第二章 第8节 方程解的存在性及方程的近似解（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第8节 方程解的存在性及方程的近似解 ★[课程标准] 1.理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点存在定理，并能简单应用. 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 复盘必备知识 学生用书P40 打通教材强基固本 必备知识掌握 自主诊断查验 1.函数的零点 ◆[思考辨析] (1)函数的零点 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 使得f(x。)=0的数x。称为方程f(x)=0的解， 打“/”，错误的打“×”。 也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数 (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标】 (2)函数零点与方程根的关系 (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点（函数图象 方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图象与 x轴有交点台函数y=f(x)有零点， 连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0. ) (3)零点存在定理 (3)函数y=2sinx-1的零点有无数多个.( 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0 连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负， 时没有零点 ( 即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内，函数y= (5)若函数f(.x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则 f(x)至少有一个零点，即在区间(a,b)内相应的 函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( 方程f(x)=0至少有一个解. 答案：(1)×(2)X(3)√(4)/(5) 2.二分法 ◆[小题查验] 对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y= 1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法 f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0, 求图中函数零点的是 则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方 法称为二分法. 3.二次函数y=a.x2+b.x十c(a>0)的图象与零点的 关系 解析：A[根据二分法的概念可知选项A中函数 △=b2-4ac 4>0 △=0 △<0 不能用二分法求零点.门 2.(2025·天津卷)函数f(x)=0.3一√x的零点所在 二次函数 区间是 y=ax2+bx+c A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) (a>0)的图象 0 C.(0.5,1) D.(1,2) 解析：B[f(x)=0.3一√((x>0)在(0，十∞)上 与x轴的交点 (x1,0), (x1,0) 无交点 单调递减。 (x2,0) f(0.3)=0.3.3-√0.3=0.3.3-0.35>0. 零点个数 0 f(0.5)=0.30.5-/0.5=0.3°.5-0.5.5<0， …重要结论· .f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上.] 1,有关函数零点的重要结论 3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时， (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数， 第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一 则f(x)至多有一个零点. 个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为 (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值 ( 保持同号. A.(0,0.5),f(0.125)B.(0,0.5),f(0.375) (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可 C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.25) 能不变， 解析：D[因为f(0)f(0.5)<0,由零，点存在性知： 2.函数F(x)=f(x)-g(x)有零点台方程F(x)=0 零点xo∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算 有实数根台函数y=f(x)与y=g(x)的图象有 交点 ff0+0.5 2 ,即f(0.25).] 62· 主题二第二章函数 4.(BSD必修第一册Ps练习Tx,改编)函数f(x)=lnx 解析：当a=0时，f(x)=-x-1,令f(x)=0得 十2x一6的零点所在的区间是 x=-1, A.(1,2) B.(0,1) 故f(.x)只有一个零点为-1，当a≠0时，则△=1十 C.(2,e) D.(e,3) 4a=0,.a=-4 解析：C[因为f(2)=ln2-2<0,f(e)=lne+2e 一6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零，点所在 的区间为(2，e).] 综上有a=0或-子 5.(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)=a.x2-x 一1有且仅有一个零点，则实数a的值 答案：0或-子 为 跃升>关键能力 学生用书P41 题型突破素养提升 题型1 确定函数零点所在的区间 解析：对于函数y=logx,当x=2时，可得y<1, 当x=3时，可得y>1,在同一坐标系中画出函数 1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)十 y=logax,y=一x十b的图象，判断两个函数图象 (x-b)(x-c)十(x-c)(x一a)的两个零点分别位 的交点的横坐标在(2,3)内， 于区间 ( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-o∞，a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,十∞)内D.(-∞，a)和(c,十∞)内 y=-x+b 解析：A[:a<b<c,.f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 5-4-3-2-10 h23453 由函数零点存在性定理可知：在区间(a,b),(b,c) v=logx 内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两 个零点；因此函数f(x)的两个零，点分别位于区间 .函数f(x)的零，点x。∈（n,n十1)时，n=2. (a,b),(b,c)内.] 答案：2 2.定义在(0，十∞)上的单调函数f(x)满足：Hx∈ 题后反思 0,+∞)，f[f(x)-logx]=3,则方程f(x)-1 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 =2的解所在区间是 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y= A. B(合) f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是 否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在 C.(1,2) D.(2,3) 区间(a,b)内必有零点. 解析：C[由题设t=f(x)-log2x>0为定值，且 (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x f(t)=3, 轴在给定区间上是否有交点来判断 所以f(x)=t十log2x,则f(t)=t+1og2t=3,易知t 题型2 判断函数零点的个数 =2,故f(x)=2+log2x, 由f(x)-1=2+1ogr-上=2，则1og,x=1 g xl,x>0, [典例] 已知f(x)= 2,x≤0， 则函数y= x 然在第一象限有一个交点， 2f(x)-3f(.x)+1的零点个数是 又因为y=10g2,y=】在(0，十o0)上分别单调递 [解析]第一步：作函数y=f(x)的图象 作出函数y=f(x)的图象. 增，单调递减， lo1<分，og2>故方程在 由1log22 (1,2)上.] 3.已知函数f(x)=logx+x-b(a>0且a≠1).当 第二步：解方程2f2(x)-3f(x)十1=0 2<a<3<b<4时，函数f(.x)的零点x∈(n,n十1)， n∈N,则n= 由2f)-3fx)+1=0得f)=号或f)=1. ·63· 高考总复习数学(BS) 第三步：观察y=号和y=1与y=f()的图象交 2.已知函数f(x)是定义在区间(-∞，0)U(0,十o∞)上 的偶函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x）= 点个数 /2 ,0<x≤2， 由图象知y= 则方程)十名女=2的根的个 2与y=f(x)的图象有2个交点 \f(x-2)-1,x>2, 数为 y=1与y=f(x)的图象有3个交点. A.3 B.4 C.5 D.6 第四步：得出函数的零，点个数 因此函数y=2f(x)-3f(x)+1的零，点有5个. 解析：D[要求方程)十g=2极的个敛，即 [答案]5 为求f()与y=2-8的交点个数， 方法指导 由题设知，在(0，十∞)上的图象如图所示， 判断函数y=f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法：令f(x)=0,则方程实根的个数就是函 数零点的个数. (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a,b]上是 连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0,再结合函 数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对 称性)可确定函数的零点个数 .由图知：有3个交点，又由f(x)在（一∞，0）U (0,十∞)上是偶函数， (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个 .在y轴左侧也有3个交点，故一共有6个交点.] 数问题（画出两个函数的图象，其交点的个数就 是函数零点的个数 题型3 函数零点的应用 日跟踪训练 [母题]若函数f(x)=xlnx-a有两个零点，则实 数a的取值范围为 1.若直角坐标平面内A,B两点满足条件： [解析]令g(x)=xlnx, ①点A,B都在f(x)的图象上； h(x)=a,则问题可转化成 (x) ②点A,B关于原点对称，则对称点对(A,B)是函 函数g(x)与h(x)的图象有 数的一个“兄弟点对”（点对(A,B)与(B,A)可看作 两个交点.g'(x)=lnx+1, h(x)x 一个“兄弟点对”) 令g'(x)<0,即lnx<-1, 己知函数f(x)= cosx(x≤0)， 则f(x)的“兄弟 g x(>0), 可解得0<是令gu)>0,即n>-1.可解 点对”的个数为 得>。，所以，当0<<时，函载R)单洞运 A.2B.3 C.4 D.5 解析：D[设P(x,y)(x<O),则点P关于原点的 减；当>上时，函数g(x)单调递增，由此可知当x 对称点为（一x,一y), 于是，cosx=一lg(一x),只需判断方程根的个数， 时，g(x)一.在同一坐标系中作上 e 即p(x)=cosx,x≤0与s(x)=-lg(-x),x<0 g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得-1<4<0. 图象的交点个数， e 因为(-π)=-1，s(-π)=-lgπ>-1，(-3π) [答案] ( =-1,x(-3π)=-1g3π>-1； [子题1]若母题中f(x)有且只有一个零点，则实数 p(-5x)=-1,s(-5π)=-1g5x<-1; a的取值范围是 作出两函数的图象，由图知，p(x)=cosx,x≤0与 s(x)=一lg（-x),x<0的图象有5个交点，所以 解析：由母题解析知a= 1或a≥0. f(x)的“兄弟点对”的个数为5个， 答案：o,+oU{} [子题2]若函数变为f(x)=lnx-x一a,其他条件 不变，则a的取值范围是 解析：函数f(x)=lnx一x一a的零点，即为关于x 的方程lnx-x一a=0的实根，将方程lnx-x-a =0化为方程lnx=x十a,令y1=lnx,y2=x+a, ·64· 主题二第二章函数 由导数知识可知，直线y2=x十a与曲线y1=lnx 又，函数f(x)是定义在R上的奇函数， 相切时有a=一1，所以关于x的方程lnx一x一a 则f(1+x)=f(1-x)=-f(x一1)， =0有两个不同的实根，实数a的取值范围 即f(x十2)=-f(x),则f(x十4)=-f(x十2) 是(-0，-1). =-[-f(x)]=f(x), 故函数f(x)是以4为周期的周期函数， 又f(x+2)=-f(-x-2)=-f(-x+2), 即f(x+2)+f(-x+2)=0, 故函数f(x)关于点(2,0)对称， 令g(x)=f(x)-logx=0,则f(x)=logx, 答案：(-∞，-1) 原题等价于y=f(x)与y=loga有3个交点， [子题3] 若函数变为f(x) ∫lnx-a,x>0, 且y=logx(a>1)的定义域为(0，十o∞)， {-x2-2.x-ax≤0， log。5<1, 函数y=f(x)有三个零点，则实数a的取值范围 如图所示，则可得1og。9>1,解得5<a<9. 是 a>1, 解析：令g(x)= y=log x (zln x,x>0, h(x)=a,则问题转化为g(x)与 茶天描 y=f(x) -x2-2x,x≤0 456 8910 h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图. g(x) 答案：(5,9) h(x) 2.已知函数f(x)= (x2+2,x≤1， 若关于x l1n(.x-1)|+2,x>1, 的方程f(x)一kx=0有且只有一个实数根，则实 数k的取值范围是 由图象知一 1∠a<1 解析：方程f(x)-kx=0台f(x)-2-(k.x-2)=0. 答案( 画出y=f(x)一2与y=k.x一2的函数图象如 图所示： 规律总结 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的 取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不 等式，再通过解不等式确定参数范围 (2)分离参数法：先将参数分离得a=f(x),再转化 成求函数f(x)值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直 因为直线y=kx一2过(0，-2)， 角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合 联连2”得-x十2=0 求解 {6y=x2 日跟踪训练 由△=k2-8=0,得k=土2√2. 又过(1,1)与(0，-2)两点的直线的斜率3， 1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈ 由图知：当直线y=kx一2过点(1,1)时，为函数 R,都有f(1十x)=f(1-x),且当x∈[0,1]时， y=x与y=kx一2有两个交点的临界点，此时k=3, f(x)=2-1,若函数g(x)=f(x)-logx(其中 由图可知，若关于x的方程f(x)=kx有且只有一个 a>1)恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围 为 实数根， 解析：，f(1十x)=f(1-x),则函数f(x)关于直 则实数k的取值范围为{k|0<k<3}U{一2√2}. 线x=1对称， 答案：{k|0<k<3}U{-2√2} ·65· 高考总复习数学(BS) 培优拓展4 嵌套函数的零点 学生用书P42 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设 中间函数为，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 2+2 名师点拨 [典例] 已知函数f(x)= ,x≤1， 2 则 (11og2(x-1)|,x>1, 函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函 函数F(x)=f(f(x)-2f(x)- 多的零点个数是 数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函 数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于 ( ) 嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数 A.4 B.5 C.6 D.7 [解析]令f(x)=t,则函数F(x)可化为y=f(t) 拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性 -21一号，则画敛F()的零点问题可转化为方程 质求解 跟踪训练 f()-2- =0的根的问题。 2 +1(x<0) 令y=f0)-24-是=0，则f0)=2x+是 已知函数f(x) 则方程f(x) 分别作出y=f)和y=2十号的图象，如图①，由 2-1(x>0) f(x)一6=0的实根个数为 ( 图象可得有两个交点，横坐标设为t1,t2(不妨设 t1<t2),则t1=0,1<t2<2; A.3 B.4 C.5 D.6 y=2+ 解析：A[f(x)-f(x)-6=0,解得f(x)=-2 或f(x)=3.当x<0时，f(x)=-2,解得x=-1, y=f(t) y=f(x) fx)=3,解得x=3±5>0（会）：当x>0时， 2 02 f(x)=-2,解得x=-1十√2或x=-1-√2<0 图① 图② 作函数y=f(x),与y=t的图象如图②，结合图 (含)，f(x)=3,解得x=3+B或x=3-区<0 2 象，当f(x)=0时，有一解，即x=2; (舍).综上，方程f(x)一f(x)一6=0的实根为 当f(x)=t2时，结合图象，有3个解】 所以y=f》-2f)-2共有4个零点. x=一1或x=-1+反或x=3+压，即方程 2 [答案]A 一f(x)-6=0的实根个数为3个.] 第9节 函数模型及应用 ★[课程标准] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数 类型刻画现实问题的变化规律。 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解 “对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义， 复盘必备知识 学生用书P42 打通教材强基固本 必备知识掌握 续表 1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 函数模型 f(x)=ba十c(a,b,c为常数，a>0且 函数解析式 指数函数型 a≠1，b≠0) 一次函数型 f(x)=ax十b(a,b为常数，a≠0) f(x)=blogr+c(a,b,c为常数，a>0 对数函数型 且a≠1，b≠0) 二次函数型 f(x)=a.x2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 幂函数型 f(x)=a.x"十b(a,b为常数，a≠0) 66