精品解析：河北石家庄市辛集市2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高二数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 高二数学试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、单选题．（每小题5分，共40分） 1. 下面是列联表： 合计 10 50 20 40 合计 60 30 90 则表中，之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据列联表计算即可求解. 【详解】由题意得：，所以. 2. 若随机变量，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由随机变量，且，， 可得， 所以. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个变量的相关程度越强，相关系数越接近于1 B. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到,根据小概率值的独立性检验：,可判断与有关联 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：两个变量的相关程度越强，是相关系数的绝对值越接近于1，故A错误； 选项B：残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的波动越小， 回归方程的预报精确度越高，而不是越低，故B错误； 选项C：残差平方和是衡量模型拟合误差的核心指标，残差平方和越小， 代表模型对实际数据的偏差总和越小，模型的拟合效果越好，故C正确； 选项D：独立性检验中，只有计算得到的统计量大于对应显著性水平的临界值，才能判断两个变量有关联. 本题中，没有足够的统计依据判断X与Y存在关联，故D错误. 5. 设，随机变量的分布列如下： 当在内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】先计算数学期望，再列出方差关于参数的函数解析式，最后利用二次函数的单调性分析其在给定区间内的变化情况． 【详解】由题意得，， 因为的取值为9，1，1，9，对应的概率不变， 所以， 根据方差公式， 则， 因为是开口向下的二次函数，二次项系数，对称轴为， 所以当时，单调递增；当时，单调递减． 因此当在内增大时，先增大后减小． 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. 672 C. 504 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数为得到对应项的值，代入计算系数即可得到常数项. 【详解】的展开式通项为：， 令，解得， 将代入得， 因此展开式的常数项为. 7. 从1，2，3，4，5，6，7七个数字中，选出两个奇数和一个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ） A. 18个 B. 36个 C. 72个 D. 108个 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意得：第一步：先选两个奇数有种选法， 第二步：再选一个偶数有种选法， 第三步：最后将三个数组成没有重复的三位数有种排法， 根据分步乘法计数原理共有：种排法. 8. 若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求解. 【详解】因为 ，所以， 当取得最大值时，可得， 所以，解得， 因为，所以 二、多选题．（每小题6分，共18分．有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点分布的概率性质、两点分布期望方差公式，结合期望和方差的线性运算性质，逐一计算验证各选项得出结论. 【详解】对于A：两点分布所有概率和为，因此​，A正确； 对于B：因为​，所以，B错误； 对于C：​，C正确； 对于D：，D正确. 10. 现有8个不同的玩具，下列说法正确的有（ ） A. 分成一堆两个，一堆两个，一堆四个，共有210种方法 B. 甲得两个，乙得两个，丙得四个，共有420种方法 C. 一人得两个，一人得两个，一人得四个，共有630种方法 D. 甲得三个，乙得三个，丙得两个，共有560种方法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用部分平均分组原理可判断A选项；利用分步乘法计数原理可判断BD选项；利用先分组再分配原理可判断C选项. 【详解】A选项，8个中选2个作为一堆，剩下6个中选2个作为一堆，剩下4个作为一堆， ，共有210种方法，故A正确； B选项，8个中选2个给甲，剩下6个中选2个给乙，剩下4个给丙， ，共有420种方法，故B正确； C选项，先分好组，如A选项，再分配给三个人， ，共有种方法，故C错误； D选项，8个中选3个给甲，剩下5个中选3个给乙，剩下2个给丙， ，共有560种方法，故D正确． 11. 关于函数，下列判断正确的有（ ） A. 在某点处的切线倾斜角为 B. 存在正实数，使得能成立 C. 函数有且只有1个零点 D. 对于两个不相等的正实数，，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，先假设存在，再根据导数的几何意义求出切线斜率，最后根据一元二次方程根的判别式即可求解；对于选项B，将变形为，接着构造函数，利用导数求函数最值，即可判断B选项；对于选项C，对求导，根据导数判断函数单调性，再结合零点存在定理判断零点个数；对于选项D，先分析函数的单调性，根据得到的关系，再通过构造函数证明，进而判断与的大小关系． 【详解】对于A，已知，其定义域为， 则． 若在点处的切线倾斜角为， 则切线斜率为， 即， 则，其中， 所以此方程无实数解，即不存在切线倾斜角为的点，A选项错误； 对于B，若，即， 因为，所以． 令，则， 令，即，解得． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． 所以在处取得极大值，也是最大值， 因为， 所以存在正实数，使得，即能成立，B选项正确； 对于C，已知， 则， 所以函数在上单调递减， 因为，， 所以函数有且只有1个零点，C选项正确； 对于D，， 令，即，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 不妨设， 要证， 只需证， 只需证， 即证， 因为，，且在上单调递增， 所以只需证， 又因为， 所以只需证，即证 令， 则， 所以在上单调递减， 则， 所以，D选项正确． 三、填空题．（每小题5分，共15分） 12. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则_______． 9 9.5 10 10.5 11 11 10 6 5 【答案】8 【解析】 【分析】根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值. 【详解】根据表中数据可知， ， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得. 13. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 注：类似的问题，我们认为函数的单调递增区间为． 【答案】 【解析】 【详解】函数定义域，对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 14. 有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的5个红球和4个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】游戏结束时取球次数恰好为6次有两种情况，分类讨论求解． 【详解】从9个球中取6个球有种不同的取法， 游戏结束时取球次数恰好为6次有两种情况： ①最后盒子里剩余的全是白球，则第六次摸出的必是红球，且前五次有一次摸出的是白球，四次摸出的是红球有种不同的取法； ②最后盒子里剩余的全是红球，则第六次摸出的必是白球，且前五次中有两次摸出的是红球，三次摸出的是白球有种不同的取法； 所以游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为. 四、解答题．（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤．） 15. 已知．求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由赋值法求解； （2）先两边求导，再由赋值法求解． 【小问1详解】 令可得． 【小问2详解】 令，对求导： ， 令得：． 16. 为了研究学生课后复习习惯与英语成绩的关系，某校英语学习兴趣小组在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了50名学生，调查他们的英语成绩和课后是否坚持背单词的情况，统计数据如下： 英语成绩优秀人数 英语成绩非优秀人数 合计 坚持每天背单词人数 15 5 不坚持每天背单词人数 18 合计 50 （1）完成上述列联表，并估计本校高二年级学生中不坚持每天背单词且英语成绩优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析英语成绩优秀与坚持每天背单词是否有关联？ （3）从样本中坚持每天背单词的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到英语成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中； 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 英语成绩优秀 英语成绩非优秀 合计 坚持每天背单词 15 5 20 不坚持每天背单词 12 18 30 合计 27 23 50 ； （2）有关联； （3） 0 1 2 3 【解析】 【小问1详解】 完整列联表为： 英语成绩优秀 英语成绩非优秀 合计 坚持每天背单词 15 5 20 不坚持每天背单词 12 18 30 合计 27 23 50 由表可知，不坚持每天背单词且英语成绩优秀的人数是12，总人数是50， 所以估计本校高二年级学生中不坚持每天背单词且英语成绩优秀的概率为； 【小问2详解】 零假设：英语成绩优秀与坚持每天背单词无关联 其中，，，，， 由于，根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以英语成绩优秀与坚持每天背单词有关联． 【小问3详解】 坚持每天背单词的学生共20人，其中英语成绩优秀15人，非优秀5人，从中随机抽取3人，的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ， 故. 【点睛】 17. 已知函数在处有极小值． （1）求实数的值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）由（1）得， 令，则 令，解得或； 令，解得或， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 的极大值为和， ，， 因为，所以，故， 结合函数的单调性可得对所有成立， 即成立 【解析】 【分析】（1）求出的导数，由可得的值; （2）求出的解析式,令，求得导数,进而得到的单调性,求得,的极大值，即可得证. 【小问1详解】 展开得， 求导得， 又在处有极小值，故，解得或 当时，，故为极小值点，符合题意； 当时，，故为极大值点，不符合题意；综上，实数的值为1． 【小问2详解】 略 18. 某网红奶茶店统计了2025年10月9日至13日这5天到店消费的人数（单位：人）与时间第天的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 50 65 80 95 100 （1）由表中给出的数据判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计10月14日到该奶茶店消费的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）． （2）运用分层抽样的方法从第1天（50人）和第5天（100人）到该奶茶店消费的人中按比例随机抽取6人，再从这6人中任取2人赠送礼品，求这2人恰好来自不同天的概率． （3）该奶茶店推出两种会员优惠方案：方案一，单次消费每满50元减5元；方案二，单次消费满200元可抽奖两次，每次中奖概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，未中奖不打折。某顾客计划消费200元，请从实际付款金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 附：相关系数，，． 【答案】（1）可用，，预计117人； （2）； （3）选方案一更优惠 【解析】 【分析】（1）通过相关系数的公式计算相关系数即可知道是否可以用线性回归模型拟合. （2）通过分层抽样分别求出两天各抽取的人数，通过古典概型求出概率. （3）通过比较两种方案的均值就可知道哪种方案更好. 【小问1详解】 ，， ，，， ， 可用线性回归模型拟合． ，， 令：， 所以10月14日到该奶茶店消费的人数约为117人. 【小问2详解】 第1天50人，第5天100人，比例，共抽6人，第1天抽2人，第5天抽4人，从6人中任取2人，总方案数种， 2人来自不同天的方案数：， 故这2人恰好来自不同天的概率为. 【小问3详解】 方案一：满50减5，消费200元，共减元，实付180元 方案二：设实付金额为元， ，，， 元， 因为，方案一期望付款更少， 故选方案一更优惠． 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，，，（）是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为和； （3）是，0 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求导并代入计算可得结果； （2）利用和差化积公式将导函数化简分解并求出导函数的零点，即可求得在上的单调区间； （3）根据极值点与导函数零点之间的关系，将问题转化为求函数零点个数问题，再利用换元法可知方程有三个零点，再利用韦达定理的推广的三次方程根与系数关系得，得到其为定值. 【小问1详解】 ， ， ， 所以曲线在该点处的切线方程为. 【小问2详解】 由于， 所以 当，令，得，或 由，得或； 由，得， 令，解得或； 令，解得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和 【小问3详解】 （）为定值0. 证明：由于， 所以 由于，所以 因为在上有三个不同的极值点，，， 所以在上有三个不同的根， 令，方程转化为， 其三根分别为，，， 因为，，互不相等且，，，，，， 所以，，互不相等，且均不为0， 由排列组合的知识可知的展开式为： ， 则三次方程的韦达定理公式为： ，，， 据此可得：， ，， 所以 故为定值0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 高二数学试卷 注意事项： 1．考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、单选题．（每小题5分，共40分） 1. 下面是列联表： 合计 10 50 20 40 合计 60 30 90 则表中，之间的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个变量的相关程度越强，相关系数越接近于1 B. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到,根据小概率值的独立性检验：,可判断与有关联 5. 设，随机变量的分布列如下： 当在内增大时，（ ） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. B. 672 C. 504 D. 7. 从1，2，3，4，5，6，7七个数字中，选出两个奇数和一个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ） A. 18个 B. 36个 C. 72个 D. 108个 8. 若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题．（每小题6分，共18分．有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（ ） A. B. C. D. 10. 现有8个不同的玩具，下列说法正确的有（ ） A. 分成一堆两个，一堆两个，一堆四个，共有210种方法 B. 甲得两个，乙得两个，丙得四个，共有420种方法 C. 一人得两个，一人得两个，一人得四个，共有630种方法 D. 甲得三个，乙得三个，丙得两个，共有560种方法 11. 关于函数，下列判断正确的有（ ） A. 在某点处的切线倾斜角为 B. 存在正实数，使得能成立 C. 函数有且只有1个零点 D. 对于两个不相等的正实数，，若，则 三、填空题．（每小题5分，共15分） 12. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则_______． 9 9.5 10 10.5 11 11 10 6 5 13. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 注：类似的问题，我们认为函数的单调递增区间为． 14. 有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的5个红球和4个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为6次的概率为________． 四、解答题．（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤．） 15. 已知．求： （1）的值； （2）的值． 16. 为了研究学生课后复习习惯与英语成绩的关系，某校英语学习兴趣小组在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了50名学生，调查他们的英语成绩和课后是否坚持背单词的情况，统计数据如下： 英语成绩优秀人数 英语成绩非优秀人数 合计 坚持每天背单词人数 15 5 不坚持每天背单词人数 18 合计 50 （1）完成上述列联表，并估计本校高二年级学生中不坚持每天背单词且英语成绩优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析英语成绩优秀与坚持每天背单词是否有关联？ （3）从样本中坚持每天背单词的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到英语成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中； 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知函数在处有极小值． （1）求实数的值； （2）证明：． 18. 某网红奶茶店统计了2025年10月9日至13日这5天到店消费的人数（单位：人）与时间第天的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 50 65 80 95 100 （1）由表中给出的数据判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计10月14日到该奶茶店消费的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）． （2）运用分层抽样的方法从第1天（50人）和第5天（100人）到该奶茶店消费的人中按比例随机抽取6人，再从这6人中任取2人赠送礼品，求这2人恰好来自不同天的概率． （3）该奶茶店推出两种会员优惠方案：方案一，单次消费每满50元减5元；方案二，单次消费满200元可抽奖两次，每次中奖概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，未中奖不打折。某顾客计划消费200元，请从实际付款金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 附：相关系数，，． 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，，，（）是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $