3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第3课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的切线判定定理和性质定理，课堂导入先回顾直线与圆的位置关系（公共点个数、圆心到直线距离与半径关系），通过“过圆上一点作切线”的问题引导探究，形成判定定理后逆向探究性质定理，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点是以“连半径，证垂直”“作垂直，证半径”为核心辅助线方法，结合例3及变式题（从直径条件到构造直径）培养几何直观和推理能力，用符号语言和表格对比明晰定理条件结论，课堂小结结构化梳理，帮助学生提升应用意识，教师可借助分层例题和清晰结构提高教学效率。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（3） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 理解并掌握圆的切线判定定理和性质定理． 能根据题目条件识别切线的判定定理或性质定理的应用场景，并正确运用定理进行推理． 3 掌握“连半径；作垂直”的基本辅助线作法，能综合运用圆的相关知识解决问题． 知识回顾 直线和圆有哪三种位置关系？判定方法是什么？ 直线与圆的 位置关系 图形 相 交 相 切 相 离 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离 d与半径r的关系 d＜r d＝r d＞r 新知探究 如何过圆上的一点作圆的切线？ 根据直线与圆的三种位置关系，我们知道，如果经过一条半径 OD 的外端 D 作OD 的垂线 l，那么圆心 O 到直线 l 的距离 OD 等于圆的半径r，所以直线 l 与圆 O 相切，D 为切点． O l r D 新知归纳 于是，我们得到圆的切线判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 条件1 条件2 O D l r ∵ OD为⊙O的半径，OD⊥直线 l 于点 D， ∴ 直线 l 为⊙O的切线． 符号语言： 注：这两个条件与“d＝r”的条件在本质上是相同的，仅是说法不同而已． 新知探究 反过来，已知直线 l 是⊙O的切线，切点为 D， OD和直线 l 有什么位置关系？ O D l r 直线 l 与⊙O相切，则OD＝r，而OD为圆心 O 到直线 l 的距离，所以 OD⊥l． 新知归纳 由此可得圆的切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径． O D l r ∵ 直线 l 与⊙O相切于点 D， ∴ OD⊥直线 l ． 符号语言： 讨论交流 定理类型 已知条件 推导结论 用途 判定定理 性质定理 半径＋垂直（过半径外端点） 该直线是圆的切线 证明“相切” 直线是圆的切线 半径⊥切线(过切点) 得到“直角” 圆的切线的判定定理和性质定理的条件和结论有什么不同？用途是什么？ 例题讲解 例3 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O的直径，∠BAD＝∠ACB， 判断直线 AD 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由． D O A B C 解：直线 AD 与☉O相切．理由如下： ∵ AC 是☉O 的直径， ∴ ∠ABC＝90 °． ∴ ∠ACB＋∠BAC＝90°． ∵ ∠BAD＝∠ACB， ∴ ∠BAD＋∠BAC＝90°， 即 ∠DAC＝90°， ∴ AD⊥AC． ∴ 直线AD与☉O相切（圆的切线判定定理）． 证明“相切”，用判定定理 例题讲解 变式 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠BAD＝∠ACB，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． D O A B C E 解：直线AD与⊙O相切．理由如下： 连接AO并延长交☉O于E，连接BE，则AE为☉O的直径． ∴ ∠ABE＝90°， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°． ∵ ∠E＝∠ACB， ∠BAD＝∠ACB， ∴ ∠E＝∠BAD， ∴ ∠BAE＋∠BAD＝90°． 即 ∠DAE＝90 °， ∴ AD⊥AE． ∴直线AD与⊙O相切. 连半径，证垂直 新知巩固 1．如图，P 是⊙O 外一点，以 OP 为直径作圆，与⊙O 相交于 A，B 两点．连接 PA，PB．求证： PA，PB 是⊙O 的切线． O A B P 证明：∵ OP是⊙O 的直径， ∴ ∠OAP＝90°． 同理，∠OBP＝90°． ∴ OA⊥AP，OB⊥BP． ∵ OA，OB是⊙O 的半径， ∴ PA，PB是⊙O的切线（圆的切线判定定理） 新知巩固 2．如图，直线 AB 经过⊙O上一点 C，且 OA＝OB，CA＝CB．直线 AB 与⊙O相切吗？为什么？ O A B C 解：直线 AB 与⊙O相切．理由如下： 连接 OC． ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC⊥AB． ∵点 C 在⊙O 上， ∴直线 AB 与⊙O 相切． 例题讲解 例4 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AD 平分∠BAC，过点 D 的切线交AC 于点 E． 求证：DE⊥AC． ● O B A D C E 解：连接OD． ∵ DE是⊙O的切线，∴ DE⊥OD (圆的切线性质定理)， 即∠ODE＝90°． ∵ OD＝OA， ∴ ∠ODA＝∠OAD． ∵ AD 平分∠BAC， ∴ ∠OAD＝∠CAD． ∴ ∠ODA＝∠CAD． ∴ OD∥AC． ∴ ∠ODE＋∠AED＝180°． ∵∠ODE＝90°，∴ ∠AED＝90°． ∴ DE⊥AC． 见切线，连半径，得垂直 新知巩固 1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于 点P．PA 与 PB 相等吗？为什么？ A B P O 证明：连接OP． ∵ AB是小圆的切线，P为切点， ∴ OP⊥AB． ∵ AB是大圆的弦， OP⊥AB， ∴ PA＝PB． 新知巩固 B A C ● O D 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，过点 B 的切线交 AD 的延长线于点 C．已知 AD＝DC．求∠ABD 的大小． 解：∵ BC 是⊙O 的切线，AB 是圆的直径， ∴ AB⊥BC， ∴ ∠ABC＝90°． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB＝90°． ∴ BD⊥AC． ∵ AD＝DC， ∴ BA＝BC． ∴ ∠ABD＝∠ABC＝×90°＝45°． 新知巩固 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D．若∠D＝30°．求∠A 的大小． B A C ● D O 解：连接OC． ∵ CD是⊙O的切线，C为切点， ∴ OC⊥CD， ∴ ∠OCD＝90°． ∵∠D＝30°， ∴ ∠COD＝60°． ∵ OA＝ OC， ∴ ∠A＝∠ACO． ∵ ∠COD＝∠A＋∠ACO， 　　∴ 60°＝2∠A． ∴ ∠A＝30°． 能力提升 ┛ 1．如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC，垂足为D．AB与以点 P 为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？ B C D P A E ┛ 证明：过点P 作PE ⊥AB，垂足为E. ∵ AP是∠BAC的平分线，PD ⊥AC ，PE⊥AB， ∴ PE＝PD， ∵ PD是⊙P 半径， ∴ AB与以点P为圆心、PD为半径的圆相切． 作垂直，证半径 能力提升 ┛ 2．如图，已知Rt△ABC (∠C＝90°)．作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切 (不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由)． B C A ┛ O 过点O作OD⊥AB，垂足为D，由BO 平分∠ABC，得OD＝OC，从而⊙O与AB所在直线相切．又由作图可知⊙O与BC所在直线相切，⊙O为满足条件的圆． 解：作∠ABC的平分线，交AC于点O；以点O为圆心，OC为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆. D 备用练习 1．如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点 D 恰使∠ADC＝∠B， 求证：直线CD与⊙O相切．   O B A C D 证明：如图，连接OD， ∵ OA＝OD，∴ ∠A＝∠ODA， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∵∠ADC＝∠B， ∴∠ODA＋∠ADC＝90°， 即∠CDO＝90°，∴ CD⊥OD， ∵ OD是⊙O的半径， ∴直线CD与⊙O相切． 备用练习 2．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB 于点P． 判断△CBP的形状，并说明理由． ● A O B C P 证明：连接OB. ∵ BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC． ∴ ∠OBA＋∠PBC＝90°． ∵ OC⊥OA，∴∠OAB＋∠APO＝90°． ∵ OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA． ∴∠PBC＝∠APO． ∵∠APO＝∠BPC， ∴∠PBC＝∠BPC，∴ PC＝BC． ∴ △CBP是等腰三角形． 课堂小结 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（3） 判定定理：连半径，证垂直，从而证明直线是切线． 性质定理：见切线，连切点，即可得垂直关系，快速构造直角三角形． 证切线时常用的添加辅助线方法：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径． 与切线性质相关的辅助线的作法：见切线，连半径，得垂直． 感谢聆听！ $