]上的最小 g(0)=f(x1)-f(x1)=0 值为，则a的值为 .f(2x1)-f(0)<f(x1)-f(x1)=0, 又f(0)=0,所以f(2x1)<0, A.1 B C. D.e 因为x2是f(x)的零点，所以f(x2)=0, 解析：D[因为f(x)=g十lnx(x>0),所以 所以f(2x1)<f(x2), 又x2>x1,2x1>x1,且f(x)在(x1,十∞)上单调 fx)=1-4-2. 递减， 当a≤0时，则f(x)≥0，所以f(x)在x∈(0，十o∞)上 所以2x1>x2 单调递增， 规律方法 此时函数爱小位为f1)=a十1n1=号，郎得a 1.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的 步骤 是不符合题意合： (1)求函数在(a,b)内的极值. 当a>0时，令f'(x)<0,得0<x<a;令f(x)> (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b). 0,得x>a; (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较，其中最 所以f(.x)在(0，a)上单调递减，在(a,十o∞)上单调 大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 递增， 2.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值 ①当0<a≤1时，f(x)在区间[1，e]上单调递增， 一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图 所以最小值为f(1)=a≤1，不符合题意舍去； ②当1<a<e时，f(x)在[1，e]上先减后增， 象，利用图象求解 注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值 所以最小值为fa)=1十1na=号，解得a=: 点，要通过比较再下结论： ③当a≥e时，f(x)在[l,e]上单调递减， 日跟踪训练 所以最小位为fe)=吕+lne=号，解得a=合e, 1.已知函数f(x)=x-√2sinx,x∈[0，π]，则f(x)的 不符合题意，舍去 最大值为 综上所述a=√.] ·75·