期末综合冲刺卷·数学(一)-【步步维赢】2025-2026学年高二下学期数学期末综合冲刺卷（人教B版）

高二下学期期末综合冲刺卷·数学（一） (满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.若S,为数列a,的前n项和，且S=n则 如 A.6 B. D.30 2.已知等差数列{an}的前n项为Sn,bn=2且b1十b3=17,b2十b=68,则S1o= A.90 B.100 C.110 D.120 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=-1,S4=一5，则S。= ( ) A.-9 B.-21 C.-25 D.-63 4.函数y=血的最大值为 邻 A.e B.e C.e2 D.10 5.某箱子的体积与底面边长z的关系为V()=x(0。)(0<<60),则当箱子的体积最 大时，箱子底面边长为 戡 A.30 B.40 C.50 D.60 的 6.设函数f(x)=x3十(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切 线方程为 ( A.y--2x B.y=-x C.y-2x D.y=x 蕾 7.已知数列{an}满足a1=1,a+1=an2-2an十1(n∈N),则a2g= A.1 B.0 C.2019 D.-2019 1-1 8.函数f(x)=x4一2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,下列数列中一定是等比数列的有 ( A.{a} B.(a,an+ C.(g a D.SS2nSSsn-S2n 10.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是 ( A.y=cos x B.y=In x C.y=e D.y=x2 11.下列结论正确的是 A.若y=0,则y=0 B.若y=5.x,则y=5 C.若y=x1,则y=-x2 D若y,则y= 12.已知等比数列{an}的公比g= 号，等差数列a.}的首项么=12，若a>4且uw>6, 则以下结论正确的有 A.ag·a10<0 B.as>aio C.61o>0 D.6s>610 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{a,n}的前n项和.若对任意的n∈N,Sn∈{2,3}， 则侧k的最大值为 14.曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为 15.已知函数y=2+3,当x由2变到1.5时，函数的增量△y= 16,已知数列a,满足a,=1,=3+。4则数列a,}的通项a,= anam+1am·an+ 1-2 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1一q)S.十gan=1,且q(q-1)≠0. (1)求数列{amn}的通项公式； (2)若S3,S。,S。成等差数列，求证：a2,a8,a5成等差数列. 1-3 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 1-4 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax十x- e (1)求曲线y=f(x)在点(0，一1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0. 1-5 20.(本小题满分l2分)设数列{an}的前n项和为Sm.已知a1=a(a∈R且a≠3)，an+1=Sn +3”,n∈N". (1)设b,=S,一3”，求数列{bn}的通项公式； (2)若am+1≥an,n∈N,求a的取值范围. 1-6 21.(本小题满分12分)在等差数列{an}中，已知a1=1,a3=一5. (1)求数列{a,}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和S6=一25，求k的值. 1-7 2.(本小题满分12分)尼知函数f)=anx+号2. (1)求f(x)的单调区间； (2)函数g)=号-吉（x>0),求证：当a=1时f(x)的图象不在g(x)的图象的 上方. 1-8参考答豸 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（一） 1.D[当n≥2时，a=5。-51=升-”号- 1 :.1=5×(5十1)=30.故选D.] n(n十1)'…a5 b2+b42+2 2.A[设{am}公差为d,61+b3=2”+2四 2,+d+2,+d 112a=24==4,.d=2,b1十b3=2a 17 24%=241+241+24=17,2,=1,a1=0,.S10=10a1+ 10×9d=10X9×2=90.故选A.] 2 2 3.B[由等比数列性质得S2,S4一S2,S6-S4成等比数 列，即-1×(S6+5)=(-5+1)2,∴.S6=-21.故选 B. 4.A[令y=1-nx=0→x=e.当x>e时，y'<0:当 0<x<e时，y'>0,所以max=e1,因为在定义域内 只有一个极值，所以ymax=e1.故选A.] 5.B[V'()=-22+60x=-号x(x-40),因为0< .3 x60,所以当0<x<40时，V'(x)>0,此时V(x)单 调递增；当40<x<60时，V'(x)<0,此时V(x)单调 递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积 最大时，箱子底面边长为40.故选B.] 6.D[本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3十(a-1)x2十ax为奇函数，.a一1=0， 得a=1,.f(x)=x3+x,f(x)=3x2+1, .f(0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程 为y=x,故选D. 7.A[a1=1,.a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1, a4=(a3一1)2=0，…，可知数列{an》}是以2为周期的 数列，.u2019=a1=1.] 8.B[f(x)=x4-2.x3,.f(x)=4x3-6.x2, .f(1)=一1，f(1)=一2，因此，所求切线的方程为 y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B.] 9.AB[由数列{an为等比数列可知，0”=g(g≠0). an-1 对于A =g,故A正确：对于B,A出=n出 a-1 an-lan an-1 ≠0，故B正确：对于C,lgan-lga,-1=lg0” an-1 g,为等益数列，但是品不一定为常数，即 {lgau}不一定为等比数列，故C错误；对于D,若an= (一1)”为等比数列，公比为一1，则Sm有可能为0，不 一定成等比数列，故D错误.故选AB.] 10.AD[由题意y=f(x)具有T性质，则存在x1,x2, 使得f()f(x2)=一1.对于选项A,因为f(x)= 一inx,存在的-受g=-乏使得ffg)=-l: 对于选项B,因为f(x)=1>0,不存在x1,x2,使得 f(x1)f(x2)=-1;对于选项C,因为f(x)=ex>0,不 存在x1,x2,使得f(x1)f'(x2)=一1；对于选项D, 因为f(x)=2红，存在1=1g=-,使得f() f(x2）=4x1x2=一1.故选AD.] 11.ABC 与详解 2 2.AD[:等比教列@的公比q=-3, a和a0异号，∴a0a6=a(-号）<0，故A正确： 但不能确定ag和a1o的大小关系，故B不正确： 'a9和a10异号，且a9>bg且a10>b10,∴.bg和b10中至 少有一个数是负数， 又b1=12>0,.d0,∴.bg>b10,故D正确：∴.b10一定 是负数，即b100,故C不正确：故选A、D.门 13.4[依题意得，a1=S1∈{2,3}，Su∈{2,3}且Sm+1∈{2， 3},因此an+1=S+1-S,∈{-1,0,1}(n∈N*),即数列 {m}从第2项起的不同取值不超过3个，进而可知数列 {Qn}中的项的所有不同取值的个数k≤4，且事实上，取 数列{an}为2,1,0，-1,1,0、-1,1,0，-1，…，此时相应 的k=4,Sm∈{2,3.因此，k的最大值是4.] 14.2x一y一2=0[本题主要考查导数的几何性质. 由y=2nx得y'=2.因为k=y1x=1=2点(1,0)为切 点，所以切线方程为y=2(x一1)，即2x一y一2=0.] 1号[ay=1.5)-f2=(品+3）-（层+3）=号 16.3”-2(n∈N)[数列{am}满足a1=1,一 ,1=3+ an an+l 4 ,可得：+1=3am十4，即an+1十2=3(an十2)， an·an+1 所以数列{an十2)是以3为首项以3为公比的等比数列， 所以a,十2=3”，可得an=3”-2(n∈N.故答案为：3” -2(n∈N*.] 17.(1)[解]当n=1时，由(1-q)S1+91=1,得a1=1. 当n≥2时，由(1-q)S,+qan=1,得(1一q)Sn-1十 qn-1=1. 两式相减，得an=g0n-1.又因为q(q一1)≠0，所以 q≠0且q≠1， 所以{an》是以1为首项，q为公比的等比数列， 故数列{an}的通项公式a,=g-1. 1-a4 (2)[证明]由(1)可知S=1-9 又由题意得53+S6=2S,即“g+“2 1-g 2(1-a9q) 1-q 化简得a3十a6=2ag,两边同时除以q,得a2十a5=2a8. 故a2,a8,a5成等差数列. 18.[解](1)由题意知f(x)的定义域为(0，十∞). f)=+lnx-1=lnx- 因为y=血x在(0，十∞)内单调递增，y=1在 (0,十∞)内单调递减，所以∫(x)单调递增. 又f1)=-1<0.f2)=ln2-3-1B0. 故存在唯一的x0∈(1,2)，使得f(x0)=0. 又当x<xo时，f(x)<0,f(x)单调递减， 当x>xo时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 因此，f(x)存在唯一的极值点. (2)由(1)知f(x0)<f1)=-2,又f(e2)=e2-3>0,所 以f（x)=0在(x0,+∞)内存在唯一实根x=a. 由4>x0>1得<1<0. a 又f(a)=(日-1)lm2-2-1=am=o. aa 故是f(x)=0在(0，x0)上的唯一实根。 综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为 倒数. 19.[解]af0=an2+2a-1Dx+2,/0)=2. e 因此曲线y=f(x)在(0，一1)处的切线方程是 2x-y-1=0. (2)当a≥1时，f(.x)+e≥(x2+x-1+ex+1)ex 令g(x)=x2+x-1+e+1,则g'(x)=2.x+1+ e+1. 当x<-1时，g(x)<0,g(x)单调递减； 当x>-1时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0. 20.[解](1)依题意，Su+1一Sn=an+1=Sn十3”， 即S+1=2S+3”,由此得S+1-3+1=2(S,-3"), 又S1一31=a一3(a≠3)，故数列{Sm一3"}是首项为 一3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为 bn=Sn-3”=(a-3)2”-1,n∈N (2)由(1)知S=3”+(a-3)2”-1,n∈N, 于是，当n≥2时，am=Sm-S-1=3”+(a-3)2”-1 -3”-1-(a-3)2”2=2×3"1+(a-3)2”-8 刀一2 a+1-a,=4×31+(a-3)2-[12.(号）+a-3], 当n≥2时，aw+1≥an台12· 十a-3≥0台 a≥一9. 又a2=a1十3>a1. 综上，所求的a的取值范围是[一9,3)U(3,十∞). 21.[解](1)由题意，设等差数列{an}的公差为d,则 an=a1+(n-1)d, 因为a1=1,a3=一5，可得1十2d=一5， 解得d=-3, 所以数列{am}的通项公式为an=1十(n一1)× (-3)=4-3n. (2)由(1)可知a,=4-3,所以S,=1+(4-3)] 2 =-号+， 又由S=-25,可得-2+号A=-25,即362 k一50=0，解得k=5或k=-,又因为k∈N, 所以k=5. 22.[解](1)f(x)=4+x(x>0), 若a≥0，则f'(x)>0,f(.x)在(0，十o∞)上单调递增； 若a<0,令f(x)=0,解得x=士一a, 由f=-a+@0,得>厂a, 由f'(x)<0,得0x<√一a. 从而f(x)的单调递增区间为（√一a,十∞），单调递 减区间为(0，一a). 综上，当a≥0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增， 当a<0时，f(x)在（一√a,十o∞）上单调递增， 在(0，√一a)上单调递减. (2)证明：令(x)=f(x)-g(x), 当a=1时，ox)=nx于2x2-3x3十6x>0), 则g()=是+x-2x2=1+2x (1-x)(2.x2+x+1) 令o'(x)=0,解得x=1. 当0x1时，0(x)>0,o(x)单调说增； 当x>1时，9'(x)<0,p(x)单调递减； ∴.当x=1时，(x)取得最大值9(1)= 2 23 6=0, 1 p(x)≤0，即f(x)≤g(x) 故a=1时f(x)的图象不在g(x)的图象的上方. 高二下学期期末综合冲刺卷·数学（二） 1.A,[数列{an}的前n项和Sn=n2十21，Sm-1=n2-1, 两式作差得到an=21十1. 1「117 an·am+1(2m+1D(21+3)2L2n+12+3' 梨项求和得到8（+…）品故选A] 2.C[{an}是等差数列，Sm-1=-2,Sm=0, .am=Sm-Sm-1=2. 又Sm+1=3,∴.am+1=Sm+1-Sm=3, ∴.d=am+1-am=1. n(a1+am)_m(a1+2）=0, 又Sm= 2 ∴.a1=-2,∴.am=-2+(m-1)·1=2,∴.m=5.故 选C.] 3.B[设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+ 6r十2=0的根，所以a3·a15=a=2,a3十a15=-6,所 以a3<0,a5<0,则ag=-√2，所以a2a16=a =a9= -√2.故选B. 4.D[由题图可知，当1<x<2时，f'(x)>0, 当2<x<4时，f'(x)<0, 当4<x<5时，f'(x)>0, '.x=2是函数f(x)的极大值，点，x=4是函数f(x) 的极小值，点，故A,B,C正确，D错误.故选D.] 5.A「对于A,函数一f(一x)与函数f(x)的图象关于 原，点对称，因此一x0是一f(一x)的极小值，点：对于B, 极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域 上f(x0)是否最大：对于C,函数f(一x)与函数f(x) 的图象关于y轴对称，因此一x0是f(一x)的极大值 点；对于D,函数f(x)与函数一f(x)的图象关于x轴 对称，因此x0是一f(x)的极小值点.故选A.] 6.A[.y=er(x2+a.x+1-2a), y=e(x2+ax+2x+1-a),…y'|x=0=1-a, .曲线y=e(x2+ax十1-2a)在点P(0,1-2a)处的 切线1为y一1十2a=(1-a)x,其过定点（一2，一1）， 易知定点在圆内，∴.切线l与圆C:(x一1)2+y2=16 的位置关系是相交.故选A.」 7.D[由题意知，a1+a2十a3+…十a100=-1+3-5+7 +…+(-1)100(2×100-1)=(-1+3)+(-5+7) +·+(-197十199)=2×50=100.故选D. 8.D[设直线l在曲线y=√x上的切点为(x0,√x0), 则x0>0, 函数y=√反的导数为y=L,则直线1的斜率= 2VT ,1设直线1的方程为y一√o2/ =(x-x0), 2√0 即x-2√x0y+x0=0, 由于直线1与国x2十y2=号相切，则0 √/1+4x0/5 两边平方并整理得5.x8-4.x0一1=0， 解得x0=1,x0=一5（含)， 则直线1的方程为x-2y十1=0，即y=2x十2 故选D. 9.ABD[由{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且 S5<S6,S6=S7>S8, 则a6=S6-S5>0,a7=S,-S6=0,a8=S8-S7<0,