第三章 第3节 利用导数研究函数的极值、最值（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

第3节 利用导数研 ★[课程标准] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2. 数的最大值、最小值」 复盘>必备知识 是 必备知识掌握 1.函数极值的概念 (1)在包含x。的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在 任何不为x。的一点处的函数值都小于点x。处的 函数值，称点x。为函数y=f(x)的极大值点，其 函数值f(x。)为函数的极大值. (2)在包含x。的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在 任何不为x。的一点处的函数值都大于点x。处的 函数值，称点x。为函数y=f(x)的极小值点，其 函数值f(x。)为函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大 值与极小值统称为极值. 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求导函数f(x). (2)求方程f(x)=0的根， (3)列表，检验f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧 的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y= f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；如果左 右两侧符号一样，那么这个根不是极值点。 (4)得极值，由表得极大值与极小值. 3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小 的一个是最小值，得出函数f(x)在[a,b们上的最值. 4.利用导数求解实际问题中的优化问题 (1)在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、 体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题 通称为最优化问题， (2)应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的 已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适 当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条 件下的最大（小）值问题.此过程用框图表示如下： 实际问题一用函数表示的数学问题 实际问题的答案←用导数解决数学问题 说明：常将问题中能取得最大值或最小值的那个 变量设为y,而将另一个与y有关的变量设为x, 然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步 分析可得出函数的最值 (3)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实 际意义确定最值. 主题二第三章导数及其应用 究函数的极值、最值 会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函 生用书P52 打通教材强基固本 …重要结论。 1.函数极值与导数的关系 (1)f(x)=0是x。为f(x)的极值点的必要不充分 条件.例如，f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极 值点 (2)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值， 则x1为极大值点，极大值为f(x1);在x2处取得 极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2).极大 值与极小值之间无确定的大小关系. 2.函数极值与最值的关系 (1)极值只能在定义域内取得（不包括端点），最值却可 以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的 也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函 数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取. (2)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点， 则相应的极值一定是函数的最值， 自主诊断查验 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“×” (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. (2)函数的极大值不一定比极小值大. (3)对可导函数f(x),f(xo)=0是xo点为极值点 的充要条件 (4)函数的极大值一定是函数的最大值.( (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值.( (6)函数fx)=在区间[-1，上有最值.（ 答案：(1)×(2)/(3)×(4)×(5)/ (6)× ◆[小题查验] 1.函数f(x)=(x2一1)2十2的极值点是 A.x=1 B.x=-1 C.x=1或-1或0 D.x=0 解析：C[f(x)=x-2x2十3， ,由f'(x)=4x3-4x=4x(x十1)(x-1)=0,得 x=0或x=1或x=-1. 又当x<-1时，f(x)<0,当-1<x<0时，f(x)>0, 当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, .x=0,1,-1都是f(x)的极值点.门 高考总复习数学(BS) 2.如图是f(x)的导函数f(x)的 图象，则f(x)的极小值点的个 数为 -3-201 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：A[由题意知只有在x=一1处f(一1)=0，且 其两侧导数符号为左负右正.] 3.函数y=xe的最小值是 ( ) A.-1 B.-e C. e D.不存在 解析：C[y=e+x·e, 令y=0,则x=-1, x<-1时，y<0,x>-1时，y>0, ∴x=一1是函数的唯一极小值点，即为最小值点， x=-1时0m=-] 4.(忽视参数的检验致误)函数f(x)=x3十ax2十bx +a2在x=1处有极值10，则a的值为 b的值为 解析：f(x)=3r+2ar十h,依题意得)=10·解得 {f(1)=0, {b=-111 时，f(x)=3.x2十8x -11=(3.x十11)(x-1),所以f(x)在x=1处取得 极值； 跃升>关键能力 题型1〔 利用导数研究函数的极值 [命题点1]由函数图象判断其极值情况 1.如图，直线y=ax十2与曲线 y=f(x)交于A、B两点，其 中A是切点，记h(x)= x,g(x)=f(x)-ax,则 f(x) 下列判断正确的是() 0 A.h(x)只有一个极值点 B.h(x)有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C.g(x)的极小值点小于极大值点，且极小值为一2 D.g(x)的极小值点大于极大值点，且极大值为2 解析：D[设切点A的坐标为(xo,f(xo),则由条 件得f'(xo)=a, 且当x<xo时，f'(x)>a;当x>xo时，f(x)<a, 'g(x)=f(x)-ax, ∴.g'(x)=f(x)-a, .当x<x0时，g'(x)=f(x)-a>0,g(x)单 调递增， 当x>x。时，g(x)=f(x)-a<0,g(x)单调递减， .当x=xo时g(x)有极大值，且极大值为g(xo) =f(xo)-axo=2, 同理g(x)有极小值，结合题图可得g(x)的极小值 点大于极大值点.门 ·8 当∫a3, 时，f(.x)=3.x2-6.x+3=3(x-1)2, 1b=3 此时f(x)在x=1处无极值.所以a=一3，b=3. 答案：一33 5.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1) (x-2)(x-a)的极值点，则f(0)= 解析：因为f(x)=(.x2-3.x+2)(x-a)(x∈R), 所以f'(.x)=(2x-3)(x-a)+(x2-3.x十2) 由f(2)=0得：2-a=0,所以a=2, 所以f(x)=(x-1)(x-2)2且f'(x)=2(x-1)(x -2)+(x-2)2=(x-2)(3x-4) 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表 3 2 2 (2,十∞) f'(x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值单调递减极小值单调递增 即a=2时，x=2是f(x)的极值，点 所以f(0)=-4 答案：一4 生用书P53 题型突破素养提升 [命题点2]利用导数求函数的极值 2.已知函数f(x)=x2-8.x十6lnx十1，则f(x)的极 大值为 A.10 B.-6 C.-7 D.0 解析：B[函数f(x)的定义域为(0，十∞)， f(x)=2.x-8+6=2(x-1)(x-3) x 令f'(x)=0,解得x=1或x=3, 当x变化时，f(x),f(x)的变化如下表 x (0,1) 1 (1,3) (3,十∞) f(x) + 0 0 f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以f(x)的极大值为f(1)=-6.] 方法指导 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤 (1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导 数f(x)； (2)求方程f'(x)=0的根； (3)检查f'(x)在方程根的左右的值的符号，如果 左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值， 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小 值.如果左右符号相同，则此根处不是极值点， 易错警示 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值，那么y=f(x) 在(a,b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数 没有极值。 ◆[命题点3]已知极值求参数的取值 3.已知函数f(x)=a(sinr+cos）+x在(0，r)上 e 恰有两个极值点，则实数a的取值范围是() Ao.号e B.(-o,e") C.(0,e") 解析：D[由题意可得f'()=一2asin十1，因为 e 函数f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，所以 f'(x)在(0，π)上有两个变号零，点. 令f(x）=二2 agin+1=0,可得a=28mx e e e 令g（x)=2sn文x∈(0：， 则直线y=a与函数y=g(x),x∈(0，π)的图象有 两个不同的交点， g'(x)=2e'(sin z-cos 22e'sin (2sin x)? (2sin x) 当x(任时g>0,所以g)在( 单调递增， 当x∈(0，)时g()<0,所以g)在(0，)上 单别递戏，又周为()号。当x装近于0时， g(x)趋近于十o∞，当x趋近于π 时，g(x)趋近于十∞，所以可作 出g（x)的图象如图所示，数形 结合可知a> ,即实数a的 2 取值范围是 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=e一a.x -a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的 切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值 范围. 解：(1)a=1,f(x)=e-x-1,切点(1，e-2), f(.x)=e-1,k=f(1)=e-1,所以要求的切线方程 为y-(e-2)=-(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1. ·8 主题二第三章导数及其应用 (2)f(x)=e-a,当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R 上单调递增，此时无极值， .a>0,令f'(x)=0,x=lna, .f(x)在(-c∞，lna)上单调递减，(lna,+o∞)上 单调递增， ∴f(x)小位=f(lna)=a-alna-a3<0, .1-lna-a<0, 令g(a)=-a2-lna+1,g(a)=-2a-1<0 a g(a)在(0，十o∞)单调递减，而g(1)=0, .g(a)<0台a>1, .a的取值范围(1，十o∞). 题型2( 利用导数研究函数的最值 [典例] 已知0<<则十+ 64 一的 最小值为 [解析]设f(x)= sinx」 64 1-cos1十cosx 2sin 2cos 2 64sin2号+cos2 2 2 2in专 2cs号 1 +32tan2号+32. tan 2 设tan2=t,由x∈(0，r),得t>0, 则f)=+32+32. f)=-+6=6r1=0,得=} 当e(0,)时f<0,f)在区同(0，)上单 调递减， 当1∈（，+）时，f()>0,f()在区同 (什+)上单羽递增， 所以当1=时，)取得最小值f(》 =38, 即，sinx 64的最小值为38. 1-cos x'1+cos x [答案]38 (2)已知函数f(x)=x2er,其中a≤0，e为自然对 数的底数 ①讨论函数f(x)的单调性； ②求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. [解]①f(x）=2.xer十x2aer=x(a.x+2)e. 当a=0时，由f'(x)>0,得x>0,由f(x)<0,得 x<0. 故函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，在（一∞，0） 上单调递减； 高考总复习数学(BS) 当a<0时，由f(x)>0,得0<<-2 由fx)0得<0成>-忌 故函教f(x)在(0，一 2上单调递增， 在(-∞，0)与 ②当a=0时，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最 大值为f(1)=1; 当-二>1，即-2<a<0时，f(x)在区间[0,1]上 a 单调递增，其最大值是f(1)=e; 当0<-2≤1，即a≤-2时，x=-2是函数f(x) 在区间[0,1]上唯一的极大值点，也就是最大值点， 北时高数x)最大位是f()。 4 综上可得当一2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大 值是e; 当a≤-2时，f)在[0.1上的最大值为名 方法指导 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时，首先可判 断函数在[a,b]上的单调性，若函数在[a,b]上单调 递增或单调递减，则f(a),f(b)一个为最大值，一 个为最小值.若函数在[a,b们上不单调，一般先求 [a,b]上f(x)的极值，再与f(a),f(b)比较，最大 的即为最大值，最小的即为最小值 易错警示 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数 时，要讨论参数的大小 跟踪训练 1.已知函数f(x)=(x-1)e+a.x2的最小值为-1， 则实数a的取值范围为 解析：因为f(x)=（x-1)e十a.x2, 所以f'(x)=xe+2ax=x(e+2a), 若a≥0，则x∈(-o∞，0)时，f(x)<0, 故f(x)在（一∞，0）上单调递减， x∈(0，十∞)时，f(x)>0,故f(x)在(0，十o∞)上 单调递增， 所以当x=0时，f(x)有最小值f(0)=一1，满足 题意； 若a<0,则当x无限趋近于负无穷大时，f(x)无限 趋向于负无穷大，f(x)没有最小值，不符合题意； 综上，a≥0，所以实数a的取值范围为[0，十∞). 答案：[0，十∞) ·8 2.已知函数f(x)=alnx-2x-4（a≠0. (1)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值； (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值. 解：(1)当a=1时，f()=lnx-2x-1,x∈(0，十oo), 则(x)三克一2+ x :=-2x2+x+1 =-(2x+1)(x-1) x 解-(2x十1)(x-1)=0,可得x=1,或x=-之 (舍)，所以当0<x<1时，f'(x)>0,函数f(x)单 调递增， 当x>1时，f(x)<0,函数f(x)单调递减， 故函数f(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区 间是(1，十∞)，所以函数f(x)的极大值为f(1)= 一3，没有极小值. (2)由题意得f()=g-2+4 =-2z2-ax-a2 =-(x-a)(2x十a) x 若a≥1，当x∈(0,1]时，f(x)≥0，f(x)在区间 (0,1]上单调递增， 此时f(.x)的最大值为f(1)=-2-a2; 若0<a<1,当x∈(0，a)时，f'(x)>0,f(x)单调 递增， 当x∈(a,1]时，f(x)<0,f(x)单调递减， 此时f(x)的最大值为f(a)=alna-3a; 若-2<a<0,则0<-号<1，当x∈（0，-号)时， f'(x)>0,f(x)单调递增， 当z∈(-受l时，f()<0,f(x)单调递减， 此时f(x)的最大值为f-受)=aln(-受)十3a 若a≤-2，则-号>1，当x∈(0,1]时，f(x)≥0， f(x)在区间(0,1]上单调递增， 此时f(x)的最大值为f(1)=-2-a2 f-2-a2,a≤-2或a≥1， 综上可得，f(x)max= aln a-3a,0<a<1, ain(-)+3a-2<a<o. 题型3〔利用导数研究生活中的优化问题】 [典例]某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度， 长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两 端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为”立 方米，且≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面 积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千 元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元， 设该容器的建造费用为y千元。 (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定 义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r, [思维导引](1)建造费用=表面积×单价，用 把L表示出来，再由>≥2r得到r的取值范围，即函 数y的定义域；(2)利用导数求该容器的建造费用 最小时的r [解](1)设容器的容积为V,由题意知 、 V=r1+xr,又V-80,故1= 3 3 80 国此(9-户2r, 整理得9>5r,故0<r≤2.所以建造费用 2X3+rc=2rx(9-）X3+4r 因此y=4xc-2r2+160r,0<≤2. (2)由(1)得y'=8x(c-2)r-160r -8红2(-20)0r2 2 由于c>3,所以c-2>0, 当r320 320 c-2 =0时r=√-2 320 令√。2=m,则m>0, 所以y=8π(c-22(r-m)(2+m十m2). ①当0<m<2,即>号时，当r=m时y=0: 当r∈(0，m)时，y<0;当r∈(m,2)时，y>0. 所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值，点. ②当m≥2，即3<≤号时， 当r∈(0,2]时，y<0,函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点. 综上所送，当3<≤号，建造变用最小时r=2: 20 当>号，建造资用最小时r=22 8 主题二第三章导数及其应用 方法指导 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际 问题的数学模型，写出相应的函数关系式 y=f(x). (2)求导数f'(x),解方程f'(x)=0. (3)判断使f'(x)=0的点是极大值点还是极小 值点· (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题 中作答.一般地，对于实际问题，若函数在给定 的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最 值点. 日跟踪训练 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销 售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克) 满足关系式y=“3+10(x-6),其中3<x<6, a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售 出该商品11千克. (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润 最大. 解：(1)因为x=5时y=1,所以号十10=11， 即a=2. (2)由)可知，该商品每日的销售量为y=,23十 10(x一6)2(3<x<6).所以商场每日销售该商品所 黄得的利洞为1)=(-3)儿2+10x-6门 =2+10(x-3)(x-6)2(3<x<6). 从而f'(.x)=10[(.x-6)2十2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(.x-6). 于是，当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如 下表： (3,4) 4 (4,6) f'(x) 十 0 f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x=4时，函数f(x)在区间(3,6)内的 极大值点，也是最大值点.所以当x=4时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以当销售价 格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的 利润最大。