课时7 函数的单调性与最值（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) 课时冲关7函数的单调性与最值 学生用书P250 [基础训练组] 解析：B[设y=二1，则有(y-1)x产+ 1.在定义域内单调递减的函数是 x2+x+1 A.y=2 B.y=In x (y+1)x+y+1=0, C.y=sin 2x D.y=x3 当y=1时，代入原式，解得x=一1. 解析：A[函数y=2r在定义域R上单调递 当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)(y十1) 减，故A符合；函数y=lnx在定义域(0，十o∞) =(y+1)(-3y+5), 上单调递增，故B不符合；函数y=sin2x在定 由4≥0，解得-1<y≤号，于是y的最大值为 义域R上不是单调函数，故C不符合；函数y= x3在定义域R上单调递增，故D不符合，] 3,最小值为-1， 2.函数y=ln(x2-4x十3)的单调递减区间为 ( 所以函数f)的最大值与最小值的和为号.] A.(2,+∞) B.(3,+o∞) (2b-1)x+b-1,x>0, 6.若函数f(x)= 在R上 C.(-,2) D.(-o0,1) -x2+(2-b)x,x≤0 解析：D[令t=x2-4x十3>0，求得x<1,或 为增函数，则实数b的取值范围是 x>3,故函数的定义域为{xx<1,或x>3},且 A(合+） B.[1,2] y=In t. 由二次函数的性质得，t在区间（一∞，1）上为减 c(合 D.(-∞，2] 函数，在区间(3，十∞)上为增函数， 又y=lnt在t∈(0，十o∞)上为增函数，根据复 解析：B[f(x)= 2b-10x+b-1x之0在 {-x2+(2-b)x,x≤0 合函数单调性的判断方法，知函数y=ln(x2- R上为增函数， 4.x十3)的单调减区间为(-∞，1).] 2b-1>0, 3.定义在R上的偶函数f(x)在[0，+o∞)上单调 递减，且f(-3)=0,若不等式f(x一m)>0的 0 解集为(-1,5)，则m的值为 () (2b-1)·0+b-1≥-02+(2-b)·0, A.3 B.2C.-2 D.-3 解得1≤b≤2， 解析：B[因为f(.x)为偶函数，f(3)=f(-3) .实数b的取值范围是[1,2].门 =0,f(x)在[0，十o∞)上单调递减，若f(x)>0, 久.若丽数y团可-引 在{x|1≤|x≤4，x∈R} 则f(|x)>f(3),不等式f(x一m)>0可转化 为f(|x-m)>f(3),所以|x-m<3,解得 上的最大值为M,最小值为m,则M-n=( m-3<x<m+3,所以m-3=-1且m+3=5, A君 B.2 C.9 D.1 4 即m=2.] 4.已知单调函数f(x)对任意的x∈R都有 解析：A[可令1x=:则1≤1≤4y=- f[f(x)-2]=6,则f(2)= A.2 B.4C.6 D.8 易知y=6-}在[1,4幻上单调递增，共爱小 解析：C[设t=f(x)-2r,则f(t)=6,且f(x) =2+t,令x=t,则f(t)=2十t=6,:f(x)是 位为1-1=0：最大位为2-言-器别m=0 单调函数，且f(2)=2十2=6，∴.t=2,即f(x) =2+2,则f(2)=4十2=6.] M-周M-m器 5.函数f(x)=二1二的最大值与最小值的 8.(多选)已知函数f(x)=a(a>0且a≠1) x2十x+1 在区间[1,3)上单调递增，则实数a的取值可 和是 ( 能是 ( A.号 C.1 A号 B号 c ·394· 主题二第二章函数 解析：ABC[当a>0且a≠1时，函数y=2 则2a 3， ax单调递减， 解得分<<1，综上·实 则要使f(x)在区间[1,3)上单调递增， (g(3)=9a-3>0 0<a<1, 嘴要满足2-a≥0，解得0<a<号 数。的取值范国是（合1 2-3a≥0， 答案：（合 结合选项易知，只有号不满足.] 11. 已知0<a<2,函数y= 9.(多选)已知函数f(x)的定义域为A,若对任意 了a一2)x十4a十1x≤2·若该函数存在最小 2a1,x>2, x∈A,存在正数M,使得f(x)川≤M成立，则称 值，则实数a的取值范围是 函数f(x)是定义在A上的“有界函数”.则下列 解析：由题意，令g(x)=(a-2)x十4a十1，x 函数是“有界函数”的是 ∈(-o∞，2]，h(x)=2a1,x∈(2，+o∞)，当 A B.f(x)=√/4-x 0<a<1时，g(x)在（一o∞，2]上单调递减， h(.x)在(2，十©∞)上单调递减，则h(x)在(2， 5 C.fx)=2-4x+3 D.f(x)=x+√4-x 十o∞)上的值域为(0,2a),因为f(x)存在最 小值，故需g(2)=(a-2)×2+4a十1≤0，解 解析：BC [对于A,f(x)= 3+x 4一x 得a, 二-1叶己由于是0，所以 4-x 结合0<a<1,此时0<a<: f(x)≠-1，所以|f(x)|∈[0，十∞)，故不存在 当1<a<2时，g(x)在(-o∞，2]上单调递 正数M,使得|f(x)≤M成立； 减，h(x)在(2，十o∞)上单调递增，则h(x)在 对于B,令u=4-x2,则u≥0，f(u)=√a,当x=0 (2,十∞)上的值域为(2a,十o∞)，因为f(x) 时，u取得最大值4，所以w∈[0,4]，所以f(x)∈ 存在最小值，故需g(2)≤2a,即(a-2)×2+ [0,2],故存在正数2，使得f(x)川≤2成立； 4a十1≤2a,解得a≤子这与1<a<2分盾： 对于C,令u=2.x2-4x十3=2(x-1)2+1,则f(u) 当a=1时，g(x)=-x+5在(-o∞，2]上单 =吾，易得≥l,所以0<fx)≤号=5，即fx)∈ 调递减，且在（一∞，2]上的值域为[3，十∞）， h(x)=2,此时存在最小值2， (0,5],故存在正数5，使得|f(x)川≤5成立； 对于D,令t=√4-x,则t≥0，x=4-t2,则f(t) 别实数a的取位范国为{知0a≤号或a=号 =-++4=-〔-)+只≥0.号按 答案：{a10<a<号或a=l} f).所以fx)1∈[0，+∞).敢不存在 12.已知定义在R上的函数f(.x)满足：①f(x十y) =f(x)+f(y)+1,②当x>0时，f(x)>-1. 正数M,使得|f(x)≤M成立.] (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增 10.已知a>0且a≠1，若函数f(.x)=log。(a.x2 函数； x)在[3,4]上是减函数，则a的取值范围是 (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x+2x)十 f(1-x)>4. 解析：令g（x)=a.x2-x, 解：(1)令x=y=0,得f(0)=-1. 当a>1时，因为函数f(x)=log。(ax2-x)在 在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1一x2) >-1. [3,4]上是减函数，所以函数g(x)=ax2-x在 又f(x1)=f[(x1-x2)十x2]=f(x1-x2)+ [3,4]上是减函数，且g(x)>0成立， f(x2)十1>f(x2),所以函数f(x)在R上是增 函数 无解， (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. (g(4)=16a-4>0, 由f(x2+2x)十f(1-x)>4, 当0<a<1时，因为函数f(x)=log。(a.x2-x) 得f(x2+x+1)>f(3), 在[3,4]上是减函数， 又函数f(x)在R上是增函数， 所以函数g(x)=a.x2-x在[3,4]上是增函数， 故x2十x+1>3,解得x<-2或x>1, 且g(x)>0成立， 故原不等式的解集为{x|x<一2，或x>1. ·395· 高考总复习数学(BS)》 [能力提升组] 若-10gm2=2是录大位，得m=子，则m=3 13.已知函数f(x)在定义域R上单调，且f(f(x) +2.x)=1,则f(一2)的值为 ( 此时10gn=1,满足题意条件.此时3÷号 A.3 B.1 C.0 D.-1 =9. 解析：A[因为函数f(x)在定义域R上单调， 同理：若1ogn=2是最大值，得n=9,则m=g, 1 且f(f(x)十2.x)=1,所以f(x)十2x为常数， 不妨设f(x)十2x=t,则f(x)=t-2x, 此时一10gm2=4,不满足题意条件. 由f(f(x)+2x)=1,得f(t)=t-2t=1,解得 t=-1,所以f(x)=-2x-1,所以f(-2)= 谷上可得0=了=3品=0 答案：9 -2(-2)-1=3.] 16.己知f(x)是定义在[一1,1]上的奇函数，且 14.(2024·上海卷)已知定义在R上的函数 f(1)=1,若a,b∈[-1,1]，a+b≠0时，有 f(x),集合M={x。|对于任意x∈（一o∞，xo), f(x)<f(x。)},在使得M=[-1,1]的所有 fa)+fb)>0成立. a+b f(x)中，下列说法成立的是 ) (1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性； A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x=2处取到最大值 2解不等式(+)长()： (3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1] C.存在f(x)在R上单调递增 恒成立，求实数m的取值范围. D.存在f(x)在x=一1处取到极小值 解：(1)任取x1,x2∈[-1,1]，且x1<x2, 解析：B[对于A,因为M=[-1,1],所以 则-x2∈[-1,1]，f(x)为奇函数， f(x)<f(1)在(-o∞，1)上恒成立，此时f(-1) .f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) <f(1)与f(x)是偶函数矛盾，故A错误；对于 -1,x<-1 f(x)+f(-x）.(x1-x), x1十(-x2） B,不妨取f(x)=x,一1≤x≤1满足f(x)在x 由已知得)f二>01-，<0， 1,x>1 x1十(-x2) =2处取到最大值，故B正确；对于C,若存在 .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). f(x)在R上单调递增，则对任意xo∈R,当x ∴.f(.x)在[-1,1]上单调递增. <xo时都有f(x)<f(xo),则此时M=R,与 (2)f(x)在[-1,1]上单调递增， M=[-1,1]矛盾，故C错误；对于D,若存在 f(x)在x=一1处取到极小值，则存在一个6 >0,对于任意x满足0<|x十1|<6，都有 -1x+<1-<<-1 《-)<f,-1-9∈(-1--少，两由 -1≤1，≤1. x-1 -1∈M以及M的含义知f（-1-) 所以不等式的解桑为{-≤<- f(-1),与f(-1)<f(x)对于任意x满足0< (3)f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增 |x十1<6矛盾，故D错误.] .在[-1,1]上，f(x)≤1. 15.已知函数f(x)=1ogx,实数m,n满足0< 问题转化为m2-2am十1≥1， 即m2-2am≥0，对a∈[-1,1]恒成立. m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m,n]的最大 设g(a)=-2m·a十m≥0. 值为2，则”= ①若m=0,则g(a)=0≥0，对a∈[-1,1]恒 m 成立. 解析：f(x)=logx|,正实数m,n满足m<n, ②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a) 且f(m)=f(n),∴.-log3m=log3n,∴.mn=1. ≥0，对a∈[-1,1]恒成立，必须有g(-1)≥0 f(x)在区间[m,n]上的最大值为2，函数 且g(1)≥0，.m≤-2或m≥2. f(x)在[m2,1)上是减函数，在(1，n]上是增函数， ∴.实数m的取值范围是m=0或m≥2或 .-logm2=2,或1og3n-2. m≤-2. ·396·