精品解析：广东茂名市2025-2026学年高二下学期7月期末质量抽测数学试题

2025—2026学年高二年级期末质量抽测 数学 2026.7.15 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数，则. 3. 等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 12 B. 15 C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，所以， 由得， 解得，所以. 4. 为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 有的人超声波结果正常 B. 有以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关” C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关” D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关” 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 则在犯错误的概率不超过的前提下， 认为“超声波检查结果与患该病有关”，故C正确. 5. 2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 11种 B. 12种 C. 13种 D. 14种 【答案】D 【解析】 【分析】先将4项不同的工作分成2组，再分配给两名志愿者，由分步乘法计数原理即可得结果. 【详解】将4项不同的工作分成两组，共有两类分组情况： 分为1项、3项的两组，则共有种； 分为2项、2项的两组，则共有种； 所以总的分组方法有种， 再将分好的两组分配给2名不同的志愿者，分配方法有种， 所以由分步乘法计数原理，总的安排方式有种. 6. 已知两个随机事件、，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过对立事件的概率性质求出，再通过互斥事件的概率加法公式求出，最后代入条件概率公式即可求得. 【详解】因为，所以， 又因为与为互斥事件，且， 由互斥事件概率加法公式得，即， 所以，所以. 7. 数列的前项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意得：， 所以. 8. 已知，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】运用求导法，结合导数的运算法则、赋值法进行求解即可. 【详解】对左右两边同时求导，得 对上面等式左右同时求导，得 把代入上面等式左右两边，得 ，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（ ） A. 变量，正相关 B. C. 可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D. 当时，实际用户数量高于预测值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由表格数据变化情况可判断；对于B，由回归方程过点可判断选项正误；对于C，由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于Ｄ，比较预测值与实际数量大小可判断选项正误． 【详解】对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确； 对于B，由表格数据可得，，因过点， 则，故B错误； 对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确； 对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误． 10. 已知随机变量，定义函数为取值不超过的概率，即，则（ ） A. B. C. D. 时， 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，B，由题意得，则，，故A正确，B错误， 对于C，由正态分布性质得， 则 ，故C正确， 对于D，由正态分布性质得， 而， 可得，故D正确. 11. 已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A： 当，则，所以在上单调递减，不存在最小值；对于B. 若，则，所以在上单调递增，不存在最小值；对于C. 结合AB及函数的最小值可知是极小值点，从而可判断其正误；对于D. 举反例，取，则，矛盾. 【详解】A.当，则，所以在上单调递减，不存在最小值，矛盾，A错误； B. 若，则，所以在上单调递增，不存在最小值，矛盾，所以，B正确； C. 由AB可得，故， 而， 因为为上的增函数，为上的增函数， 故为上的增函数， 当时，，当时，， 故在存在唯一的零点， 且时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数，故， 若，则，与题设矛盾； 若，则，与题设矛盾； 故，故，故正确； D. ，取，则，矛盾，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列的前项和为，，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为为等差数列，所以，所以 因此. 13. 若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用对数曲线切线截距求出斜率，再结合指数曲线切线斜率与截距条件解出. 【详解】对于曲线, 设切点为 ，， 切线斜率 ，所以切线方程是 整理得， 已知切线为 ，所以 所以， 对于曲线,设切点为 ， 切线斜率 ，故 切线方程是 代入 ，得，所以 对比切线 ，得 所以 14. 如图是一块高尔顿板示意图．在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则_____________，_____________． 【答案】 ①. ##0.03125 ②. ##13.5 【解析】 【分析】设小球向右下落的次数为，则服从二项分布，且，利用二项分布的概率公式及期望、方差性质求解. 【详解】由图可知，小球下落过程中共碰撞次小木钉，每次碰撞向左或向右的概率均为，设小球向右下落的次数为，则服从二项分布. 因为格子从左到右编号为，所以，则. 所以. 由，得，. 由得，. 因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，作差可得，从而得到数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式即可. （2）将代入可得其通项公式，从而转化出，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为， 当时，. 所以，即. 又，满足. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 【小问2详解】 所以. 所以. 16. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取3个不同的数字． （1）设为抽取的3个数字中偶数的个数，求的分布列和数学期望； （2）求抽取的这3个数字能构成等差数列的概率． 【答案】（1） 0 1 2 3 数学期望 （2）所求概率为 【解析】 【分析】（1）由题意可知可能取0，1，2，3，然后根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （2）利用列举法结合等差数列的性质，根据古典概型运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望； 【小问2详解】 若等差数列的公差为1，有以下情形：，共个， 若等差数列的公差为2，有以下情形：，共个， 若等差数列的公差为3，有以下情形：共个， 若等差数列的公差为4，有以下情形：，共个， 所以抽取的这3个数字能构成等差数列的概率为. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）要证，代入得，即. 利用指数性质，令（），不等式转化为，分情况讨论： 若：，故，不等式成立； 若：不等式等价于，设，求导得. 令得，时，单调递减；时，单调递增. 因此，即. 已知，故，即 成立，不等式成立. 综上，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求导后分母恒正，讨论分子二次函数符号，当 时导函数恒正，单调递增；当 时仅有一个正零点，先减后增. （2）代入移项得，令 转化为，分 正负讨论，利用 结合得证. 【小问1详解】 定义域为，对求导得， 分母恒正，单调性由分子的符号决定，分情况讨论： 当时：时恒成立，故，在上单调递增； 当时：二次函数开口向上，判别式. 由于的两根之和为，两根之积为，则仅有一个正根， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略. 18. 波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会统计领域.某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池.设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为. （1）求的数学期望与方差； （2）求（其中，，…；或）； （3）若，求数列的通项公式. 【答案】（1），； （2）若，；若，； （3） 【解析】 【分析】（1）第一次点击后科技类数量只可能为3或4，分别对应点击生活类或科技类，由古典概型求概率，再算期望与方差； （2）第次更新后总数为 ，科技类数量为 ，下一次若点击科技类则科技类数量加1，若点击生活类则不变，条件概率分别为两类数量占总数的比例； （3）意味着前次全点生活类，由全概率公式得递推，累乘化简得通项. 【小问1详解】 初始推荐池共条视频，第一次点击后， 若点击生活类，科技类数量不变，则，概率​； 若点击科技类，新增1条科技类，则，概率. 期望 方差. 【小问2详解】 第次更新后，推荐池总视频数为初始条加次新增共条，说明科技类条，生活类条. 若，即第次点击科技类，新增1条科技类，故；​ 若，即第次点击生活类，科技类数量不变，故​. 【小问3详解】 意味着前次点击全为生活类（只要点击1次科技类，），因此只有时才可能， 由全概率公式得递推， 代入（2）的结论得，初始值， 累乘得， 因此数列的通项公式为. 19. 已知函数. （1）若，，求在上的极值点； （2）若，，证明： （ⅰ），； （ⅱ），当时，. 【答案】（1）的极大值点为，无极小值点． （2）（i）当时，， 当时，， 下证：当时，， 令， ，且时单调递减， ∴存在唯一，使得， 单调递增， 单调递减， ， ，即，即， ， ，证毕． （ii）， 的周期为． ， 的对称轴为， 要证时，命题成立，只需证时，命题成立， 当时，且时，， ， 由（i）知， ， ， ， ， 在单调递增， ，即，证毕． 【解析】 【分析】（1）代入后去绝对值，再求导即可得到极值点； （2）（i）首先证明当时，，再结合即可证明结论； （ii）首先分析的周期和对称轴，则转化为证时，命题成立，再结合（i）知，最后利用正弦函数单调性即可证明原不等式. 【小问1详解】 若， 则， ∵当时，， ， ， 令，解得：（舍）， ∴当时，单调递增； 当时，单调递减， 的极大值点为，无极小值点． 【小问2详解】 （i）略；（ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二年级期末质量抽测 数学 2026.7.15 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 12 B. 15 C. 24 D. 48 4. 为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 有的人超声波结果正常 B. 有以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关” C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关” D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关” 5. 2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 11种 B. 12种 C. 13种 D. 14种 6. 已知两个随机事件、，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 数列的前项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（ ） A. 变量，正相关 B. C. 可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D. 当时，实际用户数量高于预测值 10. 已知随机变量，定义函数为取值不超过的概率，即，则（ ） A. B. C. D. 时， 11. 已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列的前项和为，，则_____________． 13. 若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____________． 14. 如图是一块高尔顿板示意图．在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则_____________，_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取3个不同的数字． （1）设为抽取的3个数字中偶数的个数，求的分布列和数学期望； （2）求抽取的这3个数字能构成等差数列的概率． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 18. 波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会统计领域.某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池.设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为. （1）求的数学期望与方差； （2）求（其中，，…；或）； （3）若，求数列的通项公式. 19. 已知函数. （1）若，，求在上的极值点； （2）若，，证明： （ⅰ），； （ⅱ），当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $