第三章 第1节 导数的概念及其几何意义、导数的运算（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

选择性必修第二册 第三章 导数及其应用 第1节导数的概念及其几何意义、导数的运算 ★[课程标准] 1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求 简单复合函数（仅限于形如y=f(a.x十b)的复合函数）的导数. 复盘>必备知识 学生用书P46 打通教材强基固本 必备知识掌握 函数 导函数 1.函数y=f(x)在x=xo处的导数 y=cos x y=-sin x (1)定义：设函数y=f(x),当自变量x从x。变到x 时，函数值从f(x。)变到f(x1),函数值y关于x y=_ 1 y=tan x 的平均变化率为Ay=f)-f(x) cosx △.x x1一xo 4.导数的运算法则 fx十△x)-fx）.当x1趋于xo,即△x趋于0 若f'(x),g(x)存在，则有： △x (1)汇f(x)士g(x)]Y=f(x)±g'(x); 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个 (2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x): 值就是函数y=f(x)在点x。的瞬时变化率，在数 学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x。处的 (3FD-P(Dg(fg((() [g(z)] g(x) 导数.通常用符号f(x。)表示，记作f(xo)= 5.复合函数的导数 lim f)-fxw）=1im+△）-fx】 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=p(x)=ax十b, x1一xo 如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了 (2)几何意义函数y=f(x)在x。处的导数f'(xo),是 y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数 曲线y=f(x)在点(x。,f(xo)处的切线的斜率. 为函数y=f(u)和u=p(x)的复合函数，记作y= 2.函数y=f(x)的导函数 f((x),其中w为中间变量.复合函数y= 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一 f((x)对x的导数为y,′=[f(p(x)]'= 点x处都有导数f'(x)=limf+△）-f,那 f'(u)g'(.x).其中u=p(x). A-0 △x 么f'(x)是关于x的函数，称f'(x)为y=f(x)的 …重要结论。 导函数，也简称为导数.有时也将导数记作y. 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数， 3,基本初等函数的导数公式 周期函数的导数还是周期函数. 2.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬 函数 导函数 时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 y=c(c是常数) y'=0 |f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)越大，曲线在 这点处的切线越“陡” y=x(a是实数) y'=a.x-1 自主诊断查验 y=a(a>0,a≠1) y'=alna,特别地(e)'=e ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 y=logx (a>0, 1 ,特别地(lnx)'= 1 打“√”，错误的打“X”. a≠1) xln a (1)y=f(x)在点x=x。处的函数值就是函数 y=f(x)在点x=x。处的导数值. () y=sin x y'=cos x (2)求f(xo)时，可先求f(x)再求f(x.( ) 71 高考总复习数学(BS) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点， 3.已知函数f(x)=x(19+lnx),若f(xo)=20,则 To= () (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 A.e B.1 C.In 2 D.e 切线， ) 解析：B[f(x)=19+lnx+x· =20+lnx,由 x (5)若f(x)=f'(a)x2+lnx(a>0),则f(x)= f'(xo)=20,得20+lnxo=20,则lnx。=0,解得 2xf(a) x0=1.] 4.(多选)下列求导数运算正确的有 答案：(1)/(2)×(3)/(4)×(5)/ A.(sin x)'=cos x ◆[小题查验] ( 1.设f(x)为R上的可导函数，且f(1)=1, C.(logs )=3In 1 D.(lnx)'=1 则lim f(1)-f(1+2Ax)_ ( △x 解析：AD[A.(sinx)'=cosx,故正确； A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析：B[因为f1)=1imf)-f+2△2=1， 之，故错误；C.(1ogx)户 xn3故错误； △ -2△x 所以mD-+2△2=-2.] D.nxr=放正确.] △x 5.(忽视切点的位置致误)(BSD选择性必修第二册 函数y=x)的图象如图所示，则y= P6习题2-2A组T改编)已知函数f(x)=2.x3 f'(x)的图象可能是 3x,过点M(0,32)作函数f(x)的切线，则切线方程 为 解析：设切点坐标为V(xo,2x。一3x。),则切线的斜 率k=f(x)=6.x-3, 故切线方程为y=(6x-3)x+32,又因为点N在 切线上， 解析：D[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来 所以2x8-3x0=(6x-3)x。+32,解得xo=-2, 越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来 所以切线方程为y=21x十32. 越大.门 答案：y=21x十32 跃升>关健能力 学生用书P47 题型突破素养提升 题型1 导数的概念 =1-/I+△x_1-1+△x)(1+1+△x) √1+△x √1+△.x(1+√1+△.x) 1.已知函数f(x)=2lnx+8.x, -△x 则1imf1+2Ax)-f少的值为 √1+△x(1+√1+△x) △r0 △x 1 A.-20 B.-10 C.10 D.20 Ay= △x √1十△x(1+√1十△x) 解析：D[因为f(x)=2lnx+8x, 所以f(x)=2+8, 四8-+a1+1+a -1 所以lim f(1+2△x)-f(1) y|x=1=- 2 △x 题后反思 =imf1+2）-f①=2r0)=20.] 2△.x 根据导数的定义，求函数y=f(x)在x=x。处导数 的步骤 用导数的定义求函数y在x一1处的导数！ (1)求函数值的增量△y=f(xo十△x)一f(xo); 1 解：设f(x) (2)求平均变化率Ay=fx十△x)-fx) △x △x 则Ay=f1+△x)-f1)=1-1 (3)计算导数f'(.xo)=1im △y 1+△x 0△.x ·72· 主题二第三章导数及其应用 题型2 导数的计算 方法指导… 函数求导的遵循原则 1.下列求导运算正确的是 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函 A.(e-)'=e' 一 数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量， B.(cos 3.x)'=-sin 3x 提高运算速度，减少差错· C.w-1)'=2 (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但 √x-I 在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数 D.(xIn x)'=1+In x 先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的 解析：D[(e)'=-e,(cos3.x)'=-3sin3x, 求导法则，减少运算量. W-1)/=1 (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次， ,(xln x)'=In x+1. 2√x-1 通过设中间变量，确定复合过程，然后求导 2.(2025·全国一卷)若直线y=2x十5是曲线y= 题型3〔 导数的几何意义及应用 e十x十a的一条切线，则a= 卜[命题点1]求切线方程 解析：由2x+5=e十x十a得e=x十5-a,故可 1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=c+2sin工，则曲 知y=x十5-a与y=e相切，y=e的导数y'= 1+x2 e,所以切点横坐标为0，所以5一a=1,故a=4. 线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成 的三角形的面积为 ( 答案：4 3.求下列函数的导数. A吉 &号 c (1)y=x2sin x; 解析：A[f(x)=e+2sinx (2y=nx+: 1+x2 f(r)=（e+2osx1+x)-(e+2sinx)·2z (3)y=c0sx」 (1+x)2 —； e =(z-1)'e'+2(1+r)cos z-4xsin a (1+x2)2 4y=n(2x+osf2x+》 则f(0)=3, (5)y=ln(2.x-5). y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1= 解：(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)1 3(x-0),即3.x-y+1=0 =2xsin x+x'cos x. 令x=0,得y=1, (2-+)=m2+()=是 令y=0,得x=-合 y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成 3y-(e'-os'ere (e) 的三角形的面积为S=合××1=合] sin x+cos x 2.已知曲线y=子上一点r(2,)则过点P的 切线方程为 解桥：①当P为切点时，由-（仔}=，得 xsin(r 2xsin 4x, y|x=2=4,即过点P的切线方程的斜率为4. =-n4-·o4女 1 则所求的切线方程是 8=4(x-2), =-2n4-2cos1x. 即12.x-3y-16=0. ②当P点不是切点时，设切点为Q(x0yo), (5)令u=2x-5,y=lnw, 则切线方程为y一号=(-， 则=。2-2y22 因为切线过点P(2,)起P点的坐标代入以上 切线方程，求得x。=一1或x。=2(即点P,舍去)， ·73· 高考总复习数学(BS) 所以切点为Q-1,- ,即所求切线方程为 P[命题点2]求参数的值（范围） 3 4.已知P是曲线C:y=lnx十x2+(W3-a)x上的一 3.x-3y+2=0. 综上所述，过，点P的切线方程为12.x一3y一16=0 动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为0，若 或3x-3y+2=0. 吾<0长受，则实数a的取值范周是 ) 答案：12x-3y-16=0或3.x-3y+2=0 3.已知函数f(x)=alnx(a≠0)，过原点作曲线y= A.[23,0) B.[2√2,0) f(x)的切线l,则切线l的斜率为 C.(-∞，2√5 D.(-∞，2√2] 解析：根据题意得，子()=2，设切点坐标为(0y) 解析：D[因为y=lnx十x2+(W3-a)x, 则f'(x)=4, 所以y=}+2x+E-a, 所以切线l的方程为y=2(x一xn)十o, 因为曲线在M处的切线的倾斜角0∈[5，受)所 将点(0,0)代入，可得0=a(0一)十，整理得 以y≥tanT=√5对于任意的x>0恒成立， yo=a, 即十2x十5-a≥对任意x>0恒成立， 故aln xo=a,解得xo=e,故f(.xo)=&,即切线l e 即a≤2x+,又2x+≥2g,当卫仅当2z= 的斜率为是 即x号时，等号成立，故a≤22，所以a的取值 答案：吕 范围是(-∞，2√2].] 方法指导 5.若直线y=k.x与曲线y=logx相切，则实数k= 1.已知切点A(xo,f(xo),求切线方程的步骤 C (1)求斜率k,即求该点处的导数值：k=f(xo): A.eln 3 (2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程： B.elogse y-f(xo)=f(xo)(x-xo). c日 D.Llogse e 2.求曲线过点P的切线方程的方法 解析：D [设切，点为(xo,log3xo),由y=log3x,可 (1)当点P(xo,yo)是切点时，切线方程为y一y 得y= n3则y15=。 1 1 =f'(xo)·(x-xo). =k,所以 oln 3 (2)当点P(xo,yo)不是切点时，可分以下几步 =k, to=e, 完成： xoln 3 解得 1 即k=11oge,] k e 第一步：设出切点坐标P'(x1,f(x); ko=10g3o eln 3' 第二步：写出过点P'(x1,f(x1)的切线方程 解题技法 y-f(x1)=f'(x1)(x-x1); 利用导数的几何意义求参数的基本方法 第三步：将点P的坐标(xo,y)代入切线方程 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到 求出x1; 关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组）， 第四步：将x1的值代入方程y-f(x1)= 进而求出参数的值或取值范围 f'(x1)(x-x1)可得过点P（xo,yo)的切线 [命题点3]两曲线的公切线 方程 [典例](1)(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x 易错警示 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)十a的 求切线方程的“在”“过”两重天 切线，则a= 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象（切线） [解析]由y=e+x,得y'=e十1，y|x=o=e°十1=2， 涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的 故曲线y=e十x在(0,1)处的切线方程为y 方法进行求解 =2x+1; (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导， 代入点的横坐标得到斜率. 由y=ln(x+1)+a,得y'=1 -x+1' (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是 设切线与曲线y=ln(x十l)十a相切的切点为 切点，故应先设切点，求切点坐标 (zo,In(zo+1)+a), 74 主题二第三章导数及其应用 由两曲线有公切线得y= o+12, (3)求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线 与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清 解得x。= 晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中 切线方程为y=2(+)十a+1n日 条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线 相切，直线与抛物线相切可用判别式法. =2.x+1+a-ln2, 跟踪训练 根据两切线重合，所以a-1n2=0,解得a=ln2. [答案]ln2 1.(多选)已知函数f(x)=√-lnx,若f(x)在x= (2)若过点P(1,m)可以作三条直线与曲线C:y= x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则 总相切，则m的取值花用为 B.x1x2<128 C.x1+x2<32 D.x+x>512 解析：AD[由题意知f(x)=1-1(x>0), () 2√x C.(-∞，0) 因为f(x)在x=x1和x=x2（x1卡x2)处切线平行， [解析] 由y=号，则y=二，设切点为 e 所以f(x1)=f(x2),即。1-1=1 2x1x12x2 〔号)则切线针幸1 是北药群店左宁A正确内基本不年 则在点 的切线方程为y一 o e' 式及≠x,可得立 =1+1>21，即 √x1x2Wx1x2 1x0(x-x0) e x1x2>256,B错误；x1十x2>2√Jx1x2>32,C错误； x1十x2>2x1x2>512,D正确.] 代入，点P坐标得m x2=1-(1-x0), ee'。 2.已知曲线y=x十lnx在点(1,1)处的切线与曲线y 整理为m=后-十1，即这个方程有三个不等式 =a.x2+(a十2)x十1相切，则a= 解析：法一：因为y=x十lnx,所以y=1十 实根， 令fx)=_+1,则fx)=二2+3江=2 y'11=2. e e 所以曲线y=x十lnx在点(1,1)处的切线方程为y 令f'(x)>0,则1<x<2, -1=2(x-1),即y=2.x-1. 函数f(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1,2)上单调 因为y=2x-1与曲线y=a.x2十(a十2)x+1 递增，在(2，十∞)上单调递减 相切， 故得f(1)<m<f(2),即m 所以a≠0（当a=0时曲线变为y=2.x十1与已知 直线平行) [答案]D 解题技法 由/=2x-1, y=a.x2+(a+2).x+1 消去y,得a.x2十ax+2=0. (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、 由△=a2-8a=0,解得a=8. 切线、切点的三个关系列出参数的方程： 法二：同法一得切线方程为y=2x一1. ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线 设y=2.x-1与曲线y=a.x2+(a十2)x十1相切于点 上；③切点在曲线上. (xo,a.x+(a+2)xo+1).因为y=2a.x+(a+2), (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切 所以y'|x=,=2ax十(a+2). 线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点 P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切 12a.xo+(a+2)=2, 由 线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线 1ax6+(a+2)x+1=2.x。-1 解得- la=8. 上，不一定在曲线上 答案：8 ·75·