第三章 函数的概念与性质单元自测·强化卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 第三章函数概念与性质单元强化卷，覆盖函数定义、奇偶性、单调性等核心知识点，梯度设计合理，适配单元复习，强化数学思维与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|函数定义、幂函数、奇偶性|结合奇偶性与单调性解不等式，考查推理能力| |多选题|3/18|幂函数性质、高斯函数|融入数学文化（高斯函数），培养数学眼光| |填空题|3/18|定义域、单调性参数范围|抽象函数定义域求解，强化抽象能力| |解答题|5/74|幂函数解析式、函数奇偶性与单调性、新定义（不动点）|第19题引入不动点、稳定点新定义，考查创新意识与数学语言表达|

第三章 函数的概念与性质（单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．－1 B．－1或3 C．3 D．2 4．已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A． B． C． D． 5．已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 6．已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知定义域为的函数为偶函数，且在内单调递减，记，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 10．高斯是历史上最有影响力的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，高斯函数表示不超过x的最大整数，如，则（    ） A． B． C． D．对任意 11．规定：．函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的定义域为R B．的最大值为 C．的单调递增区间为 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．若函数的定义域为，则的定义域为__________. 13．函数是上的减函数，则的取值范围是_____________. 14．已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知幂函数在上为减函数. (1)试求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间. 16．已知函数为奇函数，且． (1)求，并指出函数在的单调性（不用证明）； (2)若方程有四个不等实根， ①求实数m的取值范围； ②求的范围． 17．已知点 在函数 (k为实数)的图象上. (1)求函数f(x)的解析式并用定义法证明f(x)在区间 (0，1)上的单调性； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数f(x)在区间 上的值域. 18．已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 19．一般地，对于定义在区间上的函数： 若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点． 已知函数，（）． (1)求函数的不动点的集合； (2)若函数有两个相异的不动点，，且，求的取值范围； (3)若函数的不动点和稳定点的集合分别为和，当时，求的取值范围： 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】由已知可得，故. 故选：A. 2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 3．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．－1 B．－1或3 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案. 【详解】由题意知：，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递减，不合题意; 当时，，则在上单调递增，符合题意, ∴, 故选：C 4．已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项，再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断CD. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以， 在中，令，得， 又，所以，故A正确； 令，得，即，得， 而，故B错误； 由已知得，则，得， 那么，所以函数是周期为的周期函数， 故，故C正确； 因为函数的图象关于直线对称，所以， 因为函数的周期为，所以，所以，故D正确. 5．已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据图象的平移及对称中心得到是奇函数，结合得到是周期为8的周期函数，从而得到，结合已知条件及奇函数求出，即可得到. 【详解】根据函数平移的性质，函数的图象可由函数向右平移1个单位得到， 因为函数关于对称，所以函数关于对称， 即是奇函数，满足. ，即，， 所以，所以是周期为8的周期函数. ， 又时，，所以，所以. 故. 6．已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由函数为奇函数，可得函数为偶函数，再根据，可得在上单调递减，即为或，根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由已知当，， 则， 设，， 则在上单调递减； 由是定义在上的奇函数， 则，所以当时，，不满足题意； 当时，为偶函数，且， 又函数在上单调递减， 则在上单调递增， 当时，由，可得，则； 当时，由，可得，则； 综上所述， 故选：B. 7．已知定义域为的函数为偶函数，且在内单调递减，记，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】由已知区间单调性及偶函数的对称性知在上递增，根据单调性比较的大小关系. 【详解】由为偶函数且在内单调递减， 所以在上递增， 由，而， 因为，故， 所以. 故选：B 8．已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数图象的应用、抽象不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先研究函数的单调性与对称性，结合函数零点作出图象，借助函数图象由符号法则解不等式. 【详解】由题意，不妨设，则由可得， ，，即当时，恒有成立， 故在单调递减； 的图象关于点对称，则是奇函数， 所以在单调递减； 由函数的定义域为，则， 又，则， 作出函数大致图象， 不等式等价于或， ①由方程，得，或或或， 解得或或或. ②由不等式可化为，或， 即，或， 解得，或 ， 综上可知，，或. 故选：C. 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、判断五种常见幂函数的奇偶性、由基本不等式比较大小、根据函数的单调性解不等式 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断AB；判断为偶函数且上为增函数，从而可将函数不等式转化为，故可求函数不等式的解，从而判断C，利用作差法结合基本不等式判断D. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点，所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为，且的定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 因为在上为增函数，而在上为增函数， 故在上为增函数，而即为， 故，故即的解集为，故C错误； 对于D， ， 而 ， 因为，，故， 当且仅当等号成立，故， 故，即， 当且仅当等号成立，故D成立. 10．高斯是历史上最有影响力的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，高斯函数表示不超过x的最大整数，如，则（    ） A． B． C． D．对任意 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、函数新定义 【分析】令，则，则，代入ACD分析，即可判断，令，可判断B. 【详解】令，则，且， 选项A，，正确； 选项B，令，则，错误； 选项C，，正确； 选项D，，正确. 故选：ACD 11．规定：．函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的定义域为R B．的最大值为 C．的单调递增区间为 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数新定义 【分析】根据函数定义，作出函数图象即可得出选项. 【详解】由得，， 作出函数大致图象如图所示： 所以的定义域为R，的单调递增区间为，的最大值为， . 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．若函数的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．函数是上的减函数，则的取值范围是_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、分段函数的单调性 【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于的不等式组求解可得. 【详解】是上的减函数， ，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 14．已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由函数单调性的定义推出在上单调递增，再由分段函数单调性建立关于的不等式，求解即可. 【详解】不妨设，由，可得：，即， 则函数在上单调递增， 则，解得，即， 故实数a的取值范围为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知幂函数在上为减函数. (1)试求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间. 【答案】(1) (2)奇函数，其单调减区间为， 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值、判断一般幂函数的单调性 【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可； （2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得，，解得或， 经检验当时，函数在区间上无意义， 所以，则. （2），要使函数有意义，则， 即定义域为，其关于原点对称. ， 该幂函数为奇函数. 当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数， 函数是奇函数，在上也为减函数， 故其单调减区间为，. 16．已知函数为奇函数，且． (1)求，并指出函数在的单调性（不用证明）； (2)若方程有四个不等实根， ①求实数m的取值范围； ②求的范围． 【答案】(1)，函数在上单调递减，在单调递增. (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出； （2）①通过令，把题目化成二次函数有两个不等的实数根即可求出； ②利用得到，，再利用单调性即可求出. 【详解】（1）函数为奇函数，，即，解得， 又，，解得， ， 设，， 当，则，，，即函数在是单调递增函数； 当，则，，，即函数在是单调递减函数， 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. （2）①令，则方程化为， 为奇函数，故图象关于原点对称， 又方程有四个不等实根， 有两个不等的实根，则， 又当时，，当且仅当，即时等号成立，， 为奇函数，故图象关于原点对称，当时，， ， 设，则，解得， 故实数m的取值范围为. ②结合①可知是的两个根，同时注意到， ，，其中， 同时，， 同理，由，可得， 原式 ，显然关于在上单调递增， . 17．已知点 在函数 (k为实数)的图象上. (1)求函数f(x)的解析式并用定义法证明f(x)在区间 (0，1)上的单调性； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数f(x)在区间 上的值域. 【答案】(1),证明见解析。 (2)奇函数， 【难度】0.65 【知识点】已知函数值求自变量或参数、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）将点坐标代入求参数k，令应用作差法判断的大小判断单调性； （2）利用奇偶性定义判断的奇偶性，再结合奇函数、单调性求区间值域. 【详解】（1）由题设，，可得，故， 令，则， 又，，，， 所以，故， 则在区间(0,1)上单调递减. （2）由题设，定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数， 由（1）知：在(0,1)上的单调递减，又为奇函数， 所以在上递减，即上递减，且，， 故在区间上的值域为. 18．已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数. (2)函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减； (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 19．一般地，对于定义在区间上的函数： 若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点． 已知函数，（）． (1)求函数的不动点的集合； (2)若函数有两个相异的不动点，，且，求的取值范围； (3)若函数的不动点和稳定点的集合分别为和，当时，求的取值范围： 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数新定义 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解方程可得结果； （2）由不动点定义得，将题干条件转化为二次函数在上有2个零点，列出不等式组求得的取值范围； （3）分和两种情况进行分析：显然符合条件，时，由和可得的初步范围，再分解的方程得到的构成，结合的条件分析方程的解的情况，最终确定的范围. 【详解】（1）不动点满足，即，整理得， ，解得或， 所以函数的不动点的集合为. （2）， 不动点满足，即，整理为， 令，由函数有两个相异的不动点，，且， 等价于在上有2个零点，因为， 则，解得， 所以的取值范围是. （3）由题意，为的解集，为的解集， ①当时，， 令，可得，所以， 令，可得，所以，满足； ②当时，令，由，需满足，解得， 令，即，上式可分解为， 由于，则方程的解属于或无解， 若无解，则，解得， 若的解属于， 令，即，解得， 此时的解为，而的解为和，符合条件. 所以的取值范围为. 综上，的取值范围为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $