第二章 第1节 函数的概念及其表示（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

必修第一册 第二章 主题二函数 函 数 第1节函数的概念及其表示 ★[课程标准] 1.通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 复盘>必备知识 学生用书P17 打通教材强基固本 必备知识掌握 (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函 数是相等函数 () 1.函数的定义及相关概念 (1)函数定义：给定实数集R中的两个非空数集A和 (4)f(x)=1与g(x)= 1(x≥0)，、表示同一 0-1(.x<0) B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的 函数 每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和 答案：(1)×(2)/(3)× (4)× 它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A ◆[小题查验] 上的一个函数.记作y=f(x),x∈A. 1.(多选)下列四个图象中，是函数图象的是( (2)相关概念：集合A称为函数的定义域，x称为自变 量；与x值对应的y值称为函数值，集合f(x)x ∈A}称为函数的值域. (3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对 c 应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值 解析：ACD[根据函数的定义，一个自变量值对应 相同，那么这两个函数是同一个函数 唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个 2.函数的表示法 函数值，显然只有B不满足.] 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法， 2.(BSD必修第一册P,习题2一2A组T4改编)下列 3.分段函数 函数中，与函数y=x+1是同一个函数的是() 若函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同 A.y=(Wx十I) B.y=Vr+1 的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函 C.y=+1 D.y=√x+1 数为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它 x 表示的是一个函数. 答案：B …重要结论。 2x1 ,x1, 1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(.x)的图象有0 3.已知f(x) 若f(a)=1,则实数a的 个或1个交点. 2 ,x≥1， 2.函数定义域的基本要求 值为 ( ) (1)分式函数中分母不等于零. A.1 B.4 C.1或4 D.2 (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. 解析：B[当a<1时，f(a)=21=1,则a-1=0, (3)y=x°的定义域是{.x|x≠0. 解得a=1(含去)：当a≥1时，fa)=-1,则va 2 (4)对数型函数的真数大于0： =2,解得a=4.] 自主诊断查验 4.函数fx)=3十/16-7的定义城是 ◆[思考辨析] √x+4 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 答案：(-4,4] 打“√”，错误的打“X”. 5.(忽视变量的范围致误)已知f(√x)=x一1，则 (1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个 f(x)= 交点. () 解析：令t=√元，则t≥0，x=t2,所以f(t)=t2一1 (2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一 (t≥0)，即f(x)=x2-1(x≥0). 函数. ( 答案：x2-1(x≥0) ·24· 主题二第二章函数 跃升>关健能力 学生用书P18 题型突破素养提升 题型1 函数的定义域 。[互动探究] 若将本例改为“已知函数y=f(x2一4)的定义域是 [命题点1]求给定函数解析式的定义域 [-1,5]”,则函数y=f(2x十1)的定义域为 1.函数y= 1g(2-x) .十(x一1)°的定义域是 √12+x-x 解析：y=f(x2-4)的定义域是[-1,5]， 则x2-4∈[-4,21]， 即函数f(x)的定义域为[-4,21]， 2-x>0, x<2, 解析：由12+x一x2>0,得 3x<4,所以一3 令2x+1∈[-4,2]，解得x∈[-，10] Lx一1≠0， x≠1， x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|-3<x<2 则函数y=f(2x十1)的定义域为 且x≠1. 答案：{x|-3<x<2且x≠1} 答案：10] 2.函数y=-√1og(1-2sinx) 的定义 方法指导 求抽象函数的定义域的策略 域是 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函 【告 数f(g(x)的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出； c[- D】 (2)若已知函数f(g(x)的定义域为[a,b], (1-2sin x>0, 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b们上的值域： 解析：A [由题意，得 log(1-2sinx)≥0， [命题点3]已知定义域确定参数问题 [典例2] 1)(多选)若函数y是十1在区间[-2， 一1]上有意义，则实数a可能的取值是( sin x0, A.-1 B.1 C.3 D.5 则{1-2sinx≥1，即 2, [解析]函数y√ +1在区间[-2，-1]上有意 义，等价于十1≥0在区间[-2，-1]上恒成立， 题后反思 由x<0,得a≤-x在区间[-2，一1]上恒成立，所 (1)已知函数的解析式求定义域，构建使解析式有 以a≤1. 意义的不等式（组）求解.如果所给解析式较复 [答案]AB 杂，切记不要化简后再求定义域. (2)所求定义域须用集合或区间表示. ②当x(侵+)时，函数f)Van (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又 和g(x)=1og2[2x2-(2a十3)x+2]有意义，则实 要考虑实际问题的要求· 数a的取值范围是 [命题点2]求抽象函数的定义域 [解析] 由题意知，当x∈(十∞）时，不等式组 [典例1]若函数f(x)的定义域为[-1,2]，则函数 g(x)= f(x一2)的定义域是 (2ax-In x>0, 成立. 2x2-(2a+3).x+2>0 √/x-1 A.[1,4] B.(1,4] 对于2a.x-lnx>0,整理得2a>hx C.[1,2] D.(1,2] [解析]由于函数f(x)的定义域为[一1,2]，对于 令h(x)=ln工，则'(x)=1-1nx, x 函数g(x)= x-2,有{1≤x22解得1< Vr-1 {x-1>0, 当∈（侵时，h)>0,h)单调递增： ≤4.因此函数gx)=一2的定义战是1,4]. x∈(e,十o∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所以 Vx-1 [答案]B (a)=Ae)=则2a>解得a> e ·25· 高考总复习数学(BS) 对于2x2-(2a+3)x+2>0,整理得2a+3<x十 [解](1)（换元法）设1-sinx=t,t∈[0,2]， sin x=1-t,.'f (1-sin x)=cos2x=1-sin2, 由于Gx)=x+上在（侵十）上的最小为 .f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. G1)=2,所以23<2，解得a<综上可得 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. 2+=+(e+》-2 a .f(x)=x2-2,x∈(-∞，-2]U[2,+∞) [答案] (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数， 所以设f(x)=kx十b(k≠0)， 方法指导 所以f(f(x)=k(k.x+b)+b=k2x十kb+b, 已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 又因为f(f(x)=4x-3, (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域 所以k2x+kb十b=4x-3, 问题转化为方程或不等式的解集问题； (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值 故4， 或范围 所以f(x)=2x-1或f(.x)=-2.x十3. 跟踪训练 1.已知f(2)的定义域是[-1,1]，则f(log2x)的定义 (④0（方程组法）将是代入2)+/()=3x 域为 解析：由已知x∈[-1,1，所以2∈[22]故 得2r)十f)=是.国光 2()+=是 fx)的定义域为[合，2所以在函数=f1ogx) 解得f(x)=2x-1(x≠0) 中，号≤1ogt<2,即1ogE<1og≤log:,所以 方法指导 √2≤x≤4，故f(1og2x)的定义域为[V2,4]. 函数解析式的求法 答案：[√2,4] (1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将 2.记函数f(x)√2-的定义域为A,g(x) F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替 x+1 代g(x),便得f(x)的解析式； lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B. (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、 若B三A,则实数a的取值范围为 二次函数)，可用待定系数法； 解析：由已知得A={xx<-1或x≥1}， (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用 B={xl(x-a-1)(x-2a)<0}, 换元法，此时要注意新元的取值范围； 由a<1,得a+1>2a,.B={x2a<x<a十1}. B二A,.a+1≤-1或2a≥1， 清去法：已知关于x)与f()或f(-x)的 a≤-2点号≤a<1 表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等 式组成方程组，通过解方程组求出f(x). a的取值范国为a≤-2或号<a<1,即[-0， 日跟踪训练 2u[21 1.已知函数f(x)满足f(cosx-1)=cos2.x-1,则 f(x)的解析式为 答案：(-，-2]U[21 A.f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0) 题型2 求函数的解析式 B.f(x)=2.x2+4x(x∈R) C.f(x)=2.x-1(-2≤x≤0) [典例]求下列函数的解析式： D.f(x)-2.x-1(x∈R) (1)已知f(1-sinx)=cos2x,求f(.x)的解析式； 解析：A[函数f(x)满足f(cosx一1)=cos2x-1 (2已知f(+)+之求)的解析式： =2cos2x-1-1=2cos2x-2, (3)f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x一3，求 设cosx-1=t,则cosx=t+1, f(x)的解析式； 由cosx∈[-1,1]知，t∈[-2,0]， 故原函数可转化为f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t, (4)已知f(x)满足2f(.x)十 3x,求f(x)的 t∈[-2,0]， 函数解析式. 即f(x)的解析式为f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).] ·26· 主题二第二章函数 2.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x) [命题点2]解方程问题 =x一1，求f(x)的解析式。 解：f(x)为二次函数， [典例1] 已知函数f(x)=人e+1,x<0, 则方程 2,x≥0， .f(x)=ax2+bx十c(a≠0)，：f(0)=c=2, f(1+x2)=f(2x)的解集是 f(x+1)-f(x)=x-1,∴.2ax+a+b=x-1, a=1 [解析]，函数f(x)= 1e+1,x<0, 2,x≥0， f)=-是+2. 方程f(1十x2)=f(2x), .当x<0时，2=e2十1，解得x=0,不成立； 3.(2024·新课标I卷)已知函数f(x)的定义域为 R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时，f(.x) 当x≥0时，f(1十x2)=f(2x)=2,成立. =x,则下列结论中一定正确的是 ( ∴.方程f(1十x2)=f(2x)的解集是{xx≥0}. A.f(10)>100 B.f(20)>1000 [答案]{xx≥0} C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 方法指导 解析：B[由题意可知，当x<3时，f(x)=x,所以 分段函数与方程问题的求解思路 可知f(1)=1,f(2)=2,又因为Hx∈R,f(x)> 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 f(x-1)+f(x-2),所以f(3)>f(1)+f(2)=3, 求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值 f(4)>f(2)+f(3)>5,同理可得，f(5)>8,f(6) >13,f(7)>21,f(8)>34,f(9)>55,f(10)>89, 范围 …f(15)>987,f(16)>1597>1000,…,故 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类 选B.] 讨论 题型3 分段函数及应用 日跟踪训练 上[命题点1求函数值 x2+2x,x≤0， 1.设函数f(x)= x-3,x≥10， 1.设函数f(x) x2,x>0, 若f(f(a)-f(a) f(f(.x+4),x<10, 则f(8)= 十2=0，则实数a的值为 ( A.10 B.9 C.7 D.6 A.2-1 B.-2-1 解析：C[因为f(x)= x-3,x≥10， C.2+1 D.-√2+1 {f(f(x+4)),x<10, 解析：B[令f(a)=t,f(f(a)-f(a)+2=0, 则f(8)=f(f(12)=f(9)=f(f(13)=f(10) 则f(t)=t-2, =7.] 2.已知a∈[-1,1]，函数f(x)= ①t≤0时，t2+2t=t-2,则t2+t十2=0无解. simL2xx-a],x≤a,若ff(a)=1,则a ②t>0时，-t2=t-2,.t=1,∴.f(a)-1, {x2-2(a+1)x+a2,x>a, a≤0时，a2十2a=1,则a=-√2-1；a>0时， -a2=1无解，综上，a=-√2-1.] 解析：f(f(a))=f(0)=1, 当0≤a≤1时，f(0)=sin(-2ra)=1, ♪[命题点3]解不等式问题 得a=--6,故a= 3 [典例2]设函数f(x)= (x+1,x≤0 则满足f(.x)十 4 2,x>0, 当-1≤a<0时，f(0)=a2=1,故a=-1. 答案：或-1 f(x-号)>1的x的取值范围是 题后反思 [解折]第一步：解>时)+f(号)>1 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 由题意得，当x>号时fx)+f(-)2十 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定 相应的解析式代入求解. 2>1恒成立，即x>: (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检 第二步：解0<≤号时x)十(-)》>1 验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自 变量的取值范围， 当0<≤号时，f)+f(-》2+红-+1 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类 讨论 >1恒成立，即0<≤ 27· 高考总复习数学(BS) 第三步：解《0时f)十f(x-号)>】 解析：A[因为f(x)= x+1)2+2x<1所以 {-2x,x≥1， 当x≤0时，x十1十x- +1>1，解得>-1，即 2 f(3)=-6,f(-3)=(-3+1)2+2=6, -1<x≤0. 则f(3)+f(|x|-4)>0,即f(|x|-4)>-f(3) 4 =6=f(-3), 第四步：取并集计算x的取值范围 f(x)的函数图象如图所示： 综上x的取值范围是 1 [答案] 方法总结 3 分段函数与不等式问题的求解思路：依据分段函数 的解析式，对不同范围的不同段分类讨论求解，最 后将各段结果取并集.注意每段不等式结果与本段 自变量的范围取交集得本段的最后结果。 4-3-2-101234 跟踪训练 -2 2.设函数f(x)= x+1)2+2x<1,则不等式 -3 -2x,x≥1， -4 f(3)十f(x|-4)>0的解集为 -5引 A.(-1,1) 由函数图象可知当x>-3时，f(x)<6且f(x)在 B.(-o∞，-1)U(1,+o∞) (-∞，-3)上单调递减，所以f(|x|-4)>f(-3)》 C.(-7,7) D.(-∞，-7)U(7,+∞) 等价于|x|-4<-3,即|x<1,解得-1<x<1, 即x∈(-1,1).] 第2节函数的单调性与最值 ★[课程标准] 1.借助函数的图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义， 2.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值. 复盘必备知识 学生用书P20 打通教材强基固本 必备知识掌握 (2)单调区间的定义 1.函数的单调性 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递 (1)单调函数的定义 减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调 增函数 减函数 性.此时，区间I为函数y=f(x)的单调区间 设函数y=f(x)的定义域是D 2.函数的最值 如果对于任意的x,x2如果对于任意的x1,x (1)若存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≤M, ∈D,当x1<x2时，都有∈D,当x1<x2时，都有 且存在xo∈D,使得f(.xo)=M,则称M为函数 公 f(x1)<f(x2),那么就f(x1)>f(x2),那么就 y=f(x)的最大值， 义 称函数y=f(x)是增函称函数y=f(x)是减函 (2)若存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≥M, 数.特别地，当I是定义数.特别地，当是定义 且存在x。∈D,使得f(xo)=M,则称M为函数 域D上的一个区间时，域D上的一个区间时， 也称函数在区间I上单也称函数在区间I上单 y-f(.x)的最小值 调递增。 调递减。 函数的最大值和最小值统称为最值， y=f(x) …重要结论。 (f(x2) _y=f(x) 图 1.单调性定义的推广 象 f)月 if(x)f(x2) 设Hx1,x2∈D(x1≠x2),则①x1-x2>0(或<0)， 描 0x12x f(x1)-f(x2)>0(或<0)台f(x)在D上单调递 述 自左向右看图 自左向右看图 象是下降的 增；x1-x2>0(或<0)，f(x1)-f(x2)<0(或>0) 象是上升的 台f(x)在D上单调递减： ·28·