第1章 1.5 一元二次方程、不等式（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §1.5一元二次方程、不等式 ★[考试要求] 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一 元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法 复盘>必备知识 学生用书P14 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 自主诊断查验 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 判别式 “X”) △>0 △=0 △0 △=62-4ac (1)若不等式a.x2+bx十c<0(a≠0)的解集为(x1,x2),则 二次函数y= 必有a>0. (√) ax2+bx+c(a (2)若方程a.x2+bx十c=0(a≠0)没有实数根，则不等 >0)的图象 式ax2+b.x十c>0的解集为R. (×) 方程a.x2+bx 有两个不相等的 有两个相等的 (3)不等式ax2十b.x+c≤0在R上恒成立的条件是 实数根x1,x2 实数根x1=x2 没有 +c=0(a>0) a<0且△=b2-4ac≤0. (×) 的根 (x1<x2) .6 实数根 2a (4)若二次函数y=a.x2+bx+c的图象开口向下，则不等 a.2+bz+c>0{x|x<x1或 式a.x2十bx十c<0的解集一定不是空集. (W) b (a>0)的解集 x>x2} 2a} 2.不等式工二≤0的解集是 x-3 () ax2+bx+c<o {xx1<x<x2} 2 0 A.(-o∞，1)U[3,+∞)B.(-o∞，1]U(3,+∞) (a>0)的解集 C.[1,3) D.[1,3] 2.分式不等式与整式不等式 (1)fr>0(<0)台fx)g(x)>0(<0): 解析：C 1x-1)(x-3)≤0， 曰1≤x g(x) 号≤0{女-3≠0 (2)fr≥0（≤0）台fx)g(x)≥0（≤0）且g(x)≠0， <3,所以不等式0的每条为1,3] g(x) 3.简单的绝对值不等式 3.不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3)，则a十b |x>a(a>0)的解集为(-∞，-a)U(a,十o∞)， |x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 解析：由不等式x2一ax一b<0的解集为(2,3)，知 知识拓展用活 方程x2-ax-b=0的解为2或3， (1)一元二次不等式恒成立问题 由韦达定理，得2十3=a 解得a=5,b=-6, ①不等式a.x2+b.x+c>0(a≠0)，x∈R恒成立台 12×3=-b a>0且△<0； 所以a十b=-1. ②不等式a.x2+bx十c<0(a≠0)，x∈R恒成立台 答案：-1 a<0且△<0： 4.不等式m.x2十mx+1>0对一切x∈R恒成立，则 ③若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a 实数m的取值范围是 =0的情形. 解析：当m=0时，显然成立；当m≠0时，由已知得 (2)对于不等式a.x2+bx十c>0,求解时不要忘记a=0 n>0, 时的情形 解得0<m<4.综上知，实数m (△=m2-4m<0,1 (3)当△<0时，不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集 的取值范围是[0,4). 为R还是心，要注意区别 答案：[0,4) 跃升>关键能力 学生用书P15 核心考点分类突破 题型1 一元二次不等式的求解 B不等式告1的解集为-3<x<2 ◆[角度1]不含参的不等式 C.不等式|x-2|≥1的解集为{x1≤x≤3} [例1一1][多选]下列选项中，正确的是 ( A.不等式-x2-x十2>0的解集为{x|x<-2,或 D.设x∈R,则“x-1<1"是“+4<0”的充分不 x-5 x>1} 必要条件 ·18. 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 [解析]因为方程-x2一x十2=0的解为x1=1, 解：不等式a.x2-(2a-1)x-2≥0可化为 x2=-2,所以不等式-x2一x十2>0的解集为{x (a.x+1)(x-2)≥0， -2<x<1},故A错误； 当a=0时，x-2≥0，不等式的解集为[2，十∞)； 因为去-1≤0，即生盘≤0即(+3x-2)≤ x-2 当a>0时，不年式化为(+日)-2)≥0，其解 0(x一2≠0)，解得一3≤x<2,所以不等式的解集 为{x一3≤x<2},故B正确； 秦为(-m,-]U[2,+∞)： 由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1， 当a<0时，不等式化为(+日-2)0， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{xx≤1， 或x≥3}，故C错误； (1)当-日<2，即a<-2时，不等式的解第 由x-1<1,可得-1<x-1<1,解得0<x<2, 由+4<0，可得-4<x<5,因此，“1x-1<1”是 为[-合2： x-5 “十4<0”的充分不必要条件，故D正确。 (1)当一=2，即a=-2时，不等式的解条为2： a x-5 [答案]BD (m)当一1>2，即一号<a<0时，不等式的解集 a 2 [角度2]含参不等式 [例1-2]解不等式12x2-ax>a(a∈R). 为-1 [解]原不等式可化为12x2-ax-a>0, 题型2( 三个二次之间的关系 即(4x十a)(3x-a)>0, [例2][多选]已知关于x的不等式ax2十b.x十c>0 令(4x十a)(3x-a)=0, 的解集为{xx<一2，或x>4},则下列说法正确 解得x1=一登=号 a 的是 A.a>0 当a>0时，原不等式的解集为 B.a+b<c -0∞，- (台+∞： C.bx十c>0的解集是{xx>-4} 当a=0时，原不等式的解集为（一o∞，0）U(0,十∞)； D-+a<0的解集是{-或>号} 当a<0时，原不等式的解集为 [解析]因为关于x的不等式a.x2十b.x十c>0的 (∞，)(-+∞） 解集为{xx<一2或x>4}, 规律方法 所以ax2十bx十c=0的两个根为-2和4，且a>0, 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 所以-2+4=-合-2X4=台得0=-2如c (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系 一8a,所以A正确， 数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式 对于B,因为a十b-c=a十(-2a)-(-8a)=7a> 转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. 0,所以a十b>c,所以B错误， (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确 对于C,因为b=-2a,c=-8a,所以bx十c>0可化为 定时，讨论判别式△与0的关系. -2a.x-8a>0,因为a>0,所以x十4<0，得x<-4, (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个 所以bx十+c>0的解集为{xx<-4},所以C错误， 根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集 对于D,因为b=-2a,c=-8a,所以cx2-bx十a<0 形式. 可化为-8a.x2+2a.x十a<0,因为a>0,所以8x2-2x 跟踪训练 -10.2x-1D+1D>0,得x或>合所 4 1.（2025·全国二卷)不等式二>≥2的解集是( B.{xx≤-2} 以原不等式的解为{红<-，或>号}所 A.{x|-2≤x≤1} C.{x|-2≤x<1} D.(ala>1) 以D正确」 解桥：C[由≥2台子0-当<0 [答案]AD x-1 规律方法 (x-1)(x+2)≤0 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的 {x-1≠0 台-2≤x<1.] 元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出 2.解关于x的不等式： 相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次 ax2-(2a-1)x-2≥0. 项系数的正负， ·19 高考总复习数学 日跟踪训练 由x[合] [多选]已知关于x的不等式ax2十bx十c<0的解 1一x 集为(-∞，1)U(5,+∞)，则 ( ) A.a>0 1-x 一x十1一x B.a+b+c>0 1 1 C.x十c>0的解集是{红x>} 1-+121-…1 D.cd-ba十a<0的解集是{红>-吉，或x<-} 当且仅当1一=已即=0时等号成这， 解析：CD[由题意可得1和5是方程ax2十bx十c =0的两根，且a<0, 由书达定理可得1十5=一名1X5=号 所以m≥1，即m的取值范围是[1，十o∞). a (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 得b=-6a,c=5a, 即(x2-x十1)m十x-3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 对于A,因为a<0,故A错误；对于B,a十b十c=a 令h(m)=(.x2-x+1)m+x-3, 6a+5a=0,故B错误；对于C,不等式b.x十c>0, 1)2, 即-6ax十5a>0,即6r-5>0,得2>号不等式 周为r+1=()+>0, 所以函数h(m)=(x2-x十1)m十x一3在(0,2)上 c十>0的解集是{>哥}故C正确：对于D,由 单调递增， 则h(0)=x-3≥0，解得x≥3， 不等式cx2-bx十a<0,得a(5.x2+6x十1)<0，即5.x 所以x的取值范围为[3，十©∞). +6x+1>0,则(5x+10(x+1)>0,得x>- 规律方法 恒成立问题求参数的范围的解题策略 -1,即解案为{红>-号或《-l故D正确] (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围， 题型3 一元二次不等式恒成立问题 谁就是参数 (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式△， [例3]已知函数f(.x)=m.x2-(m-1).x十m-1. 一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用 (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围； 判别式△，一般分离参数求最值或分类讨论 (2)若不等式f代)≥0对一切x【一合·号引恒成 !跟踪训练 立，求m的取值范围； 已知函数f(x)=x2-3x+a. (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求 (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取 x的取值范围. 值范围； [解](1)不等式f(x)<1, (2)若f(x)<0在x∈(-1,2)上恒成立，求实数a 即m.x2-(m-1)x+m-2<0, 的取值范围。 当m=0时，x一2<0，解得x<2,不符合题意； 当m≠0时， 解：①f)=-3x+a-（e-)+a-是 有m<0, 9 {△=[-(m-1)]2-4m(m-2)<0, 则fm=f含)-a 4 解得m<3-2③ fx)>0在x∈R上恒成立，即fx)m=a-是>0， 3 综上所述，m的取值范围为 效a>》 故宾a的取值范国是(十 9=-3ta=(-)-a- f(x)在[-1,2]上的最大值为f(x)mx=f(-1)= 因为2-+1=(-)+星>0 (1-)+a-是=4+a 故f(x)在x∈(-1,2)上满足f(x)<4十a,故4+ a≤0，解得a≤-4. 故实数a的取值范围是（一∞，一4]. ·20·