第3单元 10 培优专训（三）函数导数与其他模块交汇问题（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数导数与多模块交汇，通过典型模拟题构建导数应用逻辑链，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数与函数零点|1题|含参数零点个数讨论及数列单调性证明|导数研究函数单调性→极值→零点存在性，关联数列递推逻辑| |导数与单调性|2题|含参函数单调性分析及不等式证明|导数与函数单调性关系，结合对数函数性质构建不等式证明模型| |导数与多模块交汇|1题|单调区间、不等式解集及切线与割线斜率比较|二次函数、对数函数导数综合，衔接解析几何斜率概念，体现知识迁移|

培优专训(三)　函数导数与其他模块交汇问题 1.[2025·湖北武汉5月模拟] 已知函数f(x)=xex-1-a. (1)若a∈R,讨论f(x)的零点的个数; (2)若a为正整数n,记此时f(x)的唯一零点为xn,证明:数列{xn}是递增数列. 2.[2025·河北邯郸二模] 已知函数f(x)=ln x,g(x)=. (1)讨论函数h(x)=ax-f(x)的单调性; (2)证明:xf(x)>g(x)-1. 3.[2025·潍坊一模] 已知函数f(x)=kx2-(k+2)x-ln,k∈R. (1)当k>2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)当k=2时,求f(x)>0的解集; (3)若函数f(x)的图象上有三个点,且从左到右依次为A,B,C,若A,B,C的横坐标成等差数列,判断函数f(x)的图象在点B处的切线斜率与直线AC的斜率的大小关系. 4.[2025·深圳中学月考] 已知函数f(x)=ax+xln-(1+x)ln(1+x). (1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与x轴平行,求a的值; (2)设函数g(x)=xf,求出g(x)的定义域,并证明:曲线y=g(x)是轴对称图形; (3)证明:<e(n∈N*). 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专训(三)　函数导数与其他模块交汇问题 1.解:(1)令f(x)=xex-1-a=0,可得a=xex-1,设g(x)=xex-1, 则g'(x)=(x+1)ex-1,当x∈(-∞,-1)时,g'(x)=(x+1)ex-1<0,则g(x)=xex-1在(-∞,-1)上单调递减;当x∈(-1,+∞)时,g'(x)=(x+1)ex-1>0,则g(x)=xex-1在(-1,+∞)上单调递增. 所以g(x)min=g(-1)=-e-2=-,又因为当x∈(-∞,0)时,g(x)=xex-1<0,g(0)=0,所以当a<-时,f(x)=xex-1-a无零点;当a=-或a≥0时,f(x)=xex-1-a仅有一个零点;当-<a<0时,f(x)=xex-1-a有两个零点. (2)证明:由(1)知,当a≥0时,f(x)=xex-1-a仅有一个零点. 由f(x)=xex-1-n的唯一零点为xn,得xn=n,两边取自然对数得xn-1+ln xn=ln n, 即xn+1-1+ln xn+1=ln(n+1),两式相减得xn+1-xn+ln xn+1-ln xn=ln(n+1)-ln n=ln>0, 可得xn+1+ln xn+1>xn+ln xn,设y=x+ln x,则y'=1+,因为x>0,所以y'=1+>0,故y=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,所以xn+1>xn,故数列{xn}是递增数列. 2.解:(1)由题知h(x)=ax-f(x)=ax-ln x,其定义域为(0,+∞), ∴h'(x)=a-=. 当a≤0时,h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,令h'(x)>0,得x>,令h'(x)<0,得0<x<, ∴函数h(x)在上单调递减,在上单调递增. 综上所述,当a≤0时,函数h(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增. (2)证明:要证xf(x)>g(x)-1,只需证xln x+1>.由(1)知,当a=1时,h(x)=x-ln x在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(1)=1-ln 1=1,即x-ln x≥1,∴+ln x≥1,∴1+xln x≥x. 令H(x)=x-(x>0),则H'(x)=1-= ≥0,∴H(x)在(0,+∞)上单调递增,∴当x>0时,H(x)>H(0)=0,即x->0, ∴x>,故1+xln x≥x>,∴原不等式成立. 3.解:(1)由题意知f'(x)=2kx-(k+2)-×=,x>0,当k>2时,0<<, 令f'(x)=0,得x=或, 令f'(x)>0,得0<x<或x>, 所以f(x)的单调递增区间为和. (2)当k=2时,f(x)=2x2-4x-ln,且f(2)=0,因为f'(x)=≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)>0的解集为(2,+∞). (3)设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),则0<x1<x2<x3,2x2=x1+x3,函数f(x)的图象在点B处的切线斜率为k1=f'(x2)=2kx2-(k+2)+,直线AC的斜率为k2== = k(x3+x1)-(k+2)+,所以k1-k2=-=-==, 令t=>1,则2-ln=2(t-1)-(t+1)ln t. 令g(t)=2(t-1)-(t+1)ln t,t>1, 则g'(t)=1-ln t-,令h(t)=g'(t),t>1,则h'(t)=-+=<0,故h(t)在(1,+∞)上单调递减,所以h(t)<h(1)=0,即g'(t)<0, 所以g(t)在(1,+∞)上单调递减,故g(t)<g(1)=0, 所以2-ln<0,又->0,即>0, 所以k1-k2<0,即k1<k2, 所以函数f(x)的图象在点B处的切线斜率小于直线AC的斜率. 4.解:(1)因为f(x)=ax+xln-(1+x)ln(1+x),所以f'(x)=a+ln+·-ln(1+x)-1=+ln+a-1,由题意可知f'(0)=a-1=0,解得a=1. (2)由题意知g(x)=xf=x=a+ln-(x+1)ln,对于函数f(x)=ax+xln-(1+x)ln(1+x), 有解得x>-1,即函数f(x)的定义域为(-1,+∞), 对于函数g(x)=xf,则>-1,可得>0,解得x<-1或x>0,所以函数g(x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞),故该定义域关于直线x=-对称. 因为g(-1-x)=a+ln+xln=a+ln+xln=a+ln(2x+1)-ln(x+1)-ln 2+xln x-xln(x+1)=a+ln(2x+1)-ln(2x)-ln(x+1)+(x+1)ln x-xln(x+1)=a+ln+(x+1)ln x-(x+1)ln(x+1)=a+ln-(x+1)ln=g(x),所以函数g(x)的图象关于直线x=-对称,所以曲线y=g(x)是轴对称图形. (3)证明:当a=1时,f(x)=x+xln-(x+1)ln(x+1), 则f'(x)=+ln,令h(x)=+ln, 则h'(x)=-·=, 当x>0时,h'(x)>0,则函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,此时h(x)>h(0)=0,即f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)>f(0)=0. 取x=,可得f=+ln-ln>0, 故1+ln-(n+1)ln>0,即ln>ln,所以e>,故<e··=e·=e(n∈N*),得证. 学科网（北京）股份有限公司 $