第一章 第3节 第1课时 不等式的性质（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) 第3节不等式 第1课时 不等式的性质 ★[课程标准] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式（组）的实际背景.3.掌握不等式的性质及应用. 复盘>必备知识 学生用书P7 打通教材强基固本 必备知识掌握 ◆[小题查验] 1.两个实数比较大小的方法 1.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是 a-b>0台a>b, (1)作差法 la-b=0台a=b, A.M>N B.M=N a-b<0台a≤b. C.M<N D.与x有关 >1台a≥b(a∈R,b>0), 6 解析：A[M-N=x+x+1=x+/ +>0, (2)作商法 =1=a=b(a∈R,b>0), 所以M>N.] b 2.若a,b都是实数，则“√a-b>0”是“a2-b2>0”的 b <1台a<b(a∈R,b>0). 2.不等式的性质 A.充分不必要条件 性质 性质内容 注意 B.必要不充分条件 C.充要条件 性质1 如果a>b且b>c,那么a>c → D.既不充分也不必要条件 性质2如果a>b,那么a十c>b+c 台 解析：A[Va-√b>0→a>b≥0→a2>b2→a2-b >0,反之不成立，∴.“√a-√b>0”是“a2-b2>0”的 性质3 如果a>b,c>0那么ac>bc; 如果a>b,c<0那么ac<bc c的符号 充分不必要条件.门 3.(多选)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为 性质4 如果a>b,c>d,那么a+c>b十d ( 如果a>b>0,c>d>0,那么ac A.若a>6,则日<分 性质5 >bd 如果a>b>0,c<d<0,那么ac B.若a>b,则ac2≥bc <bd C.若a>0>b,则a2<-ab 性质6 当a>b>0时，a>5(n∈ a,b同 N+,n≥2) 为正数 D若c>0>>0,则。>名6 …重要结论。 解析：BD[旅搭a>6,取a=16=-1,则日<古不 不等式的一些常用性质 成立，故A错误；，a>b,∴.由不等式的基本性质知 1,倒数性质的几个必备结论 ac2≥bc2成立，故B正确；由a>0>b,取a=1,b=-1, Ia>b,6>0→<6：2a<0<b}<3 则a2<-ab不成立，故C错误；'c>a>b>0,.(a b)c-0,..ac-ab>bc-ab,a(c-b)>b(c-a),.'c- 2.两个重要不等式 若a>b>0,m>0,则 （1)6<+m,b>-m(b-m>0): ≥005.6藏D正绵] aa+m'a a-m 4.(BSD必修第一册P2练习T,改编)已知a,b,c∈ (2)>a+m a <a-m(b-m>0). R,且a>b,则下列不等式中成立的是 () b十mbb-m】 A.ac>bo B.1<1 "ab 自主诊断查验 C.a2>b2 D.a+c>b+c ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 解析：D[当c≤0时，不等式ac>bc不成立，故A 打“√”，错误的打“X” 不正确：当a>0K0时，不等式是<号不成立，故 (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数， 不等号方向不变 B不正确；当a=-1,b=-2时，不等式a2>b2不 (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小. ( 成立，故C不正确；由不等式的性质知，选项D (3)同向不等式具有可加和可乘性. 正确，」 4)a>b>0,c>d>0→g>b 5.(忽视不等式的性质致误)若实数a,b满足0<a<2, 0<b<1,则a一b的取值范围是 (5)若ab>0,则a>b台1<1 解析：0<b<1,.-1-b<0,0<a<2, 'ab' ∴.-1<a-b<2. 答案：(1)×(2)×(3)×(4)/(5)√ 答案：(-1,2) ·10 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 跃升>关健能力 学生用书P8 题型突破素养提升 题型1 比较两个数（式）的大小 解析：由基本不等式可知，G≤A,当且仅当a=b时 [典例](1)若0<b<a< ex=a+be,=b十ae, 等号成立；因为H-G=a+√a6+b-√a 3 之=b十ae,则 =a-2ab+b=a,D)≥0，当且仅当a A.I<2<y B.<<y 3 3 C.<y< D.y<之x √b,即a=b时等号成立，所以H≥G;因为H-A= [解析]，x=a十be,y=b十ae,之=b十ae, a十ab+b_a+b--a+2√ab-b=-(Wa-b) ..y-z=a(e"-e"), 3 2 6 6 又a>b>0,e>1,.e>e,.y>x, ≤0，当且仅当√a=√b,即a=b时等号成立，所以 x-x=(b-a)+(a-b)e=(a-b)(e-1),又a> H≤A.综上所述，G≤H≤A,当且仅当a=b时等 b>0,e>1.z>x, 号成立 综上，x<之<y 答案：G≤H≤A [答案]A 2已知M扫Neh则M.N的天 2若a=g6.比较a与6的大小， 3 e2025+1 小关系为 解：因为4=1山3>0，b=1,2>0,所以=h3. [解析]法一：M-N=c十1一c2+1 3 2 b 3 e2o24+1e22+1 2 21n3_ln9=1og89>1, In 2 31n 2 In8 (e2023+1)(e2025+1)-(e2024+1)2 所以a>b. (e2024+1)(e202+1 e203+e05-2e2024 e2023(e-1)2 题型2（ 不等式的性质 (e20+1)(e2w+1D(e2a+1)(e2+可巧>0， 1.已知x,y是正实数，则下列式子中能使x>y恒成 .M>N. 立的是 ( 法二：令f(x)=c十1 (e1+1)+1- e e A+>y十 y e+1+1 ez+1+1 1- 1 C.x-3y-I y 十 e ,显然f(x)是R上的减函数， 解析：B[对于A,取x=y,该不等式成立，但不满 e+ .f(2023)>f(2024),即M>N. 足x>y:对于C,该不等式等价于x十>y十2 [答案]M>N 取x→0，y=1,该不等式成立，但不满足x>y;对 方法指导 比较两个数大小的常用方法 于D,诚不学式学价于x十>y十取0,9 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得 =1,该不等式成立，但不满足x>y;下面证明B: 出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正 负，常采用配方、因式分解、分子（分母）有理化等 法一不等我学价于一}>y一安而一>y 变形方法. (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特 y-函炎)=-在0，+m止单 别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子 增，故x>y. 分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小 时最容易漏掉的关键步骤. 2y x (3)特值验证法：对于一些小题目，有的给出取值范 故x>y.] 围，可采用特值验证法比较大小. 2.已知a,b,c∈R,则下列命题为假命题的是( (4)构造函数法：若几个量形式相同，可构造函数， A.若a>b,则a十c>b十c 使得几儿个量可能视为该函数的出数值，则只需 B.若a>b>0,则a°4>b.4 判断函数的单调性即可比较大小 :跟踪训练 1.希罗平均数(Heronianmean)是两个非负实数的一 D.若a>b>0,c>0,则b>b+c 种平均，若a,b是两个非负实数，则它们的希罗平 解析：D[对于A,因为a>b,所以a十c>b十c,故 均数H=a+a+b.记A=a,G=Va,则A, A结论正确；对于B,当a>b>0时，因为幂函数y 3 2 =x0.4在(0，十∞)上单调递增，所以a°4>b4,故B G,H从小到大的关系为 .(用“≤”连接) 结论正确；对于C,因为a>b,所以a十c>b十c,而 ·11 高考总复习 数学(BS) 函数y 1 为减数，所以()<() (2)已知f(x)=ax+2,若-3≤f1)<0,3≤ D,bbtc f(2)≤6，求f(3)的取值范围。 故C结论正确；对于 a+c f(1)=a+b, b(a+c)-a(b+c)c(b-a) [解] 由题意，得 a(a+c) a(a+c) ,因为a>b>0,c>0, 2)2a+， 所以c(b-a)<0,a(a+c)>0,所以b-b+c= 解得a=[2f2)-f1D]6=号2F1)-f2], cb-a<0,所以b<+S,故D结论错误.] 图此f3)=a+台-号f(2)- 号f1),把f1) a(a+c) aa十c 3.(多选)已知a,b,c均为非零实数，且a>b>c,则下 和f2)的取值范周代入，得9≤f3)≤号 列不等式中，一定成立的是 ( ) A.acbc B.ac2>bc2 3的取维花因光停引 C.(a-b)<(a-c) D.In ab<o 。[互动探究] a-c 若将本例(2)中条件改为设a>0,b>0,a≤2b≤ 解析：BD[对于A,取特殊值a=2,b=1,c=-1, 满足a>b>c,但ac<bc,故A不正确；对于B,因为 2a十么，则示的取值范铜为 a,b,c均为非零实数，且a>b>c,所以c2>0,所以 解析：根据a>0,b>0,由0≤2b, 解得≤≤2， {2b≤2a+b, 2 ac2>bc2,故B正确；对于C,取特殊值a=3,b=2, 2ab 2 c=-1,满足非零实数a>b>c,此时(a一b)=(3 a2+2b2 b -2)1=1,a-)=(8-1D=21=2但a a 2 b)>(a-c),故C不正确；对于D,因为a,b,c均 [E,引所以 为非零实数，且a>b>c,所以-b<-c,a-c>0,a -b>0,所以0<a-b<a-c,0<0-b<1,所以 答案：g2 4,② a-c 方法指导 1na-b<ln1,即lna-b<0,故D正确.] a-c a-c 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但 题后反思 应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二 是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断 的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体 或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式 与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性” 的性质. 不等关系的运算求解范围 (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要 日跟踪训练 判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到 1.（多选)已知实数x,y满足-3<x十2y<2,一1≤ 与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假， 2x-y<4,则 ( 当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数 A.x的取值范围为(-1,2) 函数，指数函数的性质等 B.y的取值范围为(-2,1) C.x+y的取值范围为(-3,3) 题型3 不等式性质的综合应用 D.x一y的取值范围为（一1,3） [典例]（1)记max{x1,x2,x3}表示x1,x2,x3这3 解析：ABD[因为一1<2x-y<4,所以-2<4x 个数中最大的数.已知a,b,c都是正实数，M= -2y<8.因为-3<x+2y<2,所以-5<5x<10, 则-1<x<2,故A正确；因为-3<x十2y<2,所 maxa,+华会}则M的最小值为 ( 以-6<2.x+4y<4.因为-1<2x-y<4,所以 -4<-2x十y<1,所以-10<5y<5,所以-2<y A.3 B.√2 C.3√5 D.3√2 <1,故B正确；因为-3<x十2y<2,-1<2x-y [解折们因为M=,十2}所以a≤ <,所以-号<号+2)号-吉<号(2x- )<号，则-2<x+y<2,故C错误：因为-3<x 即M,当且仅当a=分=时取等号，所以M +2y<2.-1<2x-yK4,所以-号<-号红+ 的最小值为√3. 2<号<号(2x-<号则-1<x-y< [答案]A 3,故D正确.] ·12· 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 2.设实数a,b,c满足a2+b≤c≤1，则a十b十c的最 解析：B[由a2十b2≤c≤1，可得： 小值为 a+b+c≥a+b+a2+b2 4, (+》+(6+)-≥-= 1) C.、② D.-1 2 合时取等号，所以a+6十c的最小值为一合] 第2课时 基本不等式 ★[课程标准] 1零程基本不等式√≤生宁(，6≥0》.2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值同题 复盘>必备知识 学生用书P9 打通教材强基固本 必备知识掌握 ◆[小题查验] 1.基本不等式：Vab≤ab 1.(多选)下列不等式的证明过程正确的是 ( 2 (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. A.若a<0,0,则始+台2合·名=2 (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号 2.算术平均数与几何平均数 B.若x,y∈(0，+o∞)，则lgx+lgy≥2√1gxgy 设a≥06≥0，则a6的算术平均数为”士中，几何平 C若x为负实数则x十兰>-2反·三=-4 x 均数为√ab,基本不等式可叙述为：两个非负实数 D.若x为负实数，则2+2≥2√2·2=2 的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 3.利用基本不等式求最值 解析：AD[由a<0,b<0,可得2>0，号>0，则由 a 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x十y 基本不等式可得会+≥22·后=2，故A正 有最小值是2√（简记：积定和最小）. 确；x,y∈R时，lgx,lgy有可能为0或负数，不符 (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当x=y时，xy 有最大值是（简记：和定积最大）， 合基本不等式的条件，B错误；若x<0,则x十4 …重要结论。 [+(]≤-2-() =-4, 几个重要的不等式 C错误；x<0时，2>0，由基本不等式可得，2十 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2≥2，故D正确.] (2)ab≤ 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 2.(2025·北京卷)已知a>0b>0,则 等号！ A.a2+62>2ab (3)+6 B日+合品 2 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 C.a+b>√ab 等号 (4)点十4≥2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号. 解析：C[对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A b 自主诊断查验 错试：对于B,D,取a=6=子此时日+合=2十 ◆[思考辨析] 4=6 =8= 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 1 品日+-2+4=6> 打“√”，错误的打“X”. 21 4 (1)函数y=x十1的最小值是2. =4√2= 2 ,故B、D错误；对于C,由基 ab (2)ab≤ 成立的条件是ab>0. 本不等式可得a十b≥2√ab>√ab,故C正确.] (3).x>0且y>0是工+义≥2的充要条件. ( 3.若函数f(x)=x十1 2x>2)在x=a处取最小 (4)若a>0,则a3+二的最小值是2√a. a 值，则a= (5)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). A.1+√2 B.1+√5 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ C.3 D.4 ·13·