2.10 函数模型的应用-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章函数 §2.10函数模型的应用 ★[考试要求] 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函 数类型增长的含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函 数模型)在社会生活中的广泛应用. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合 1.几种常见的函数模型 理确定函数的定义域，必须验证数学结果对 实际问题的合理性. 函数模型 函数解析式 自主诊断查验 ·次函数模型 f(x)=ax十b(a,b为常数，a≠0) 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” 或“X”) fx)=ax2+bx+c(a,b,c为常数， 二次函数模型 (1)函数y=2的函数值比y=x2的函数值大. a≠0)》 () f(x)=bax+c(a,b,c为常数，a>0 (2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b十c 指数函数模型 且a≠1，b≠0) (a≠0，b>0,b≠1)增长速度越来越快的形 象比喻 () f(x)=blogax十c(a,b,c为常数，a 对数函数模型 (3)幂函数增长比直线增长更快. () >0且a≠1，b≠0) (4)不存在xo,使a<x6<logao. () f(x)=ax”十b(a,b,n为常数，a≠ 2.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快 幂函数模型 0,n≠0) 的是 () A.y=50 B.y=1000x 2.三种函数模型性质比较 1 C.y=2In x y=a'(a>1)y=log x(a>1)y=x"(n-0) D.y=1000e 3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器 在(0，十∞) 采集到如下一组数据： 上的单调性 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 增长速度 相对平稳 -2.0 -1.0 0 1.00 2.0 3.0 随x值增 在四个函数模型(a,b为待定系数)中，最能 随x值增大， 图象的 大，图象与 随n值变化 反映x,y函数关系的是 () 图象与 变化 接近 而不同 接近平行 A.y=a+bx B.y=a+b* 平行 C.y=a+logix D.y=a+ 知识拓展用活 4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不 成本，某企业一个月生产某种商品x万件时 变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增 加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先 的生产成本为C(x)-7+2x+20(万 快后慢，其增长量越来越小. 元).一万件售价为20万元，为获取更大利 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的 润，该企业一个月应生产该商品数量为 图象和性质是解题的关键， 万件. ·45。 高考总复习数学 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1〔 用函数图象刻画变化过程 规律方法 例1] (1)[多选]血药浓度是指药物吸收后 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合 在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗 的两种方法 作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效 (1)构建函数模型法：当由题意易构建函数 浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服 模型时，可建立函数模型，结合模型选 用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信 图象. 息如图所示： (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化 个血药浓度(mg/mL 快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证 最低中毒浓度MTC) ----峰浓度 是否吻合，从中排除不符合实际的情况， 安全范围 ---最低有效浓度(MEC) 选择出符合实际情况的答案。 23456789i12小时 持续期残留期 1跟踪训练 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该 [多选]一辆赛车在一个周长为3km的 药物的说法中，正确的是 ( 封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯 A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药 道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整 物发挥治疗作用 个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的 B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小 关系 于2小时，一定会产生药物中毒 速度（千米小时） 160 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使 140 120 药物持续发挥治疗作用 100 D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服 60 4 用该药物1单位，不会发生药物中毒 0020406081i2i1416i822i224262.83 行驶路程（千米 (2)为研究西南高寒山区一种常见树的生长 图1 周期中前10年的生长规律，统计显示，生长 4年的树高为了米，如图所示的散点图，记 图2 录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米) 根据图1，以下四个说法中正确的是() 之间的关系.请你据此判断，在下列函数模 A.在第二圈的2.6km到2.8km之间，赛 型：①y=2-a;②y=a十log2t;③y=2t十 车速度逐渐增加 a;④y=√f+a中（其中a为正的常数），生长 B.在整个跑道上，最长的直线路程不超过 年数与树高的关系拟合最好的是 0.6km (填写序号)，估计该树生长8年后的树高为 C.大约在第二圈的0.4km到0.6km之 米 间，赛车开始了那段最长直线路程的 y(米) 行驶 3 D.在图2的四条曲线（注：S为初始记录数 2 据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动 1234567(年) 轨迹 ·46· 第二章函数 题型2〔已知函数模型的实际问题 规律方法 [例2](1)“喊泉”是一种地下水的毛细现 1.求解已知函数模型解决实际问题的关 象.人们在泉口吼叫或发出其他声音时声波 注点 传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定 用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的 系数； 泉水越高.已知听到的声强I与标准声强I。 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中 (I。约为1012，单位：W/m2)之比的常用对 的待定系数. 数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L 2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等 =lg。,取贝尔的10倍作为响度的常用单 求解实际问题，并进行检验 !跟踪训练 位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强 度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满 声强级（单位：dB》由公式L,=10lg(0')给 足关系式y=2x,甲、乙两名同学大喊一声 出，其中I为声强（单位：W/m).某班级为 激起的涌泉的最高高度分别为70m,60m. 规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展 若甲同学大喊一声的声强大约相当于n个 了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要 乙同学同时大喊一声的声强，则n的值约为 求课下同学之间交流时，每人的声强级不超 过40dB,现已知4位同学课间交流时，每人 A.10 B.100 的声强分别为10-7W/m,2×109W/m2, C.200 D.1000 5×10-wW/m,9×101W/m,则这4人 (2)[多选]漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛 中达到班级要求的有 产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生 A.1人 B.2人 津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等 C.3人 D.4人 功效.杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员 题型3 构造函数模型的实际问题 采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后 [例3]汽车智能辅助驾驶已开始得到应用， 的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满 其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆 ,0≤t10, 与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报 足函数关系y 1000 ,其中 警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时 ma,10t100, 就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段 m,a为常数.已知采用该种保鲜方法后， (如图所示)，分别为准备时间t。、人的反应 杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜 时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应 度，采摘40小时之后失去20%的新鲜 的距离分别为d。,d1,d2,d3,当车速为o(单 度.如今我国物流行业蓬勃发展，为了保 位：m/s),且0≤o≤33.3时，通过大数据统 证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售 计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程 时的新鲜度不低于85%，则物流时间（从 度等路面情况而变化，且0.5≤≤0.9). 杨梅采摘的时刻算起)可以是（参考数据： 报警距离d log23≈1.6) 危险距离 A.20小时 B.25小时 C.28小时 D.35小时 47 高考总复习数学 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 to t1=0.8st2=0.2s 距离d。=30m d d3= 20km (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v (单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行 驶，报警距离均小于90m,则汽车的行驶速 度应限制在多少以下？ 尝试解答] 规律方法 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清 数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文 字语言转化为符号语言，利用已有知识 建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 日跟踪训练 现将石片扔向水面，假 设石片第一次接触水 面的速率为100m/s, 这是第一次“打水漂”， 然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打 水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片 的速率低于60m/s,则至少需要“打水漂” 的次数为（参考数据：取ln0.6≈-0.511， 1n0.9≈-0.105) ( A.4 B.5 C.6 D.7 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关15 ·48·热点强化课3嵌套函数的零点 [典例][解析]令f(x)=t,则函数F(x)可化为 3 y=()-21-?,则函数F(x)的零点问题可转化为方 程0)-24-号-0的根的问题。 令y=0-2-含=0则0)=2+号 分别作出y=)不y=2十是的图象，如图①，由图象 可得有两个交点，横坐标设为41,2（不妨设t<),则 41=0,1<t2<2; 2+号 y y 2 y=f(t) y=f(x) =t】 70122t 0 图① 图② 作函数y=f(x),与y=t的图象如图②，结合图象， 当f(x)=0时，有一解，即x=2; 当f(x)=t2时，结合图象，有3个解. 所以)=x》-2x)-号共有4个零点. [答案]A 跟踪训练 C[令f(x)=-1,得x=0或x=是，则有fk)=-1 或fkx)=1-1. 当k>0时，①若.x≤0，则kx≤0，er-2=-1或er-2 =。-1.所以k红=0或kx=lh1+是）小解得x=0或c e 1n1十e(舍)：②若x>0,则kx>0,ln(kx)=-1或 n(kx)=上-l,解得kx=。或kz=e(-),则2=C 1 或台）均满足 所以当k>0时，零点有3个：同理当k0时，零点有 3个， 所以无论k为何值，均有3个零点.] §2.10函数模型的应用 复盘·必备知识必备知识掌握 2.增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴 x轴 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.D「依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质 可知增长速度最快的函数模型是指数函数，故随着x的 1 增长，y=100c增长速度最快.] 3.C[根据表中数据，作出散点图如下， yA 0 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近， 可选择y=a十logx反映x,y函数关系.] ·38 参考答案 4.解析：利润L(.x)=20x一C(.x)=一 2（x-18)+142. 当x=18时，L(x)有最大值. 答案：18 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]从图象中可以看出，首次服用该药物 1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图 象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度 达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时 时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药 浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可 使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1 单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血 药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中 毒，D错误. [答案]ABC (2)[解析]由散，点图的走势，知模型①不合适. 由线过点(1，子)）则后三个摸型的解折式分别为②y +log:@y=2计方：@y=0+子，当4=1时， 1 代入④中，得y=5,与图不符，易知拟合最好的是②. 4 将1=8代入②式，得y=号+1og:8=9(术)， [答案]②9 跟踪训练 AD[由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升， 故在第二图的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增 加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为1.8km 到2.4km之间，但直道加减速也有路程，故最长的直线 路程有可能超过0.6km,故B不正确；最长直线路程应 在1.4km到1.8km之间开始，故C不正确；由图1可 知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确.] 题型2 [例2](1)[解析]设甲同学的声强为I1,乙同学的声强 为1则140=101g10120=10lg10,所以1= 102,1。=1,从而}=10，所以n的值约为10 [答案]B (2)[解析]由题意可知0%=ma0 {20%=mao’ 所以u”=2即a=2赢，m=,由题意可知当1K10时 失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，当t≥10时，则 有语<15%即语()≤15%，将以()y<2。 所以元≤og号+log万，解得1<28. [答案]ABC 跟踪训练 10-9 C[依题意，当1=107W/m时，L=10g10 10lg10=50:当1=2×10w/m2时，L,=10lg2X10 102 10lg(2×103)=10(lg2+3)=30+10lg2<30+10lg10=40; 当1=5×10w/m时，L10g5X002=10g(5×102) =10(lg5+2)=20+10lg5<20+10lg10=30;当1= 高考总复习数学 9X0Wm时.L,=10e29”=10g0X10)= 10(1g9+1)=10+10lg9<10+101g10=20.所以这4人 中达到班级要求的有3人.] 题型3 [例3][解](1)根据题意，d=d,+d1+d2+d3=30+ 0.80+0.20+20k=30+0+20k(0≤u≤3.3). (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即 对任意的k∈[0.5,0.9]30+w+20%<90恒成立. 易知当v=0时，满足题意： 挡0<≤3.3时，有0<0-对任意的k∈[0.50.0 恒成立， 由∈[0.50.9]，得∈[8] 所以9> 即2+10v-600<0,解得-30<<20， 所以0<<20. 综上，0v<20, 所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下. 跟踪训练 C[设石片第n次“打水漂”时的速率为n, 则飞，=100×0.90”-1. 由100×0.901<60，得0.90-1<0.6， 则(n-1)ln0.90ln0.6, >品88二8i≈487，明>87 即n-1>1n0.9 故至少需要“打水漂”的次数为6.] 第三章一元函数的导数及其应用 §3.1导数的概念及其意义、导数的运算 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x）y1=2.斜率y-f八x)=f()(x-) 3.0 ax-cosa-sin a'ln a e xind 11 4.f()g'(z)f()g(x)+f(z)g'(x)cf(x) 5.y。· 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.A[f()=-2,所以f(2）=2-2=0.] 3.D[函数f(.x)=2,求导得f(x)=2ln2, 则f(0)=ln2,而f(0)=1, 所以所求切线方程为y-1=ln2·(x-0), 即x·ln2-y+1=0.] 4.解析：因为∫(x)=一3-2 2 -2sin 2x, 所以f(0)=-2 3 答案：-号 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析] ()广== xln'c' 故A正确： (x2e)'=(x2+2x)e,故B错误； [os(2x-号)门=-2sin(2x-号），故C错误： [答案]AD .3 (2)[解析]了(x)=2x+f(3)os “r(5）-经+f() f(晋)-经 f)=+经in2 ()需+ [答案]需+任 跟踪训练 1.BD[(2025)/=20251n2025,A错误；(x25+1og2x)/'= (x225)y+(log.x)'=2025.x224+1 +2B正确：() -sinx·sinx-cosx·cosx_ sinC错误；(x3y 1 sin'x (x2)'·3+x×(3)'=2x3+x3ln3.D正确.] 2解折：因为f=e+9所以了o)=2+0. 4 解得了0)-号· 答案：号 题型2 [例2-1][解析]先求当x>0时，曲线y=lnx过原，点 的切线方程，设切点坐标为(xo,y), 由y=】,得切线斛率为】，又切线的斜率为业 o 所以1=少，解得。=1 To o 代入y=lnx,得xo=e, 所以切我斜奉为。切线方程为y-已 e 同理可求得当<0时的切线方程为y=一 x. e ey=-1 综上可知，两条切线方程为y=上工 e r. [答案]y=。xy=- [例2-2][解析]由2x十5=e+x十a得e=x+5 a,故可知y=x十5-a与y=e相切，所以5-a=1,故a =4. [答案]4 [例2-3】[解析]令y=。=。,得x=-1… 代入曲线y=e1=1 所以PQ的最小值即为点(-1，)到直线y=。x的 距离d= 2 √/e2+1 [答案]B 跟踪训练 1.解析：设fx)=3(x2-x)e,g(x)=h x+11 则f(x)=3(2.x-1)e1+3(.x2-x)e1=3(.x2+x-1) e-1,f(1)=3. 直线y=ax十2的斜率为k,=a,由导数的几何意义可 得，k1=3,所以a=3. 2+1-In =安 又g'(x)=