精品解析：辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

沈阳市回民中学2028届高一下学期期末考试试题 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦和角公式展开，结合已知的​求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果. 【详解】因为， 又，解得， 所以． 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，，. . 3. 已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象最高点确定，利用周期求出，最后代入最低点坐标求出. 【详解】由 ，，，的图象可知， . 因函数图象过最高点，且随后经过点， 所以函数的最小正周期满足，解得，因为，所以 . 即函数表达式为 . 将点 代入上式，得，化简得. 所以，因为，可得. 所以该函数的表达式是 . 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于，所以， 则 5. 函数的图象可由函数的图象（ ）个单位得到 A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数变形为，再根据函数图象平移变换可得. 【详解】因为， 根据图象平移规则，函数图象由的图象向左平移个单位得到. 因此函数的图象由函数的图象向左平移个单位得到. 6. 已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，侧面积为，母线长为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接设出圆台的基本量，由侧面积可得圆台上下底面半径，再由勾股定理可得圆台的高，进而可得圆台体积. 【详解】如图， 设圆台的上底面半径为，高为，母线长为， 由题可知，下底面半径，， 又由圆台的侧面积公式：，解得. 又由勾股定理得， 在圆台中，， 所以圆台的体积. 因此圆台的体积为. 7. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到点的距离最大值求解. 【详解】解法1（几何法）： 复数对应复平面内的点，表示点到原点的距离. 由可知，点的轨迹是以原点为圆心，半径的单位圆.   的几何意义是单位圆上的点到点的距离. 根据圆的性质：圆上一点到圆外定点的最大距离等于定点到圆心的距离加圆的半径. 计算得，因此的最大值为. 解法2（代数法）： 设，由得，其中. 则，代入化简得： . 当时，取得最大值，即的最大值为3. 8. 在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正余弦定理进行边角转化得到角的余弦值，结合锐角三角形，求出角的大小，以及角或角的取值范围；根据边和角，结合正弦定理将，表示为对应角的正弦函数，将周长转化为关于角或角的三角函数，结合三角函数的单调性即可求出周长的取值范围. 【详解】在中，，得. 由正弦定理得，； 由余弦定理得，； ，得. 是锐角三角形，，得； ，解得. ，，由正弦定理得； ，. . ，； ，得，即. ，即周长的取值范围为. 二、多选题（每题6分，按选择项平均给分，多选不得分，共计18分．） 9. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则（ ） A. B. C. 为定值 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简求解得到，进而求出角.根据向量的运算求解选项B.根据选项B平方以及数量积求解选项C.根据基本不等式以及三角形面积公式求解选项D. 【详解】因为，所以，所以或， 因为，所以，A正确． 因为，所以，B错误． 因为，所以，即，C正确． 因为，所以，所以， 则的面积，当且仅当时，等号成立，D正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、的面积，则 D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由，故，故，故A正确； 对于B，由的夹角为锐角，得且不共线，则， 解得且， 所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件， 故B错误； 对于C，如图设，，由，得， 取的中点，连接，则有，所以， 即，则点为的重心， 设，，的面积分别为，则，，的面积分别为， 由重心的性质可知，所以，则，故C错误； 对于D，如图，作的内角平分线与相交于点， 因为为的单位方向向量，为的单位方向向量， 所以，， 所以，即，所以为等腰三角形， 又因为，且，所以，即为等边三角形，故D正确. 11. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，换底根据体积公式求解；对于B，由面面平行证明线面平行；对于C，作，得到截面，根据梯形面积公式求解；对于D，先证明不是的中点，可得点和点到平面的距离不相等. 【详解】对于A，， 三棱锥的体积为，A错误； 对于B，取中点，连接， 因为，，分别为，，中点， 所以，， 可得平面，平面，， 可得平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，连接，，因为，为，的中点， 所以，所以平面截正方体的截面为，， 故C正确； 对于D，连接交于点，延长交的延长线于点， 因为，为，的中点， 所以，， 又，所以， 为的三等分点，不是的中点， 所以点和点到平面的距离不相等，故D错． 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知，则_______. 【答案】2 【解析】 【详解】由二倍角的正弦、余弦公式，且，所以， 得： . 13. 在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________ 【答案】 【解析】 【分析】构造一个过且平行于平面的平面，该平面与侧面的交线即为点的运动轨迹. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接，连接， 由，，得，又，得四边形是平行四边形， 则，平面，平面， 因此平面； 又，，得，平面，平面， 因此平面，又平面，平面，， 则平面平面，而侧面，平面， 于是平面，则点在侧面与平面的交线上， 即点的轨迹为线段，又，所以点在侧面上的轨迹长度为. 14. 函数在上有三个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式得到的最简表达式，令，得到关于的三角方程，求解三角方程的通解；根据，，求出的取值范围，将零点个数转化为对应的三角方程的解在的取值范围上的个数问题；根据三角函数的周期性和取值特点，结合三个解的条件，列出关于的不等式，求解不等式取得取值范围. 【详解】. 令，得，即. 或，. ，，. 要使在上有三个零点，则，解得. 综上，的取值范围为. 四、解答题（15题13分；16-17每题15分；18-19题每题17分；共计77分） 15. 著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数． （1）若，将复数表示成（）的形式； （2）若是关于的实系数方程的一个根，求，的值； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）代入给定角度，利用欧拉公式将其展开为三角函数形式，合并实部与虚部完成化简； （2）法一：将复数的三角形式转换回，结合复数的运算即可求解，法二：利用实系数一元二次方程“虚数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解； （3）法一：将复数的三角形式转换回，结合正弦函数的取值范围即可求解，法二：将复数模长的最值问题转化为复平面内单位圆上的动点到定点的几何距离求最大值即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 法一 ，则， 即，故且， 所以，； 法二 为虚数根，所以方程还有另一个根为， 根据韦达定理：， 所以，； 【小问3详解】 法一 ， ， 故． 法二 ，令，， 则可视为单位圆上的点到点的距离， 到圆心的距离，即在单位圆外， 所以，其中为单位圆的半径. 16. 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．已知函数 （1）当时，求的单调递增区间； （2）若对任意的，都有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和 （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）化简求得，再求单调递增区间； （2）方程有解等价于，即的取值范围为函数在值域上的取值范围. 【小问1详解】 正弦函数的单调递增区间满足，， 令，则，， 解得，，结合： 当时，得区间； 当时，得区间， 故的单调递增区间为和； 【小问2详解】 方程有解等价于， 即的取值范围为函数在值域上的取值范围， 当时，，故， 因此，令，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，，，， 当时，取最小值；当时，取最大值3， 即，故的取值范围为． 17. 从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求角C的大小； （2）若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】（1）条件①，；条件②，；条件③， （2） 【解析】 【分析】（1）若选条件①，利用正弦定理以及两角差的正弦公式化简求解.若选②，利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简求解即可.若选③，根据诱导公式以及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得· 因为，所以，则，即· 即，所以 又，则，所以· 若选条件②， 由正弦定理得· 所以· · 即， 即，整理得，即．· 因为，所以，所以．· 若选条件③， 在中，因为，· 所以· 即· 化简得．· 又，则，故． 因为，所以．· 【小问2详解】 在中，根据余弦定理， 有· 即，解得或（舍去）. 依题意，， · 即，则 所以· 18. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以是中点． 又是中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． （2）由题知，在中，，， 由余弦定理，得，所以． 在中，，，所以是等边三角形，所以， 所以，即． 因为平面平面，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据余弦定理结合勾股定理可得，再由线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明即可； （3）根据等体积法计算点到平面的距离，再由线面角的定义计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面平面，所以，． 由（2）知，所以． 设点到平面的距离为． 因为，，所以， 等腰底边上的高为，所以， 所以． 又点到的距离为，所以， 所以，解得． 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，，求． （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，，分别为中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得，，再由数量积的运算律，即可求解； （2）根据题设条件求出，再结合题设条件，即可求解； （3）设，根据题设条件得，再由正、余弦定理及三角恒等变换，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，在仿射坐标系中，， 又，则， 所以， 则. 【小问2详解】 因为，，则，， 则， ， 又与的夹角为， 由，得到，解得. 【小问3详解】 设，其中，则， 因为，又分别为中点， 所以， ， 在仿射坐标系中，， ， 在中，由余弦定理得， 所以， 则， 在中，由正弦定理， 设，则， 令 ，其中， 所以，则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2028届高一下学期期末考试试题 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象可由函数的图象（ ）个单位得到 A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向左平移 6. 已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，侧面积为，母线长为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，按选择项平均给分，多选不得分，共计18分．） 9. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则（ ） A. B. C. 为定值 D. 面积的最大值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、的面积，则 D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 11. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知，则_______. 13. 在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________ 14. 函数在上有三个零点，则的取值范围是______． 四、解答题（15题13分；16-17每题15分；18-19题每题17分；共计77分） 15. 著名数学家欧拉发现并证明了欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位），从而建立了三角函数和指数函数的关系，已知复数． （1）若，将复数表示成（）的形式； （2）若是关于的实系数方程的一个根，求，的值； （3）求的最大值． 16. 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．已知函数 （1）当时，求的单调递增区间； （2）若对任意的，都有解，求实数的取值范围． 17. 从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求角C的大小； （2）若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 18. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，，求． （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，，分别为中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $