第一章 第3节 第2课时 基本不等式（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

2.设实数a,b,c满足a2+b≤c≤1，则a十b十c的最 小值为 A奖， B- C.~ 2 D.-1 第2课时 ★[课程标准] 1.掌握基本不等式Vab≤a十(a,b≥0).2.结合具体实 2 复盘>必备知识 必备知识掌握 1.蒸本不等式：V@<士乡 (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. 2.算术平均数与几何平均数 设a≥0,6≥0，则a,b的算术平均数为士中，几何平 均数为√ab,基本不等式可叙述为：两个非负实数 的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x十y 有最小值是2√p(简记：积定和最小 (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当x=y时，xy 有最大值是（简记：和定积最大）。 …重要结论。 几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤ 'a+b) 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 等号！ (3)Q+6 a+b 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 等号. 4)么+公≥2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号. a b 自主诊断查验 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X” (1)函数y=x十1的最小值是2. (2)ab≤ 成立的条件是ab>0. (3)x>0且y>0是之+y≥2的充要条件. ( V (4)若a>0,则a3+三的最小值是2a. (5)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 解析：B[由a2十b2≤c≤1，可得： a+b+c≥a+b+a2+b2 =(+)+(+)》≥-当a=6= 多时取等学，所以a十十（的最小值为一子] 基本不等式 例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 学生用书P9 打通教材强基固本 ◆[小题查验] 1.(多选)下列不等式的证明过程正确的是 ( A若a<00,则+后≥2·=2 B.若x,y∈(0，+o∞)，则lgx+lgy≥2√1 g xlg y C.若x为负实数，则x+>-2r…=-4 D.若x为负实数，则2r+2≥2√2·2=2 解析：AD[由a<0,b<0,可得2>0，分>0，则由 差本不等文可得女+8≥22：后=2，故A正 确；x,y∈R时，lg x,lg y有可能为0或负数，不符 合基本不等式的条件，B错误；若x<0,则x十4 +()]-2-( -4, C错误；x<0时，2>0，由基本不等式可得，2十 2≥2，故D正确.] 2.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 A.a2+62>2ab +≥品 C.a+b>√Jab 解析：C[对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A 错送：对于BD取a=合6=子此时日十合=2计 a b 4=6<11 1 品日+6-2+4=6> =8= 24 =42=2,故B,D错误；对于C,由基 √ab 本不等式可得a十b≥2√ab>√ab,故C正确.] 3.若函数f(x)=x十1 +x二2（x>2)在x=a处取最小 值，则a= A.1+√2 B.1+√5 C.3 D.4 13 高考总复习数学(BS) 解析：C[当x>2时，x-2>0,f(x)=(x-2)十 -2十2=4，当且仅当x 2=亡2x>2),即x=3时取等号，即当f()取 最小值时，即a=3.] 4.(BSD必修第一册P9例5(1)改编)若把总长为 20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大 面积是 解析：设矩形场地的长为xm,宽为ym,则x十y= 10,所以5=0（告）=25，当里仅当=y=5时 取等号，故矩形场地的最大面积为5m×5m-25m. 答案：25m 跃升>关健能力 学 题型1〔 利用基本不等式求最值 [命题点1]通过配凑法利用基本不等式 [典例1】（1)函数y=1og:x+og2在区间 (合+)上的最小值为 1 [解析] y=loglog (2x)loglog 因为x(合+e）所以1og,x∈(-1，十om, 故1+log2x∈(0，+o∞)， 2 故y=(1+log2x)+1+1og2 --1 ≥2(1+log2x）·1+1og2x 2 -1=2√2-1， 当且仅当1+logx=1+1ogx 2 即x=22-1时，等 号成立 [答案]2√2-1 (2函数)=+96+D的最大值是 4.x2+1 ( A.2 c D.是 [解析]由题意，函数f(x) √(x+1)(16.x2+1) /(.x+1)(16.x+1) 4.x2+1 (4.x2+1)2 /16.x+17x2+1 9x2 =/1+ N16x+8x2+1 16.x4+8x2+1 9 1+ ,又由16x+≥8，当且仅当 16x2+8+ 16.x2= ,即x=土 1 时学号成立，所以1十 9 下6所以 ,25 9 1十 5 16x+8+ 6+8+ ,即 函数f(x)的最大值是 4 [答案]C ·1 5.(忽视等号是否成立)函数y= 2+5的最小值为 V+4 解析：y 2+5=x+4+1=+4+ 1 Wx+4√x+4 √x2+4 令1=√F十4≥2，=1十在≥2时是单调递增的， y=+≥2+ 1=5故函数的最小值是号· t 2 答案：2 生用书P10 题型突破素养提升 方法指导 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添 项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式， 然后利用基本不等式求解最值的方法，拼凑法的实 质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键， [命题点2]通过常数代换法利用基本不等式 [典例2]1)已知x,y均为正数，若2+6=1，则 y 当3x十y取得最小值时，x十y的值为 () A.16 B.4 C.24 D.12 [解析]因为2+6=1， y 所以3x+y=8x+(2+）6+1++6 y 8x.2y=24, ≥12+2y 当且仅当18工=2义，即y=3x时取等号， y x 又因为2+6=1，所以x=4,y=12,所以x十y=16. y [答案]A (2)已知a,b为正实数，且a十b=2,则2+2+， a b+1 的最小值为 ,此时a= [解析]，'a,b为正实数，且a十b=2, +7-a+2+b21+ a+2+b2 ab十1 名+a+61+=1++ a a b+1 =1+ 1(2+1 3(a+ia+(6+1)] =1+号3+26+ a +b+1] ≥1+号3+2@=0+22， 3 2(b+1) a 当且仅当) -b+1' (a+b=2, 即a=6-3√2，b=3√2-4时取“=”. [答案] 6+2√2 3 6-32 方法指导 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）； (2)把确定的定值（常数）变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相 除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值. ●[命题点3]通过消元法利用基本不等式 [典例3]已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x十 3y的最小值为 [解析]法一：（换元消元法）：由已知得x十3y= 9-xy, 因为x>0,y>0,所以x+3y≥2√3xy, 所以3xy≤（士3y）,当且仅当x=3,即=3， (2 y=1时取等号， 即(.x+3y)2+12(.x+3y)-108≥0. 令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0， 得t≥6，即x十3y的最小值为6. 法二：（代入消元法）：由x十3y十xy=9, 得=所以3 1+y _9-3y+3y(1+y) 1+y 9+3y2_3(1+y)2-6(1+y)+12 1+y 1+y =31+y)+1十y 12 12一6 6≥2,3(1+y)·1十y =12-6=6.即x+3y的最小值为6. [答案]6 。[互动探究] 本例条件不变，求xy的最大值. 解：法一：9-xy=x+3y≥2√3.xy, .9-xy≥2W3xy, 令Wxy=t,∴.t>0,∴.9-t≥23t, 即t2+2√5t-9≤0， 解得0<t≤3，√xy≤√3，∴xy≤3， 当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号， .xy的最大值为3. 法二“x=93,x·y-9=3y.y=9=3y 1+y 1十y 1+y =-3y+1)2+15(y+1)=12=-3(y+1) y+1 12+15≤=23(y+1）:y1+15=3, 图且仅当3y+D片甲y=1x=3时取等 号.xy的最大值为3. 方法指导 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考 虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数” 或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 ◆[命题点4幻利用两次基本不等式求最值 [奥例打已知a>>0,那么a+a万的最小值 为 [解析]由a>b>0,得a-b>0, b(a-b)≤(b+a-b)2 2 4 .a2 b、≥Q十z2.4·1、 =4, a 当且仅当6=a-b且a2-号，即a=区，6=号时取 a 2 等号 :a2+6a-b 1 的最小值为4. [答案]4 方法指导 两次利用基本不等式求最值的注意点 当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否 能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性. 跟踪训练 1.（多选)若x,y满足x2十y+xy=1,则 ( A+29 B.x+y≥-1 C+y≤号 D+少≥号 每折：AD[国为≤生)≤少(a6e 2 R),由x2+y2+xy=1可变形为(x十y)2-1=xy ≤（告，解得-2<x+y<,声且仪当 3 =y=- V3时，x+y=一3，当且仅当xys因 3 时，x+y=,故A正确，B错误： 由x2十y2十xy=1可变形为(x2+y2)-1=-xy≥ 解野+y≥号 2 当且仅当x=y=士5时取等号，故D正确； 3 因为+y+y=1变形可得（十）+是1， 设x+=cos0, 2y=sin 0, 所以x=cos0-2sin0,y= √3 2 sin 0, 3 因光r+y=cos0+号im0- 5 sin Ocos 0 √ =1-in20-s29+号 -m20+导小所以当9+ 一艺时，即0=一吾时，此时x=1y=-1,x+y 取到最大值2，故C错误.] 高考总复习数学(BS) 2.若正数x,y满足x2+6xy-1=0,则x十2y的最小 值是 ( A. 以号 c D.2 3 解析：A[因为正数x,y满足x2十6.xy-1=0,所以 6x.由/>0， x>0, 1- 0, 1-x20, 解得0<x<1. 6x 所以+2y=+1=号+>2度· /2x1 3x 3 337,即x -2E,当且仅当2受=是 2一2时取等 号.故x十2y的最小位为2g.] 3.已知x>0,y>0,且1+2=1，则xy十x十y的最 x y 小值为 解析：因为+名-1，所以xy=y十2x,xy十x十y y 3+y=6x+2(+)-7++g y 7+45(当且仅当y=x,即x=1+23, 3 y=2十√3时取等号)， 所以xy十x十y的最小值为7十4√. 答案：7十4√5 题型2 基本不等式的综合应用 [典例]（1)若m>n>0,a=√em·e”,b= (em十 2 e”),c=em,则 A.b>a>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a [解析]m>n>0,∴.m十n>2√mn, m十n√mn, 2 a=√emm=e牛>em, 又6=(e+e)e=ab>a>e. [答案]A (2)已知x>0,y>0,且2.x+y=2,若mx≤x十 m-1 2y对任意的x>0,y>0恒成立，则实数m的取值 不可能为 ( ) A B号 C10 7 D.2 [解析]由mz义≤x十2y对任意的x>0,y>0恒 m-1 成立，得m,≤十2y=1+2 m-1 .1 }+2=2+)2+w (+号+）5+2=·买号 当且仅当号-，即x=y=号时，等号成立， 即 9-7m≤0， 2(m-1) 解得m≥号或m<1. [答案]B (3)数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明 就是一种方式.现有如图所示图形，在等腰直角三 角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜 边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a,BD=b, 用该图形能证明的不等式为 0 D A.生>a>06>0 B2瓜u>0.6>0 c.≤ 2 a+b(a>0,b>0) D.a2+b≥2√ab(a>0,b>0) [解析] 由题图知，0C=AB=生，0D=10B -BD= -=2,在R△0cD中 2 CD=√OC2+OD2= la +b 2 ,所以OC≤OD, 即4十b 2 a+b(a>0,b>0). 2 [答案]C 方法指导 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 题型 求解策略 判断或证明不等 对所给不等式（或式子）变形， 式或比较大小 然后利用基本不等式求解 观察题目特点，利用基本不等 求参数的值或 范围 式确定相关成立条件，从而得 参数的值或范围 与函数、数列、解 利用已知条件进行转化，再利 析几何等其他知 识结合的问题 用基本不等式求解 跟踪训练 1.若两个正实数x,y满足4x十y=xy且存在这样的 xy使不等式x+￥<m十3n有解，则实数m的取 值范围是 ( A.(-1,4) B.(-4,1) C.(-∞，-4)U(1,+o∞) D.(-∞，-3)U(0,十∞) 解析：C [由4x+y=xy→1十4=1，知 y (+)+)=1+++1≥2+ y 2停·花=4，当且收当=2y=8时，等号成 立，则使不等式c十兰<m2+3m有解，只需满足m 十3m>4即可，解得m∈(-∞，-4)U(1,+o∞).] 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D,且 BD=1,则4a十c的最小值为 解析：法一：依题意画出图形，如图所示. 易知S△ABD十S△BCD=S△AC, B 即2csin60+2asin60 2 acsin120°， D ..a+c=ac,.. 1+1=1, a c ∴.4a+c=(4a+c) )1+1）=5++4≥9， （ac a c 当且仅当-如，即a=2(=3时取“=” 3 法二：以B为原，点，BD所在直线 为x轴建立如图所示的平面直角 坐标系， 则D(1,0),.AB=c,BC=a, D1,0) A,D,C三点共线，AD∥DC 0〔)（台）， ac=a+c,.1+1=1, 4a+c=(4a+c)(a+c (1+1）=5++≥9， a c 当且仅当-g,即a=受(=3时取“=”， 3 a 答案：9 题型3 基本不等式的实际应用 [典例]在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的 位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球 门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内 5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC大约为 40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4 米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点 M处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角 ∠PMQ最大，则BM大约为（精确到1米）( ·1 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 M c A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 [解析]由题意知，PB=8,QB=12,设∠PMB= Q∠QMB=3,BM=,则ane=,an9=是，所 12_8 以tan∠PMQ=tan(g-a)=t,x 4.x 1+12.8x2+96 4 4 1 ,当且仅当x=96,即x 2√ =√96时取等号，又因为√96≈10，所以BM大约为 10米. [答案]C 方法指导… 在利用基本不等式解决实际问题时，一定要注意所 涉及变量的取值范围，即定义域.若使基本不等式 等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数 的单调性，利用单调性求最值 跟踪训练 某厂家拟在2025年举行促销活动，经调查测算，该 产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促 销魔用m万元(m≥0)清是足工=3一车为常 数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能 是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8 万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂 家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成 本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部 分资金). (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销 费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂 家的利润最大？ 解：(1)由题意知，当m=0时，x=1,.1=3一k→k =2…x=3- 2 m十1' 每万件产品的销售价格为1,5×8+16x(万元)， 2025年的利润y=1.5.x×8+16L-8-16x-m [9+(m+1D]+29m≥0. 2):m≥0时，m+(m+1)≥216=8， -8+29=21.当且仅当，片=m+1Pm=9 （万元)时，ymx=21(万元). 故该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家 的利润最大为21万元. 高考总复习数学(BS) 培优拓展1① 基本不等式的拓展 学生用书P12 1.三个正数的算术一几何平均不等式 1(x十x+2-2x） 如果a,b,c∈R,那么a+十≥ac,当且仅当 3 是故B错误：对于C>0, 3 1 a=b=c时，等号成立. 2x+ 1 =x十x十2≥3 ·· =3,故C正 确；对于D,0x<1,.1-x>0,x（1-x)2= 2.n个正数a1,a2,…,an的算术一几何平均不等式 对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不 ×2x1-1-0f2t1-g1) 3 小于它们的几何平均数，即十a,十十a 易放D错民。 ≥a1…an [答案]AC 当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立 名师点拨 [典例]（多选）三元均值不等式：“当a,b,c均为正 (1)利用三个正数的算术一几何平均不等式定理 实数时，a+b+c一abc,即三个正数的算术平均数 求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大” 3 (2)应用算术一几何平均不等式定理，要注意三个 不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b=c时， 等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立 条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方 的是 ) 可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式 A.若x>0,则x2+2≥3 应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如： 配系数、拆项、分离常数、平方变形等. B.若0<x<1,则(1-x)≤日 (3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函 数的最值可考虑利用函数的单调性， C.若x>0,则2x+≥3 日跟踪训练 D.若0<x<1,则x1-)<日 若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy十x2的 最小值是 [解析] 对于A,x>0,x2+2=x2+1+1≥ A.1 B.2 C.3 D.4 3/x2· 11 解析：C =3,故A正确；对于B,0<x<1, [y十=合y+w+≥ .1-x>0,x2(1-x)= 2x·x·(2-2x)≤ V2xy· 3 2xy·x2=3 31 培优拓展2 柯西不等式 学生用书P12 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R,当且 当且仅当3x· ② 仅当ad=bc时，等号成立). 41 2.二维形式的柯西不等式的变式 x=4四 x 11 或 11 (1)Wa2+b.√e2+≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当且 即 时等号成立， 3W11 仅当ad=bc时，等号成立). b=3四 11 y、 11 (2)wa+b·√e2+d≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R,当 于是2x十y的最大值为√1I,最小值为一√11. 且仅当ad=bc时，等号成立). 方法二 由柯西不等式得|2x十y≤ (3)(a+b)(c+d)≥（√ac+√bd)2(a,b,c,d≥0，当且 仅当ad=bc时，等号成立). √(W3.x)+W2y)2 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |a·l≤a|B(当且仅当B是零向量，或存在实 2)+) 数，使“=时，等号成立). [典例]已知x,y∈R,3.x2十2y2≤6，求2x十y的 当且仅当3x· 2 最值 后 [解]方法一由柯西不等式得 x=4 x=-41 2a+i+[〔)+周] 即 11’或 11 时等号成立， 3√11 =(x+2)(+)1. 11 于是2x十y的最大值为√11，最小值为一√11. ·18· 主题一第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 名师点拨 当且仅当b=ka, 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、 45 x= 重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法， 5 即 时，(*)式中右边等号成立， 8√5 跟踪训练 y= 设a=(1,-2),b=(x,y),若x2+y2=16,则a·b 的最大值为 x--45 5 解析：a=(1,一2)，b=(x,y), 时，(*)式中左边等号成立， ∴.a·b=x-2y. 5 由柯西不等式的向量形式可得 [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2, 当x=4 85时， 5 即5×16≥(x-2y)2, a·b的最大值为4√5. .-4W5≤x-2y≤4W5,(*) 答案：4⑤ 第4节一元二次函数与一元二次不等式 ★[课程标准] 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 复盘>必备知识 学生用书P13 打通教材强基固本 必备知识掌握 …重要结论· 1.简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次 （1)x->0等价于(.x-a)(x-b)>0. x-b 数是2的不等式叫作一元二次不等式 (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的 (2)x-a<0等价于(x-a)(x-b)<0. x-b 集合叫作这个一元二次不等式的解集， 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方 (3)二a≥0等价于{x-a)x-b)≥0， x-b 1x-b≠0. 程的关系 (4)二G<0等价于a)(x-b)≤0， x-b (x-b≠0. 判别式 △>0 △=0 △0 2.不等式a.x2十b.x+c>0(<0)恒成立的条件要结合 △=b2-4ac 其对应的函数图象决定 (1)不等式a.x2十b.x十c>0对任意实数x恒成立台 二次函数 y (a=b=0 或/a>0, y=ax2+bx+c 21 1c>0 1△<0. (a>0)的图象 0 (2)不等式ax2十b.x十c<0对任意实数x恒成立台 (a=b=0 或a<0, 1c<0 1△<0. 一元二次方程 有两相异实 有两相等实 3.关注点 ax2+bx+c=0 根 没有 x1,x2 根x1=x2= b 实数根 (1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记 (a>0)的根 (x1<x2) 2a a=0时的情形， (2)当△<0时，不等式a.x2+b.x十c>0(a≠0)的解集 ax+bx+c 为R还是必，要注意区别 {x|x<x1, 0(a>0)的 或x>2} xx≠ b R 自主诊断查验 解集 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 ax2+bx+c< (a<x 打“/”，错误的打“X” 0(a>0)的 2 (1)若不等式a.x2十bx十c<0的解集为(x1,x2),则 解集 x2} 必有a>0. () ·19