2.2.2直线的两点式方程导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.2直线的方程 　2.2.2直线的两点式方程 学习目标　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的 两点式. 问题 快递站和小区门口是路上两个固定点位，已知这两个地点，怎么写出连接两地道路的直线方程？ 参考答案　把快递站、小区门口分别当作直线上两个已知坐标点。先依靠两点算出道路坡面的倾斜坡度。结合两点坐标就能用两点式写出这条道路对应的直线方程。 一、直线的两点式方程 （1）定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】①与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 ②将两点式方程变形为：，可以表示任何直线 【例1】已知三个顶点坐标，，，求三角形三条边所在的直线方程． 【答案】直线AB的方程为x=2；可得AC的方程为x―y―3=0；直线BC的方程为x+2y－6=0。 【解析】∵A（2，－1），B（2，2），A、B两点横坐标相同， 直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2 ∵A（2，－1），C（4，1）， 由直线方程的两点式，可得AC的方程为， 即x―y―3=0。 同理可由直线方程的两点式，得直线BC的方程为：， 即x+2y－6=0。 ∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为：x=2，x―y―3=0，x+2y―6=0。 【变式1-1】有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异， 但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确.故选：D 【变式1-2】已知直线x＋my＋1＋m＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数m＝（ ） A．1 B．－1 C．±1 D．1或0 【答案】C 【解析】由题意，直线在两坐标轴上的截距相等，当直线过原点时，此时在坐标轴上的截距都为零，则，解得； 当直线不过原点时，要使得在坐标轴上的截距相等，此时直线的斜率为，即，解得，综上可得，实数.故选：C 2、 直线的截距式方程 （1）定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 （2）截距的概念 ①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； ②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 【例2】直线在两坐标轴上的截距之和为（ ） A．1 B．-1 C．7 D．-7 【答案】B 【解析】直线的横截距为，纵截距为所以直线在两坐标轴上的截距之和为，故选：B 【变式2-1】已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】当截距为0时，设，代入A（5，-2）解得 ，即 当截距不为0时，设 ，代入A（5，-2）解得 ，即 综上，直线方程为或 【变式2-2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为， 故选：D 易错点提示（1）和适用范围不同。（2）不是截距式，变成是截距式。 巩固加练 1.已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（ ） A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0 【答案】B 【解析】因为A（1，2），B（3，1），所以线段AB的中点坐标为， 所以过点M和线段AB的中点的直线方程为，即.故选：B. 2.已知点，在直线上，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据截距式可得直线方程为：，即.故选：A 3.已知直线过点，，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即．故选：C 4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为， 故选：D 5.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线有（ ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设直线l过原点，则l的方程为 ，将点（2,1）坐标代入， 得 ，即l的方程为 ；若直线l不过原点，设其为 ，将点（2,1）坐标代入， 得……① ，由于 ，分别代入①，解得 ，即直线l的方程为 ， ；共有3条； 故选：C. 6. 直线l的倾斜角为60°，且在x轴上的截距为－，则直线l的方程为________. 【答案】3x－y＋1＝0 【解析】　由题意可知，直线l的斜率为，且该直线过， ∴直线l的方程为y＝，即3x－y＋1＝0. 7.已知点，求中BC边上的高所在直线的方程为 【答案】 【解析】依题意作图如下： 直线B的斜率，∴BC边上的高的斜率为， 故其直线方程为：，整理得：； 8.求满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且平行于过和两点的直线； （3）经过点，且与直线垂直． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点 则直线为； （2）过和两点的直线斜率为， 则与MN平行且过点的直线方程为：； （3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为， 则经过点，且与直线垂直的直线方程为； 9.的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）BC的中点坐标为 则边BC上的中线所在直线的方程为； （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.2直线的方程 　2.2.2直线的两点式方程 学习目标　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的 两点式. 问题 快递站和小区门口是路上两个固定点位，已知这两个地点，怎么写出连接两地道路的直线方程？ 一、直线的两点式方程 （1）定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程 叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】①与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 ②将两点式方程变形为：，可以表示任何直线 【例1】已知三个顶点坐标，，，求三角形三条边所在的直线方程． 【变式1-1】有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】已知直线x＋my＋1＋m＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数m＝（ ） A．1 B．－1 C．±1 D．1或0 2、 直线的截距式方程 （1）定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程 ，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 （2）截距的概念 ①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； ②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 【例2】直线在两坐标轴上的截距之和为（ ） A．1 B．-1 C．7 D．-7 【变式2-1】已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 . 【变式2-2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A． B． C．或 D．或 易错点提示（1）和适用范围不同。（2）不是截距式，变成是截距式。 巩固加练 1.已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（ ） A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0 2.已知点，在直线上，则的方程为（ ） A． B． C． D． 3.已知直线过点，，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A． B． C．或 D．或 5.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线有（ ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 6. 直线l的倾斜角为60°，且在x轴上的截距为－，则直线l的方程为________. 7.已知点，求中BC边上的高所在直线的方程为 8.求满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且平行于过和两点的直线； （3）经过点，且与直线垂直． 9.的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $