课时18 利用导数研究函数的极值、最值（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习 数学(BS) 课时冲关18利用导数研究函数的极值、最值 学生用书P271 [基础训练组] 4.如图，可导函数y=f(x)在点P(xo,f(xo))处 1.设函数f(x)=xe+1,则 的切线为l:y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x), A.x=1为f(x)的极大值点 则下列说法正确的是 B.x=1为f(x)的极小值点 =g(x) C.x=-1为f(x)的极大值点 P D.x=一1为f(x)的极小值点 wf(x) 解析：D[由于f(x)=xe十1，可得 f'(x)=(x+1)e, 令f(x)=(x+1)e=0,可得x=-1, A.3x∈R,h(x)>0 令f(x)=(x十1)e>0,可得x>-1,即函数 B.Vx∈R,h'(x)<0 在(-1，十o∞)上是增函数，令f'(x)=(x十1)e <0可得x<一1，即函数在(-∞，一1)上是减 C.h'(xo)=0,x=x。是h(x)的极大值点 函数，所以x=一1为f(x)的极小值点.门 D.h'(xo)=0,x=x。是h(x)的极小值点 解析：C[因函数y=f(x)在点P(xo,f(xo) 2.已知函数f(x)=-x十2sinx,x ,引则 处的切线为y-f(xo)=f(xo)(x-xo),即 函数f(x)的最大值为 g(x)=f(zo)x-zof'(xo)+f(xo), A.0 B2-受 则h(x)=f(x)-g(x) =f(x)-f(xo)x+xof'(xo)-f(xo), C.5-3 D.E-吾 于是，h'(x)=f(x)-f'(xo),由图知，当x<xo 时，f'(x)>f'(x。),此时h'(x)>0, 解析：C[:f(x)=-1十2cosx,∴.当x∈ 当x>x。时，f(x)<f(xo),此时h'(x)<0. [0,5)时f')>0,x)单润递增， 对于B项，由上分析，B项显然错误； 当x∈（行，]时，f()0,fx)单调递减， 对于C,D项，由上分析，当x<x。时，h(x)单调 递增；当x>xo时，h(x)单调递减， 即当x=xo时，h(x)取得极大值，且h'(xo)=0, 故C项正确，D项错误；对于A项，由以上分析 3.已知x=受是函数fx)=ln(2x)-ar的极值 知x=xo时，h(x)取得极大值h(xo)=0,也是 点，则实数a的值为 最大值，则有Hx∈R,h(x)≤0，故A项错误.] 5.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时， A.1 B号 f(x)=lnx- C.2 D.e e>》当xe(-2.0)时， 解析：C[由题意可得：f(x)=ln(2x)十x× f(x)的最小值为1，则a的值为 2 -a=ln(2.x)+1-a, A c合 D.1 2.x 因为x=号是函数f()=xln(2x)-ar的极 解析：D[:f(x)是奇函数，.f(x)在(0,2)上 值点， 的最大值为-1当rE0.2)时f)=士-a,令 故f()1he+1-a=2-a=0,得a=2, fx)=0得x=日又a>0<<2.当 经验证：a=2时，f'(.x)=ln(2.x)-1, 0<日时，(x)>0,fx)在(0，)上单调 当0<x<号时，f(x)<0,fx)递减，当x> 时，f(x)>0,f(x)递增， 递增：当>时，f(x)0,f)在（日，2）上 则x=是函数f(x)=ln(2x)-ax的板小值 单适减f)=f)-ln-a· 点，故a=2.] -1,解得a=1.] ·434· 主题二第三章导数及其应用 6.函数)=-m,若fu)在(0，上 8.(多选)(2024·新课标I卷)设函数f(x)= (x-1)2(.x-4),则 () 有最小值，则实数a的取值范围是 A.x=3是f(x)的极小值点 A.(0,+o∞) B.(0,1) B.当0<x<1时，f(x)<f(.x2) C.(-o∞，0) D.(-1,0) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 解析：A[由题意，函教f(x)=受r-sinx,可 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 解析：ACD[首先有f(x)=(x-1)2(x-4), 得f'(x)=ax-cosx, 则f(x)=3(x-1)(x-3), 若a≤0时，当x∈(0，)时，可得f(x)<0, 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到 正，故其为极小值点，故A正确； fx)在(0，)上单调递减， 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2< x,故f(x2)<f(x),故B错误； 此时函数f)在(0，受)上设有最小值，不符合 对于C有，当1<x<2时，得1<2x-1<3且 f(1)=0,f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故 题意； C正确； 当a>0时，令f'(x)=0,即a.x-cosx=0,即y 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增， =ax与y=cosx的交点， f(2-x)>f(x)成立，故D正确.故选 画出函数y=ax与y= 择ACD.] cOsx的图象，如图所示， 9.f(x)=|ln(ax)-2|十ax,f(x)的最小值为 结合图象，可得存在x∈ 〔o,》使得fx)=0. 解析：令a.x=t∈(0，+o∞)，则y-|lnt-2|+t t+lnt-2,t≥e2, 当x∈(0，xo)时，f(x) 1t-lnt+2,0<t<e2, <0,f(x)单调递减； 当t≥e2时，y=lnt十t-2单调递增，ymin-e2, 当x(受)时，f(x)>0fx)单调递增， 当0<t<e2时，令g(t)=-lnt+t+2, 此时函数f在(0，》上有最小值，符合题意， 8w=-}+1=-1, t t 0<t<1时，g'(t)<0,g(t)递减， 综上可得，实数a的取值范围是(0，十∞).] t>1时，g'(t)>0,g(t)递增，g(t)m=g(1)=3. 7.(多选)函数y=f(x)的 综上，f(x)min=3. 导函数y=f(x)的图象 答案：3 如图所示，下列命题中 10.已知a>0,函数g(x)=x十1+a-2在[2，十0) 正确的是 () A.-3是函数y=f(x) 3-2-10 上的最小值为1，则a= 的极值点 解析：由题意得g(x)=1-1+a-2-(1十a) B.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 C.-1是函数y=f(x)的最小值点 当√1+a≤2，即0<a≤3时，g'(x)>0,g(x) 在[2，十∞)上单调递增， D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零 解析：AB[根据导函数图象可知：当x∈ 故g)m=g(2)=1十4=1，解得4=1， 2 (-o∞，-3)时，f'(x)<0,在x∈（-3,1)时， 当√1十a>2,即a>3时，当2≤x<√1十a时， f'(x)≥0，∴.函数y=f(x)在(-o∞，-3)上单 g'(x)<0,g(x)单调递减， 调递减，在（一3,1）上单调递增，故B正确；则一3 当x>√1十a时，g(x)>0,g(x)单调递增， 是函数y=f(x)的极小值点，故A正确；：'在 (-3,1)上单调递增，.一1不是函数y=f(x) 故g(x)min-g(W1十a)=2√1十a-2=l,解得 的最小值点，故C不正确；，函数y=f(x)在x 4=是，不将合>3含去， =0处的导数大于0，∴.切线的斜率大于零，故 综上，a=1. D不正确.门 答案：1 ·435· 高考总复习数学(BS)》 1.设两数a)=lnx一合a-ba,若x=1是) 则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2,十∞)上 的极大值点，则实数a的取值范围为 单调递增，g(rm=g(c)=1一，故实数b 解析：f(x)的定义域为(0，十o),f(x)=1 的录大位是1一是 a.x-b,由f(1)=0,得b=1-a. [能力提升组] “f(x)=1-ax+a-1=二ax2+1+ax=x 13.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)= =-（ax+1)(x-1) 2.x3-3a.x2+1,则 () A.当a>1时，f(.x)有三个零点 ①若a≥0，当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 调递增；当x>1时，f'(x)<0,f(x)单调递减， C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对称轴 所以x=1是f(x)的极大值，点. D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的 ②若a<0,由f'(x)=0,得x=1或x=- a 对称中心 因为x=1是f(x)的极大值，点，所以-1>1， 解析：AD[求导得f'(x)=6x(x一a),于是： a A正确，当a>1时，极大值f(0)=1>0,极小 解得一1<a<0.综合①②得实数a的取值范 值f(a)=1-a3<0,所以必有三个零点；B错， 围是(-1，十∞). a<0时，x=0应为极小值点；C错，任何三次 答案：（一1，十∞） 函数不存在对称轴；D正确，当a=2时f(x)= 12.已知函数f(x)=a.x-1-lnx(a∈R). 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心 (1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的 个数； 对称.] (2)若函数f(x)在x=1处取得极值，Hx∈ 14.已知函数f(x)=[a.x2-(4a+1)x+4a+3] (0,十∞)，f(x)≥bx一2恒成立，求实数b的最 e,若x=2是f(x)的极小值点，则实数a的取 大值. 值范围是 解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞). f(x)=a-1=ax-1 A(-, B(合+） C.(-o∞，0) D.(-1,+∞) 当a≤0时，f(x)≤0在(0，十∞)上恒成立， 解析：B[由f(x)=[a.x2-(4a+1)x+4a+ 函数f(x)在(0，十∞)上单调递减， 3]e,得f(x)=(ax-1)(x-2)e, f(x)在(0，十∞)上没有极值点. 令f'(x)=(ax-1)(x-2)e>0→(a.x-1)(x 当a>0时，由f(x)>0,得x>1 -2)>0, 所以了()在〔，)上单润最减，在 若a<0,则(ax-1)(x-2)>0→1≤x≤2，此 (日+上单词递增，即f)在x=。处有 时在（日2）上单拥递增，在(2，十四 极小值。 (-0,)上单调道减，这与x=2是f)的 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上没有极值 点；当a>0时，f(x)在(0，十∞)上有一个极 极小值点矛盾，故舍去 值点. 若a=0,可知x=2是f(x)的极大值点，故不 (2),函数f(x)在x=1处取得极值， 符合题意. f(1)=a-1=0,则a=1, 从而f(x)=x-1-lnx. 若>a>0,ax-1x-2)>0→x<2> 因此f(x)≥bx-2,即1+1-1nI≥b. xx 此时f)在(-0,2)，（日+上单调 令g)=1+子兰，则g)=血1-2。 x 递增，在（2，)上单洞远减，可知x=2是 由g'(x)≥0，得x≥e2, f(x)的极大值点，故不符合题意， ·436· 主题二第三章导数及其应用 当a>号ax-10(x-2)>0=x>2,<1 解：(1)f(x)=e(x-a)2十e·2(x-a) =e[.x2+(2-2a)x+a2-2a], 光时f)在(-,} 2,十∞)上单调递增， 由f'(-1)=e1[1-(2-2a)+a2-2a]=0, 解得a=±1， 在(2，》上单羽运减，可知1=2是fx)的极 当a=1时，f(x)=e(x-1)2,f(-1)=4e1, 符合题意； 小值点，符合题意 当a=-1时，f(x)=e(x十1)2，f(-1)=0, 若a=号f(x)在定义城内单调递增，无极位， 此时切线与x轴重合，不符合题意； 所以a=1. 不符合题意，舍去.综上可知实数a的取值范 (2)由(1)知：f(x)=e(x2+(2-2a)x+a2-2a) 国是（合+] =e(x-a)[x-(a-2)],令f(x)=0,可得x =a或a-2, 15.在半径为R的圆内，作内接等腰△ABC,当底 则f(x)在(-∞，a一2)，(a,十o∞)上单调递 边上高h∈(0，t]时，△ABC的面积取得最大 增，在(a一2，a)上单调递减，则a一2，a是f(x) 值35R,则：的取值范围是 的两个极值，点，不妨设x1=a一2，x2=a, 4 解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高 为h,△ABC的面积为S,则x2=h(2R-h), fx)十f）= fa-2)+fa）=4e2+0 2 S=xh, =2e-2, ∴.S2=x2h2=h3(2R-h)=-h4+2Rh3(0<h 又e-1=e·e2-2>2e2-2, <2R), 即f十 f(x)+f(x2) 令f(h)=-h4+2Rh3,(0<h<2R), 2 2 .f(h)=-4h3+6Rh=2h2(3R-2h), (3)由(2)知：f(.x)在(-o∞，a-2),(a,+∞)上 单调递增，在(a一2，a)上单调递减. 令f(h)=0,解得h=3 2 当a≥3时，a-2≥1，则f(.x)在[-1,1]上单 调递增，则f(x)mx=f(1)=e(1一a)2=4e,解 当0<A<咨时，f()>0,函数于()单调 得a=3或-1，故a=3; 当1<a<3时，-1<a-2<1,则f(x)在 递增，当S<h<2R时，f(h)<0,函数f(h) 2 [-1,a-2)上单调递增，在(a-2,1]上单调递 单调递减 减，则f(.x)mx=f(a-2)=4e-2=4e,解得a =3,不满足1<a<3,不合题意； ∴.f(h)mx 3R 2 当a=1时，a-2=-1,则f(x)在[-1,1]上 4 单调递减，则f(x)mx=f(-1)=e1(-1 h 3Re(0,t], a)2=4≠4e,不合题意； e 的取值范国为[歌2R) 当-1<a<1时，a-2<-1,则f(x)在[-1，a)上 单调递减，在(a,l]上单调递增，则f(x)m= 答案：，R {f(-1),f(1)}mx, 16.已知函数f(.x)=e(x-a)2. 若f(-1)≥f(1),则f(x)mx=f(-1)=e1 (-1-a)2=4e,解得a=2e-1或-2e-1,不 (1)若f(x)在x=-1处的切线与x轴平行， 满足一1<a<1,不合题意， 求a的值； 若f1)>f(-1),则f(x)mx=f1)=e(1-a)2= (2)f(x)有两个极值点x1,x2,比较f1十 4e,解得a=3或-1，不满足-1<a<1,不合 2 题意； 与fx)十fx)的大小： 当a≤一1时，则f(x)在[-1,1]上单调递增， 2 则f(x)mx=f(1)=e(1-a)2=4e,解得a=3 (3)若f(x)在[-1,1]上的最大值为4e,求a 或-1，故a=-1； 的值. 综上，a=3或-1. ·437·