2.2 平方根与立方根（第1课时 算术平方根）课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦算术平方根的概念、性质及应用，通过“正方形面积求边长”活动导入，从已知平方数过渡到非平方数问题，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接乘方知识引出新表示方法。 其亮点在于以数学眼光抽象现实问题，如用长方形围绳实例抽象算术平方根概念，培养抽象能力，通过√a²与绝对值性质的推理对比发展运算能力与推理意识，结合自由下落时间计算等模型问题培养应用意识。采用问题链驱动教学，小结结构化梳理知识，助力学生理解概念提升解题能力，也为教师提供清晰教学流程提高效率。

第二章 实数 2.2 平方根与立方根 2.2.1 算术平方根（第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 了解算术平方根的概念及其性质. 会根据算术平方根及其性质解决实际问题。 了解并掌握算术平方根的双重非负性，并利用这一性质进行运算，培养应用能力和运算能力. 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 边长/dm 1 3 4 6 活动1：计算下表中各正方形的边长： 问题1：各正方形的边长与面积之间有什么关系？ 问题2：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？ 正方形的边长的平方等于面积值。 面积越大，边长越大。 x2 = ， y2 = ， z2 = ， w2 = ． 活动2：(1) 结合图形完成填空： x2 = 12 + 12 2 3 4 5 y2 = x2 + 12 z2 = y2 + 12 w2 = z2 + 12 探究点一： 算术平方根的概念和性质 (2) x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数 ? z 是有理数， x、y、w 是无理数. O A B C D E x y z w 1 1 1 1 这些无理数又该如何表示呢？ 新知探究 1.一个正数的算术平方根有几个？ 0的算术平方根有一个，是0. 2.0的算术平方有几个？ 负数没有算术平方根. 3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根? 一个正数的算术平方根有 1 个. 正数的平方不可能是负数. 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根 算术平方根 特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即 。 记作： 根号 被开方数 a≥0 读作：根号 a 探究点一： 算术平方根的概念和性质 1. 一个正数的算术平方根有几个？ 0 的算术平方根有一个，是 0. 2. 0 的算术平方有几个？ 负数没有算术平方根. 3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根? 一个正数的算术平方根有 1 个. 正数的平方不可能是负数. 【思考·交流】 探究点一： 算术平方根的概念和性质 新知探究 你能根据等式122=144，说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来. 144的算术平方根是12，即 常见的平方数： 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 224 192 = 361 202 = 400 解：(1) 因为 302 ＝ 900， 所以 900 的算术平方根是 30，即 ； (2) 因为 12 ＝ 1， 所以 1 的算术平方根是 1，即 ； (3) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ； (4) 14 的算术平方根是 。 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14． 探究点一： 算术平方根的概念和性质 观察例1中得到的几个式子： (1) 一些数的算术平方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点? (2) 在上面的式子中， ，也就是 一般地，当 a≥0 时， 成立吗? = a 这些数都可以化成 a2 的形式。 成立。 探究点一： 算术平方根的概念和性质 ( )2 = a (3) 成立吗? 这里的 a 是什么数 ? 你是怎么理解的 ? 与同伴进行交流. 成立，这里的 a 是非负数。 探究点一： 算术平方根的概念和性质 想一想：a＜0 时， 还成立吗? = a 不成立。如 a＜0 时， 新知探究 归纳总结 当 a≥0 时， = a， 2= a ； 思考：如何化简 呢？ = (a≥0)； (a＜0). = | a | a -a 当 a＜0 时， = -a. 平方根的简单应用 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值． 解 析 例2.自由下落物体下落的距离 s（m）与下落时间 t（s）的关系为 s = 4.9 t2. 有一铁球从 19.6m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将s=19.6带入公式s=4.9t2， 得t2 =4，所以t = =2（s）. 即铁球到达地面需要2s. 活动3：用一根绳子围成一个长、宽之比为 3∶1，面积为 75 cm² 的长方形 (如图①). 你能求出求长方形的长和宽吗？ 图① 解：设长方形的长为 3x cm，宽为 x cm. 根据边长与面积的关系得 3x · x = 75， 即 x = 25. 由边长的实际意义，得 x = 5. 因此长方形的长为 15 cm，宽为 5 cm. 探究点二：算术平方根的简单应用 探究点二：算术平方根的简单应用 问题2：用另一根绳子围成一个正方形（如图②），且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积，你能求出正方形的边长吗？ 图② 解：由正方形的面积为 75 cm² 易知，正方形的边长为 cm. 算术平方根性质的运用 题型三 题型探究 小亮 方法技巧 几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 解: 因为|m-1|≥0， ≥0，又|m-1|+ =0, 所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2. 例3.若|m-1|+ =0,求m+n的值. 1. 求下列各数的算术平方根： 随堂练习 【教材P32 随堂练习 第1题】 36， ，17 ，0.81，10－4. 9 16 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5， 求 AB 的长. C B A 3 5 解：根据勾股定理得 AB = . 3. 求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来： （1）(7.4)2；（2）(－3.9)2；（3）3.25；（4）2 . 1 4 4. 下列说法中不正确的有( ) ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根一定是正数； 的算术平方根是 ； 的算术平方根是 ； ⑤算术平方根不可能是负数. C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回 20 5. 教材P32随堂练习 （1） 的算术平方根是______； （2） 的算术平方根是__； （3） 的算术平方根是____. 0.9 6.当____时，代数式 有最小值____. 返回 21 课堂小结 算术平方根 定义 表示 特征 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作_____. 非负数 a 的算术平方根记作“____”.读作“_______”，其中 a 叫作___________ 正数 a 的算术平方根是_____；0 算术平方根是____； 负数没有算术平方根 x2 = a 根号 a 被开方数 0 感谢聆听! $