专题02 基本不等式九大常考问题（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题02 基本不等式九大常考问题 题型一 基本不等式的概念与证明 题型二 利用基本不等式证明不等关系 题型三 配凑法求最值 题型四 二次与二次（一次）的商式求最值 题型五 “1的妙用”求最值 题型六 条件等式求最值 题型七 多次运用基本不等式求最值 题型八 基本不等式的恒成立问题 题型九 基本不等式的实际应用问题 题型一：基本不等式的概念与证明 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】BCD 题型二：利用基本不等式证明不等关系 1．【答案】p＞q 2．【答案】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 3．【答案】证明:因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++，当且仅当时等号成立. 4．【答案】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 5．【答案】证明：（1）要证明，只需证， 即证：，即证：， 因为，，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）因为，且， 可得，当且仅当时，等号成立， 同理可得，， 三个式子相加，可得，当且仅当时，等号成立. 6．【答案】（1）证明：要证， 即证， 即证， 即证， 又因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即得证； （2）由，则，故，同理， 又 ， 当且仅当时，等号成立，又，，即不可取等， 故， 则，即， 又，， 则，， 即有， 则， 又，则、， 故， 即，则， 即有，即得证. 7．【答案】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 8．【答案】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 题型三：配凑法求最值 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】 9．【答案】10 10．【答案】3 题型四：二次与二次（一次）的商式求最值 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 题型五：“1的妙用”求最值 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 题型六：条件等式求最值 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 题型七：多次运用基本不等式求最值 1．【答案】D 2.【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】4 题型八：基本不等式的恒成立问题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】 7．【答案】 8．．【答案】6 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 13．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴恒成立等价于恒成立． 又， ∴， 当且仅当，即，即，时等号成立． ∴， ∴． 故实数m的取值范围是． （2）∵，， ∴恒成立等价于恒成立． 又，当且仅当，即时取等号， ∴，即． ∴实数的最小值为－4． （3）∵，， ∴，当且仅当，即时等号成立． 又恒成立， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故正实数的最小值为4． 题型九：基本不等式的实际应用问题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】 10 8 4．【答案】 5．【答案】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 6．【答案】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 7．【答案】（1）设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元； （2）依题意，当时， 有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元 8．【答案】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 则，解得， 所以的值为22. （2）由题意可知底面长，墙面面积为， 所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以报价的最小值约为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 参变分离可得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 9．【答案】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式九大常考问题 题型一 基本不等式的概念与证明 题型二 利用基本不等式证明不等关系 题型三 配凑法求最值 题型四 二次与二次（一次）的商式求最值 题型五 “1的妙用”求最值 题型六 条件等式求最值 题型七 多次运用基本不等式求最值 题型八 基本不等式的恒成立问题 题型九 基本不等式的实际应用问题 题型一：基本不等式的概念与证明 1．给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（    ） A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 3．下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段上任取一点（不含端点A，B），使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 题型二：利用基本不等式证明不等关系 1．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________. 2．已知，都是正数，求证：. 3．已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 4．已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 5．（1）已知，，用分析法证明：； （2）已知正实数，且，用综合法证明： 6．设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 7．已知，，，且，证明： (1)； (2). 8．（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 题型三：配凑法求最值 1．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若，则的最小值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，则的最小值是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 4．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 5．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为_____． 9．若，则函数的最小值为_____. 10．已知实数，，则的最小值是______. 题型四：二次与二次（一次）的商式求最值 1．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 2．已知，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 3．函数在x＝t处取得最小值，则t等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．函数(）的最大值为______． 6．设，则的最小值为_____________． 7．已知且，则的最大值为____． 8．若对恒有，则的取值范围是_____ 题型五：“1的妙用”求最值 1．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 2．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 3．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 4．已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 5．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为________． 7．若正实数、满足，则的最小值为________. 8．设为正数，且，则的最小值为___________ 9．已知，且，则的最小值为__________. 10．已知，且，则的最小值为___________． 题型六：条件等式求最值 1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 2．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 5．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 6．若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 8．已知实数满足，则的最小值为______． 9．已知正实数满足，则的最小值为__________. 10．已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 题型七：多次运用基本不等式求最值 1．已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2.已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 4．已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 5．已知正实数满足.若，则的最小值为________. 6．已知，，则的最小值为_________. 7．若，且，则的最小值为___________. 8．已知，且，则的最小值为______． 9．若，，，则的最小值为________. 10．已知且，求的最小值为__________. 11．已知正实数满足，则的最小值为__________. 12．设表示实数中最小的数，若，且，则中的最大值为______． 题型八：基本不等式的恒成立问题 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 3．当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 4．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 7．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 8．设，若，则实数的最大值为______． 9．设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 10．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 11．已知且，若恒成立，则的最大值为______． 12．已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 13．已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 题型九：基本不等式的实际应用问题 1．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 3．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 4．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 5．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 6．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 7．某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 8．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 9．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式九大常考问题 题型一 基本不等式的概念与证明 题型二 利用基本不等式证明不等关系 题型三 配凑法求最值 题型四 二次与二次（一次）的商式求最值 题型五 “1的妙用”求最值 题型六 条件等式求最值 题型七 多次运用基本不等式求最值 题型八 基本不等式的恒成立问题 题型九 基本不等式的实际应用问题 题型一：基本不等式的概念与证明 1．给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用特殊值确定错误推导，结合基本不等式判断正确推导. 【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确. ②，当时，，所以②错误. ③，根据基本不等式的知识可知③正确. 所以正确的为①③. 故选：B 2．在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（    ） A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 【答案】D 【分析】根据均值不等式公式即可判断结果． 【详解】当，根据均值不等式得，当且仅当时，等号成立； 令，，则，如果，都不为零，则 ，当且仅当时，等号成立． 故选：D 3．下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据重要不等式和基本不等式可选出答案. 【详解】由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立 当时不成立， 故选：D 4．若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题可根据得出，然后根据得出，最后根据得出，即可得出结果. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 即，，当且仅当时取等号， 综上所述，，当且仅当时取等号， 故选：A. 5．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 6．（多选）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段上任取一点（不含端点A，B），使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得，，然后结合射影定理可得，，从而可判断． 【详解】因为，，所以， 由题意得，， 由射影定理可得，， 由，得，当且仅当时取等号，A 正确，BCD 不正确． 故选：BCD． 题型二：利用基本不等式证明不等关系 1．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________. 【答案】p＞q 【分析】根据a、b、c互不相等，利用基本不等式有a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac，再利用不等式的基本性质，两边相加求解. 【详解】∵a、b、c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 所以 故答案为： 2．已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【详解】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 3．已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【答案】证明:因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++，当且仅当时等号成立. 【分析】利用基本不等式证明. 【详解】略 4．已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【答案】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 【分析】先将证明的式子进行化简，运用已知条件，基本不等式“1”妙用即可计算证明. 【详解】略. 5．（1）已知，，用分析法证明：； （2）已知正实数，且，用综合法证明： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用分析法，结合基本不等式，即可得证； （2）根据题意，利用基本不等式证得，，，进而证得结论. 【详解】证明：（1）要证明，只需证， 即证：，即证：， 因为，，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）因为，且， 可得，当且仅当时，等号成立， 同理可得，， 三个式子相加，可得，当且仅当时，等号成立. 6．设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将原不等式化简后利用基本不等式即可得证； （2）先借助基本不等式证明，再利用立方差公式化简可得，再将代入后化简即可得证. 【详解】（1）证明：要证， 即证， 即证， 即证， 又因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即得证； （2）由，则，故，同理， 又 ， 当且仅当时，等号成立，又，，即不可取等， 故， 则，即， 又，， 则，， 即有， 则， 又，则、， 故， 即，则， 即有，即得证. 7．已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 8．（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 题型三：配凑法求最值 1．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 2．若，则的最小值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】凑出和为定值后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 3．已知，则的最小值是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】变形得，利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是12． 故选：A． 4．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】变形应用基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 5．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 6．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 7．若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，设，根据基本不等式即可求解． 【详解】， 因为，所以，设， 则，当且仅当时等号成立， 此时，解得， 故选：A． 8．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 9．若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 10．已知实数，，则的最小值是______. 【答案】3 【分析】构造成对勾函数的形式,结合基本不等式来解. 【详解】,令,则, 当且仅当即时等号成立.故的最小值为3. 故答案为：3 题型四：二次与二次（一次）的商式求最值 1．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 2．已知，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】D 【解析】先将解析式化为，根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即有最小值3. 故选：D. 3．函数在x＝t处取得最小值，则t等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将函数变形为，利用基本不等式，即可进行求解，并检验取等条件，即可得答案. 【详解】， 当且仅当，即x＝2时，等号成立， 所以t=2. 故选：B 4．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 5．函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 6．设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 7．已知且，则的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 8．若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 题型五：“1的妙用”求最值 1．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 【答案】B 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 2．若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 3．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 4．已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 5．已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件将，进而得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】由，，，所以 当且仅当时等号成立，即，再代入，得. 所以当时的最小值为. 故选：B 6．已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 7．若正实数、满足，则的最小值为________. 【答案】 【分析】利用条件将原式变形为，再利用乘“1”法求解最值. 【详解】因为， 所以，又， 所以， 由可得，故， 由于，当且仅当，即时取到等号， 故， 因此最小值为， 故答案为： 8．设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 9．已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件，因此的最小值为 . 10．已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件可得，根据“1”的妙用结合基本不等式求解作答. 【详解】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 题型六：条件等式求最值 1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 2．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 3．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 4．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 5．已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 6．若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 7．若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】变形给定等式可得，令并换元，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，， 则，即， 令，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 8．已知实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由条件可得，令，，则解得，代入化简整理，利用基本不等式求最值即可得出． 【详解】由，可得， 令，，则． 联立可得，，， 则， 当且仅当，即，或，时，即，或，时取等号． 故答案为：． 9．已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 10．已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由条件可得，据此利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， ，b为正实数，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 题型七：多次运用基本不等式求最值 1．已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值. 2.已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件，对进行变形，利用基本不等式求出取最大值时的关系，再根据的关系求出的最大值. 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 3．已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 4．已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 5．已知正实数满足.若，则的最小值为________. 【答案】 【分析】由得,化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以. 因为为正实数，所以， 所以. 所以 当且仅当即时等号成立. 6．已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】解法一：设，，则，，可得出，结合基本不等式求解即可； 解法二：由基本不等式可得，，再利用不等式的可加性可得出的最小值. 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 7．若，且，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】凑项利用基本不等式求解即可. 【详解】， 由，，得，当且仅当时，即时取等号； 所以， 由于，则， 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为. 故答案为： 8．已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】记原式为．首先齐次化，结合均值不等式有，从而可得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 9．若，，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据所给因式特征先提取公因式c，接着利用常数“1”进行等价代换并结合基本不等式得到仅关于c的因式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，， 所以 . 当且仅当且即且时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 10．已知且，求的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据题意和基本不等式求解可得， 则，再结合一般不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6. 11．已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】灵活运用“1”结合两次基本不等式计算即可. 【详解】由已知 . 当且仅当时取得等号. 故答案为：. 12．设表示实数中最小的数，若，且，则中的最大值为______． 【答案】4 【分析】首先设，，，，再构造和的形式，利用基本不等式求最值. 【详解】设，，，， ，且，，，，， ， ，当且仅当，时等号成立， 又，当且仅当，时等号成立， ，则，当且仅当，时等号成立， 故中的最大值为4. 故答案为：4 题型八：基本不等式的恒成立问题 1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】已知，则， 因为4， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4. 因为恒成立，所以，解得，即. 故选：B 2．若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 3．当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【答案】A 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 4．若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得， 所以， 即， 所以， 故选：A 5．已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 6．若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 7．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 8．设，若，则实数的最大值为______． 【答案】6 【分析】对已知不等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，由， 可得， 令，则，所以， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为6， 所以要想当时，恒成立， 只需，即的最大值为6． 故答案为：6 9．设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 10．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由已知条件可得：，因不等式恒成立，则需恒成立，则需要，利用“1的妙用”，求出的最小值，即可得到的取值范围. 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 11．已知且，若恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【分析】利用结合基本不等式即可求解. 【详解】因为且，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 因为恒成立，所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 12．已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 13．已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 【答案】(1) (2)－4 (3)4 【分析】（1）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （2）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （3）根据，，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴恒成立等价于恒成立． 又， ∴， 当且仅当，即，即，时等号成立． ∴， ∴． 故实数m的取值范围是． （2）∵，， ∴恒成立等价于恒成立． 又，当且仅当，即时取等号， ∴，即． ∴实数的最小值为－4． （3）∵，， ∴，当且仅当，即时等号成立． 又恒成立， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故正实数的最小值为4． 题型九：基本不等式的实际应用问题 1．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 2．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 3．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 4．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 5．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 6．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【分析】（1）根据矩形面积公式即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 7．某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)元 (2)万件，元 【分析】（1）由题意列出一元二次不等式，结合一元二次不等式解法进行求解即可； （2）利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元； （2）依题意，当时， 有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元 8．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【答案】(1)22 (2)； (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 则，解得， 所以的值为22. （2）由题意可知底面长，墙面面积为， 所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以报价的最小值约为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 参变分离可得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 9．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $