第2章 2.10 函数模型的应用（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §2.10函数模型的应用 ★[考试要求] 1,了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的 含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型）在社会生活中的广泛 应用 复盘>必备知识 学生用书P45 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 自主诊断查验 1.几种常见的函数模型 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/”或 函数模型 函数解析式 “X”) (1)函数y=2的函数值比y=x2的函数值大.(×) 一次函数模型 f(x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) (2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b十c(a≠0，b>0, f(x)=ax2+bx十c(a,b,c为常数，a b≠1)增长速度越来越快的形象比喻. (X) 二次函数模型 ≠0) (3)幂函数增长比直线增长更快 (×) (4)不存在xo,使a<x8<logao (X) 指数函数模型 f(x)=ba+c(a,b,c为常数，a>0 2.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是 且a≠1，b≠0) f(x)=blog。x十c(a,b,c为常数，a 对数函数模型 A.y=50 B.y=1000x >0且a≠1，b≠0) 1 C.y=21n x D.y=1000 幂函数模型 f(x)=ax”+b(a,b,n为常数，a≠ 解析：D[依据常函数、一次函数、对数函数、指数 0,n≠0) 函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数 2.三种函数模型性质比较 函数，故随着x的增长，y= 1000e增长速度 1 y=a*(a>1)y=logax(a>1)y=2"(n>0) 最快.] 在(0，十∞) 3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到 增函数 增函数 增函数 上的单调性 如下一组数据： 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 -2.0 -1.0 0 1.00 2.0 3.0 随x值增随x值增大， 随n值变化 在四个函数模型(a,b为待定系数)中，最能反映x, 图象的变化大，图象与y图象与x轴接 而不同 y函数关系的是 轴接近平行近平行 A.y=a+bx B.y=a+b* 知识拓展用活 C.y=a+logix 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数 Dy=a+乡 增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆 解析：C[根据表中数据，作出散点图如下， 炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来 越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和 性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定 函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合 由散，点图可知，散，点图和对数函数图象接近，可选 理性。 择y=a十log反映x,y函数关系.] ·60· 第二章函数 4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某 数量为 万件 企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为 解析：利润L(x)=20x-C(x)=-合(-18)十 C(x)=号+2x+20(万元).一万件售价为20万 142,当x=18时，L(x)有最大值 元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品 答案：18 跃升>关键能力 学生用书P46 核心考点分类突破 题型1〔用函数图象刻画变化过程 高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数 1 [例1](1)[多选]血药浓度是指药物吸收后在血浆 模型：①y=2'-a;@y=a十log,t:③y=2t十a;④ 内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药 y=十a中（其中a为正的常数），生长年数与树高 物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓 的关系拟合最好的是 (填写序号)，估计该 度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内 树生长8年后的树高为 米 血药浓度及相关信息如图所示： [解析]由散点图的走势，知模型①不合适 个血药浓度(mg/mL) 最低中毒浓度MT℃ 曲线过点（④，）到后三个接型的解折式分别为 ---峰浓度 安全范围 ..最低有效浓度MEC @y=号+1o:@y=4+3:④y=0+号，当 店艺6)0业谢 持续期→残留期 1=1时，代入④中，得y=号，与图不符，易知拟合最 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的 好的是② 说法中，正确的是 ) 将1=8代入②式，得y=号+1g8-9(来). A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥 治疗作用 [答案]② 3 B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小 规律方法 时，一定会产生药物中毒 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持 (1)构建函数模型法：当由题意易构建函数模型时， 续发挥治疗作用 可建立函数模型，结合模型选图象 D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药 (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等 物1单位，不会发生药物中毒 特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从 [解析]从图象中可以看出，首次服用该药物1单 中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情 位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图 况的答案 象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药 跟踪训练 浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小 [多选]一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上 于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5. 行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛 5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服 车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程 药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C 之间的关系 正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次 速度（千米小时） 服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最 160 140 低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误. 120 100 [答案]ABC 60 (2)为研究西南高寒山 y(米) 0 20 区一种常见树的生长周 00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.83 期中前10年的生长规 2 行驶路程（千米） 图1 律，统计显示，生长4年 012345671年) 的树高为了米，如图所 示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树 图2 61 高考总复习数学 根据图1，以下四个说法中正确的是 ) t2,0≤t<10 A.在第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度 鲜度y满足函数关系y 1000 ,其 逐渐增加 ma,10≤t≤100， B.在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6km 中m,a为常数.已知采用该种保鲜方法后，杨梅采 C.大约在第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车 摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之 开始了那段最长直线路程的行驶 后失去20%的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发 D.在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置） 展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售 中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹 时的新鲜度不低于85%，则物流时间（从杨梅采摘 解析：AD[由图1知，在2.6km到2.8km之间， 的时刻算起)可以是（参考数据：log23≈1.6） 图象上升，故在第二圈的2.6km到2.8km之间， 赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高 A.20小时 B.25小时 速行驶时最长为1.8km到2.4km之间，但直道加 C.28小时 D.35小时 减速也有路程，故最长的直线路程有可能超过 (10%=malo [解析] 由题意可知 0.6km,故B不正确；最长直线路程应在1.4km 20%=ma4o' 到1.8km之间开始，故C不正确；由图1可知，跑 道应有3个弯道，且两长一短，故D正确.] 所以”=2a=2骑m-语由题高可如当110 题型2 已知函数模型的实际问题 时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，当t≥ [例2](1)“喊泉”是一种地下水的毛细现象.人们 10时，到有语。<15%中 20(2)‘≤15%，所以 在泉口吼叫或发出其他声音时声波传入泉洞内的 储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌 (2)≤号，所以品<1og+1og:，解得 30 泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强I ≤28 与标准声强I,(1。约为1012，单位：W/m2)之比的 [答案]ABC 常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即 规律方法 L=1g.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点， 称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； 喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y=2x,甲、 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定 乙两名同学大喊一声激起的涌泉的最高高度分别 系数 为70m,60m.若甲同学大喊一声的声强大约相当 2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实 于n个乙同学同时大喊一声的声强，则n的值约为 际问题，并进行检验 ) (跟踪训练 A.10 B.100 C.200 D.1000 [解析]设甲同学的声强为I1,乙同学的声强为 声强级（单位：dB)由公式L=10e()给出。 12 1,则140=101g10120=10lg10立，所以1，= 其中I为声强（单位：W/m).某班级为规范同学在 公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐 102,l:=1,从而号=10.所以的位约为10. 惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每 [答案]B 人的声强级不超过40dB,现已知4位同学课间交 (2)[多选]漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨 流时，每人的声强分别为107W/m2,2×109W 梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消 m2,5×101oW/m,9×101W/m,则这4人中达 暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜 到班级要求的有 时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使 A.1人 B.2人 得杨梅采摘之后的时间t(单位：小时)与失去的新 C.3人 D.4人 ·62. 第二章函数 解析：C[依题意，当I=107W/m2时，L1= (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d90恒成 10 10lg10=101g10=50:当1=2×10W/m时， 立，即对任意的∈[.5,0.9]，30十叶<90恒 =10s%03-g2x10)=10k2+3》=动 成立 易知当v=0时，满足题意； +10lg2<30+10lg10=40:当1=5×101°w/m2时， 1工对任意的飞∈ L,-101g5X100 10。=101g6×103)=10(1g5+2) 当0<≤38.3时，有06<9 [0.5,0.9]恒成立， =20+101g5<20+101g10=30;当I= 由∈[0.50.91，得2∈最l 日X10w/m时，L=101g9X09=101g(9y 所以601、1 -101 10)=10(1g9+1)=10+101g9<10+101g10= 20.所以这4人中达到班级要求的有3人.] 即2+10w-600<0,解得-30<v<20, 所以0w20. 题型3〔构造函数模型的实际问题 综上，0≤u<20 [例3]汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动 所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下. 刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物 规律方法 之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警 构建函数模型解决实际问题的步骤 提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报 (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关 警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间。、 系，初步选择数学模型； 人的反应时间1、系统反应时间t2、制动时间t3,相 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言 应的距离分别为d。,d1,d2,d3,当车速为v(单位： 转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数 m/s),且0≤≤33.3时，通过大数据统计分析得 学模型； 到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而 (3)解模：求解数学模型，得出结论； 变化，且0.5≤k≤0.9) (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 报警距离d 危险距离 :跟踪训练 do d d2 现将石片扔向水面，假设石 片第一次接触水面的速率 为100m/s,这是第一次“打 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 水漂”，然后石片在水面上 多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的 时间 to t1=0.8st2=0.2s ls 90%,若要使石片的速率低于60m/s,则至少需要 “打水漂”的次数为（参考数据：取ln0.6≈ 距离d。=30m d d, d3= 20km -0.511,1n0.9≈-0.105) ( (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s) A.4 B.5 C.6 D.7 之间的表达式； 解析：C[设石片第n次“打水漂”时的速率为⑦n, (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警 则vn=100×0.90"1. 距离均小于90m,则汽车的行驶速度应限制在多 由100×0.90”-1<60，得0.90”-1<0.6， 少以下？ 则(n-1)ln0.90<1n0.6, [解](1)根据题意，d=d。十d1十d2+d3=30十0. 即n-1>n0.8≈二0.5≈4.87，则n>5,87, 1n0.9-0.105 8a+0.2+230++260≤≤33.3D 故至少需要“打水漂”的次数为6.] ·63·