培优专练+三年真题01 集合与常用逻辑用语-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合与常用逻辑用语核心考点，涵盖集合基本运算、含参问题、新定义及充分必要条件、全称与存在量词等高考高频内容，按考点分题型构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生系统突破重点难点。 资料以培优专练结合三年真题为特色，创新设计新定义题型教学，如引导学生分析“容量”“伴随”等概念，培养数学思维中的逻辑推理与抽象能力，通过分层练习实现精准突破，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

培优专练+三年真题01集合与常用逻辑用语 【考点一】集合基本运算 【考点四】充分必要条件 【考点二】集合含参问题 【考点五】全称与存在量词 【考点三】集合新定义 【题型一】集合基本运算 1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026·广东佛山·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4.（2026·上海·三模）已知全集，集合，，则________． 5．（2026·江苏南通·模拟预测），，则______． 6．（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________. 7.（多选）（2026·山东济南·模拟预测）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【题型二】集合含参问题 1．（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 3．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 4.（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________． 5．（2025·安徽合肥·一模）已知集合，若，则实数的取值范围为__________. 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知集合，集合，若，则实数__________. 7.（2025·江西·模拟预测）（多选）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【题型三】集合新定义 1．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 3.（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是_________. 4. （2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 5.（2025·湖南邵阳·模拟预测）（多选）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2025个元素，则一定存在 B．若数集中没有最大值，则不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 6.（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 【题型四】充分必要条件 1．（2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·山东济南·模拟预测）记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 8．（2025·安徽·一模）（多选）若，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 10.（2025·河南信阳·模拟预测）已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【题型五】全称与存在量词 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知命题：，，：，，则下列命题为真的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西安康·模拟预测）已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，：， B．假，：， C．真，：， D．假，：， 3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 4．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为________________． 6．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“”是假命题，则的取值范围为__________． 7．（2025·山西晋城·模拟预测）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是________． 8.（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 9．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 10．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 三、解答题 12．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题01集合与常用逻辑用语 【考点一】集合基本运算 【考点四】充分必要条件 【考点二】集合含参问题 【考点五】全称与存在量词 【考点三】集合新定义 【题型一】集合基本运算 1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解． 【详解】由题可知，，则 ． 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，所以， 又，所以. 3.（2026·广东佛山·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 在数轴中表示出集合，由图可知. 4.（2026·上海·三模）已知全集，集合，，则________． 【答案】 【详解】由全集，集合，， 可得，则. 5．（2026·江苏南通·模拟预测），，则______． 【答案】 【分析】结合集合的交集及补集运算分析B的可能情况，然后再结合集合并集运算可求． 【详解】解：因为，，得且. 所以或或或.所以 故答案为： 6．（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________. 【答案】 【分析】由交、并、补集的定义求解即可. 【详解】 ，所以 . 故答案为： 7.（多选）（2026·山东济南·模拟预测）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】已知为全集，，，由集合运算性质：， 因为，所以. A：可以是空集，此时，满足，错误. B：已推出，错误. C：，，，正确. D：，相等集合互相包含，成立，正确. 8．（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 【题型二】集合含参问题 1．（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 2．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 3．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【分析】分，两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 4.（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【分析】根据交集的定义和集合的性质计算即可. 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 5．（2025·安徽合肥·一模）已知集合，若，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式求解. 【详解】因为，故， 因为恒成立，所以， 所以，即. 故答案为：. 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知集合，集合，若，则实数__________. 【答案】-3 【分析】根据得，再讨论元素间的关系可解. 【详解】，即，若，则，不符合； 若，则，经检验符合题意. 故答案为：-3. 7.（2025·江西·模拟预测）（多选）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 【题型三】集合新定义 1．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 2．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 3.（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是_________. 【答案】2025 【分析】先求出集合A，再根据题干中的定义即可求出结果. 【详解】若集合，则集合， 故，解得. 故答案为： 4. （2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8 【分析】根据给定条件，从1开始依次取值讨论求解. 【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 5.（2025·湖南邵阳·模拟预测）（多选）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2025个元素，则一定存在 B．若数集中没有最大值，则不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D. 【详解】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值， 数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， ，都有，， ，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集A，B有上确界，设，， 由上确界的定义可知，对于，，都有，，， 即，故正确； 对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，， 此时， 则，故D错误. 故选：AC 6.（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 【答案】(1) (2)4 (3) 对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． 【分析】（1）根据定义直接写出结果即可； （2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数； （3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； （2）设，则，因为， 故符合条件的的个数为. （3）略 【题型四】充分必要条件 1．（2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由 或 或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 4．（2026·山东济南·模拟预测）记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】（充分性）若取，首项，则数列为······ 此时前项和满足：为奇数时，；为偶数时，； 显然可取，则对所有，都有，所以充分性不成立； （必要性）当时，前项和为， 由于恒成立，则恒成立，取， 则对所有，都有，必要性得证. 所以“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的必要不充分条件. 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系 【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二次不等式分别求出和的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可. 【详解】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 7.（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 8．（2025·安徽·一模）（多选）若，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误 由得，能推出，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 若不成立，故充分性不成立， 若不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； ，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BD. 9．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由及，得，A正确； 对于B，由，得，的必要条件是，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：AB. 10.（2025·河南信阳·模拟预测）已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围； （2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可. 【详解】（1）集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为； （2）由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件． 【题型五】全称与存在量词 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知命题：，，：，，则下列命题为真的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断命题与命题的真假即可得. 【详解】对，有，故该方程无解，故命题为假命题； 由，则，当且仅当时，等号成立，故命题为真命题； 故、、都为假命题，为真命题. 2．（2026·陕西安康·模拟预测）已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，：， B．假，：， C．真，：， D．假，：， 【答案】C 【分析】先通过特殊整数验证命题的真假，再依据特称命题的否定规则得出的形式. 【详解】取，此时，，满足，因此命题p为真命题， 根据特称命题的否定规则，特称命题的否定为全称命题， 因此命题的否定为. 3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【分析】根据命题的真假判断即可. 【详解】，故命题为真． 又，． 4．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 5．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为________________． 【答案】 【分析】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案. 【详解】命题p：，的否定为：， 故答案为： 6．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“”是假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由对任意恒成立，变换，根据三角函数的值域即可得到答案. 【详解】由于“”是假命题，则有对任意恒成立， 由于时，，因此， 又因为当时，，且在内可无限趋近，为满足恒成立， 故的取值范围是. 7．（2025·山西晋城·模拟预测）已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据题意得出；再根据均值不等式求出即可得出结果. 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 8.（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 5．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 9．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论. 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 10．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 二、填空题 11．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 三、解答题 12．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 学科网（北京）股份有限公司 $