第三章函数的概念与性质单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 第三章《函数的概念与性质》单元测试，覆盖函数定义域、奇偶性、单调性等核心知识，通过行程问题、购物折扣、企业利润等情境考查数学建模与应用，适配单元复习，提升数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|定义域（第1题）、奇偶性（第2题）、同一函数判断（第4题）|基础概念辨析，强调定义域与对应法则| |多项选择|3/18|函数性质（第10题）、定义域（第11题）|多角度考查，部分选对得分，区分思维严谨性| |填空|3/15|分段函数求值（第13题）、幂函数参数（第14题）|聚焦易错点，强化运算能力| |解答题|5/77|奇偶性求解析式（第15题）、单调性证明（第16题）、企业利润模型（第19题）|综合应用，如第19题结合小微企业脱贫情境，用分段函数与基本不等式解决最值问题，体现数学建模与社会价值|

第三章《函数的概念与性质》 单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 2．已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 7．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 8．某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 10．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 11．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．函数的定义域为______．（用区间表示） 13．已知函数，若，则______. 14．若幂函数满足，则实数m的值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 16．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 17．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 18．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 19．为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第三章 《函数的概念与性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D D B B A AC BCD 题号 11 答案 BD 1．C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 2．A 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 3．A 【知识点】交集的概念及运算 【详解】集合， 则. 4．D 【知识点】具体函数的定义域、求分段函数解析式或求函数的值、判断两个函数是否相等 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 5．D 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 6．B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意； 对于C，在上单调递减，不符合题意； 对于D，在上单调递减，不符合题意. 7．B 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 8．A 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】设顾客购物总金额为元，求出购物优惠金额的函数关系，再由给定条件求得答案. 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 9．AC 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 10．BCD 【知识点】求函数值、复合函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、已知f（g（x））求解析式 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 11．BD 【知识点】利用不等式求值或取值范围、由已知条件判断所给不等式是否正确、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、抽象函数的定义域 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 12． 【知识点】具体函数的定义域 【详解】依题意可知，解得且， 所以的定义域为. 13．或/或 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 14． 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 15．(1)，． (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 16．(1) (2)增函数，证明见解析 【知识点】由奇偶性求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由已知得，先确定函数定义域，再根据奇偶性定义，由求参数. （2）令，应用作差法比较、的大小即可证. 【详解】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 17．(1)；. (2)最大值为，最小值为. 【知识点】求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式、求二次函数的解析式 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数，由题意：，得， 又过点，则，解得，故. （2）由题意得：，对称轴为， 且，则最大值在对称轴处取得：； 由，，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 18．(1)，最大值为4 (2) (3)或 【知识点】分段函数的值域或最值、画出具体函数图象、求分段函数值、解分段函数不等式 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 19．(1) (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $