专题17 逆命题和逆定理（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“概念-判定-应用”为主线，系统构建逆命题与逆定理的方法体系，通过题型分层训练培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |写出命题的逆命题|1典例+3变式|逆命题改写“三步法”（标准化→交换题设结论→验证真假）|从命题结构分析到逆命题真假判断，夯实逻辑基础| |互逆命题|1典例+3变式|互逆关系判定“定义法”（条件结论互换+命题对识别）|承接逆命题概念，深化命题间逻辑联系| |互逆定理|1典例+3变式|逆定理验证“两步法”（证逆命题为真+确立互逆关系）|从命题过渡到定理，体现数学严谨性| |角平分线性质逆定理|1典例+3变式|逆定理应用“几何语言转化法”（距离相等→位置判定）|结合图形性质，培养几何直观与推理能力| |垂直平分线性质逆定理|1典例+3变式|逆定理应用“等量关系转化法”（距离相等→垂直平分）|延续角平分线逻辑，形成知识迁移能力|

专题17 逆命题和逆定理 （题型突破·举一反三） ▌题型01 写出命题的逆命题 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】B． 【变式1-3】B． ▌题型02 互逆命题 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】 【解答】解：（1）中的条件是“两条直线被第三条直线所截，这两条直线平行”，结论是“内错角相等”， （2）中的条件是“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，结论是“这两条直线平行”， 所以（1）与（2）是互逆命题；（3）中的条件是“两个数相等”，结论是“它们的绝对值相等”， （4）中的条件是“两个数的绝对值相等”，结论是“这两个数相等”， 所以（3）与（4）是互逆命题． 【变式1-3】 【解答】解：（1）直角都相等的逆命题是相等的角都是直角； （2）内错角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，内错角相等； （3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0的逆命题是如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0； （4）两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行； （5）相等的角都是直角的逆命题是直角都相等； （6）如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0的逆命题是如果a+b＜0，那么a＜0，b＜0． ▌题型03 互逆定理 【典例1】 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∵∠3＝∠4， ∴EF∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠1＝∠F； （2）在（1）的证明过程中应用了：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个互逆的真命题． 【变式1-1】 【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF． ∵∠B+∠D＝∠BED， ∴∠DEF＝∠D， ∴EF∥CD， ∴AB∥CD； （2）解：用到的互逆真命题有：内错角相等，两直线平行与两直线平行，内错角相等． 【变式1-2】 【解答】（1）证明：∵H在直线EF上， ∴∠1+∠5＝180°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠5， ∴DH∥EC； （2）解：延长DH交FC于点G， 由（1）可得DH∥EC， ∴∠C＝∠6， ∵∠3＝∠C， ∴∠3＝∠6， ∴DE∥BC， ∴∠EFC＝∠4＝32°； （3）解：应用了：两直线平行，内错角相等与内错角相等，两直线平行一对互为逆命题的真命题． 【变式1-3】 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠3， ∴PN∥QT（同位角相等，两直线平行）， ∴∠T＝∠PNM（两直线平行，同位角相等）， ∵∠P＝∠T， ∴∠P＝∠PNM， ∴PR∥MT（内错角相等，两直线平行）， ∴∠MTQ＝∠RQT（两直线平行，内错角相等）； （2）解：①同位角相等，两直线平行和两直线平行，同位角相等；②内错角相等，两直线平行和两直线平行，内错角相等． ▌题型04 角平分线的性质逆定理 【典例1】 【解答】（1）解：OA垂直平分MP， ∴ME＝PE（线段垂直平分线的性质）． 同理：FN＝PF． ∴EP+FP+EF＝ME+EF+FN＝MN＝15， 即△PEF的周长为15； （2）证明：∵PN＝PM，OA垂直平分MP，OB垂直平分PN， ∴，（线段垂直平分线的性质）， ∴PQ＝PR． ∴OP平分∠AOB． 【变式1-1】 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【变式1-2】 【解答】证明：作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G， ∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM＝FN， 同理，FG＝FN， ∴FM＝FG，又FM⊥AB，FG⊥AC， ∴点F在∠DAE的平分线上． 【变式1-3】 【解答】（1）证明：在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF（全等三角形对应角相等），即AP平分∠BAC； （2）解：过点P作PM⊥AC于M， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PM⊥AC， ∴PM＝PQ＝6（角平分线的性质）， ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴， 代入已知条件S△ABC＝60，PQ＝PM＝6，AC＝8，即， 解得AB＝12． ▌题型05 垂直平分线的性质逆定理 【典例1】 【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴AD平分∠BAC， ∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴∠AEF＝∠AED﹣∠DEF＝∠AFD﹣∠DFE＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵点A和点D都在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF． 【变式1-1】 【解答】解：（1）AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E， 则AD＝BD，AE＝CE， ∵△ADE的周长为8cm， ∴AD+DE+AE＝8cm， ∴BD+DE+EC＝BC＝8cm， 故答案为：8cm； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下： ∵AB边的垂直平分线l1与AC边的垂直平分线l2相交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上； （3）∵∠BAC＝120°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣120°＝60°， 由（1）可知：AD＝BD，AE＝CE， ∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAB+∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝120°﹣60°＝60°． 【变式1-2】 【解答】（1）解：∵∠BOC＝127°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝53°， 由条件可知∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝106°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝74°； （2）证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F， 由条件可知OD＝OE，OE＝OF， ∴OD＝OF， ∴OA平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴OA为BC边的高线，也是BC边的中线， 即AO所在的直线垂直平分BC． 【变式1-3】 【解答】（1）解：∵∠BAC＝130°， ∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线， ∴FA＝FB，NA＝NC， ∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°， ∴∠FAN＝130°﹣50°＝80°； （2）证明：如图，连接PA、PB、PC， ∵EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PB＝PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 逆命题和逆定理 （题型突破·举一反三） 题型01 写出命题的逆命题 题型02 互逆命题 题型03 互逆定理 题型04 角平分线的性质逆定理 题型05 垂直平分线的性质逆定理 ▌题型01 写出命题的逆命题 1. 原命题：如果P（题设），那么Q（结论）。 2. 逆命题：交换题设与结论，变成如果Q，那么P。 3. 解题步骤： ①把原命题改写成标准形式：如果……，那么……； ②将“如果”后的内容和“那么”后的内容互换。 【典例1】（2025秋•薛城区期末）下列命题中，逆命题是真命题的为（　　） A．全等三角形的对应边相等 B．若a＝b，则a2＝b2 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【分析】先写出每个选项中的命题的逆命题，再判断其真假． 【解答】解：A．逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形，真命题，故本选项符合题意； B．若a2＝b2，则a＝b，假命题，故本选项不符合题意； C．相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意； D．如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（2025秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【分析】根据逆命题的定义及真命题的判定作答即可． 【解答】解：A．逆命题：相等的角是对顶角，假命题，故本选项不符合题意； B．三边都相等的三角形都是等边三角形，真命题，故本选项符合题意； C．逆命题：若x2＝y2，则x＝y，假命题，故本选项不符合题意； D．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（2025秋•惠城区校级期末）下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②直角三角形的两个锐角互余；③如果a＝0，那么ab＝0；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【解答】解：①若|a|＞|b|，则a＞b，错误，为假命题； 其逆命题为若a＞b，则|a|＞|b|，错误，为假命题，不符合题意； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； 逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题，符合题意； ③如果a＝0，那么ab＝0，正确，为真命题； 其逆命题为若ab＝0，那么a＝0，错误，为假命题，不符合题意； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题， 它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题，符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（2026春•中原区校级期中）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（　　） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【分析】根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【解答】解：A．逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项不符合题意． 故选：B． ▌题型02 互逆命题 1. 定义：两个命题，若第一个命题的条件是第二个的结论，第一个的结论是第二个的条件，二者互为逆命题；其中一个叫原命题，另一个是它的逆命题。 2. 要点：所有命题都有逆命题但真命题的逆命题不一定为真可举反例推翻。 3. 改写格式：统一改成“如果…（条件），那么…（结论）”，再交换条件、结论得到逆命题。 【典例1】（2025秋•西湖区校级期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（　　） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据成轴对称图形、直角三角形的判定、对顶角相等、全等三角形的判定定理判断． 【解答】解：A、成轴对称的两个图形全等，逆命题为两个全等的图形成轴对称，逆命题是假命题，不符合题意； B、直角三角形两锐角互余，逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，原命题和逆命题是真命题，符合题意； C、对顶角相等，逆命题为相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； D、全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形全等，逆命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2025秋•江阳区校级期中）下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是（　　） A．若两条直线垂直，则两条直线有交点 B．若a+b＝0，则a与b相等 C．同位角相等，两直线平行 D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b 【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据垂直的定义、平行线的判定定理判断即可． 【解答】解：A、若两条直线垂直，则两条直线有交点，逆命题是若两条直线有交点，则两条直线垂直，不是互逆定理，不符合题意； B、若a+b＝0，则a与b相等，逆命题是若a与b相等，则a+b＝0，不是互逆定理，不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，是互逆定理，符合题意； D、若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b，逆命题是若a∥b，则直线a⊥c，b⊥c，不是互逆定理，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列四个命题中（1）与（2），（3）与（4）分别是互逆命题吗？ （1）两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等； （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； （3）如果两个数相等，那么它们的绝对值相等； （4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 【分析】分别找到各命题的条件和结论，进而得出答案． 【解答】解：（1）中的条件是“两条直线被第三条直线所截，这两条直线平行”，结论是“内错角相等”， （2）中的条件是“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，结论是“这两条直线平行”， 所以（1）与（2）是互逆命题；（3）中的条件是“两个数相等”，结论是“它们的绝对值相等”， （4）中的条件是“两个数的绝对值相等”，结论是“这两个数相等”， 所以（3）与（4）是互逆命题． 【变式1-3】指出下列命题中的互逆命题： （1）直角都相等； （2）内错角相等，两直线平行； （3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0； （4）两直线平行，内错角相等； （5）相等的角都是直角； （6）如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0． 【分析】分别找出各命题的题设和结论将其互换即可． 【解答】解：（1）直角都相等的逆命题是相等的角都是直角； （2）内错角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，内错角相等； （3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0的逆命题是如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0； （4）两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行； （5）相等的角都是直角的逆命题是直角都相等； （6）如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0的逆命题是如果a+b＜0，那么a＜0，b＜0． ▌题型03 互逆定理 定义：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则称它为原定理的逆定理二者互为逆定理。 要点：不是所有定理都有逆定理，只有逆命题为真时才存在逆定理。 【典例1】（2025春•宿城区校级期末）（1）已知：如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：∠1＝∠F． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【分析】（1）根据平行线的判定和性质证明； （2）根据“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”，同位角相等解答． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∵∠3＝∠4， ∴EF∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠1＝∠F； （2）在（1）的证明过程中应用了：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个互逆的真命题． 【变式1-1】如图，∠B+∠D＝∠BED． （1）求证：AB∥CD． （2）你在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可知∠B＝∠BEF，再由∠B+∠D＝∠BED可知∠DEF＝∠D，故EF∥CD，由此可得出结论； （2）根据（1）的证明过程即可得出结论． 【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF． ∵∠B+∠D＝∠BED， ∴∠DEF＝∠D， ∴EF∥CD， ∴AB∥CD； （2）解：用到的互逆真命题有：内错角相等，两直线平行与两直线平行，内错角相等． 【变式1-2】已知：如图，△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C． （1）求证：DH∥EC； （2）若∠4＝32°，求∠EFC的度数； （3）在解题过程中，你应用了哪一对互为逆命题的真命题？ 【分析】（1）根据平行线的判定证明即可； （2）延长DH交FC于点G，利用平行线的性质解答即可； （3）两直线平行，内错角相等与内错角相等，两直线平行． 【解答】（1）证明：∵H在直线EF上， ∴∠1+∠5＝180°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝∠5， ∴DH∥EC； （2）解：延长DH交FC于点G， 由（1）可得DH∥EC， ∴∠C＝∠6， ∵∠3＝∠C， ∴∠3＝∠6， ∴DE∥BC， ∴∠EFC＝∠4＝32°； （3）解：应用了：两直线平行，内错角相等与内错角相等，两直线平行一对互为逆命题的真命题． 【变式1-3】如图，点M、N、T和点P、Q、R分别在同一条直线上，且∠1＝∠3，∠P＝∠T． （1）求证：∠T＝∠RQT． （2）你在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来． 【分析】（1）根据平行线的判定得出PN∥QT，根据平行线的性质得出∠T＝∠PNM，求出∠P＝∠PNM，根据平行线的判定得出PR∥MT，根据平行线的性质得出即可； （2）根据（1）的推理过程推出即可． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠3， ∴PN∥QT（同位角相等，两直线平行）， ∴∠T＝∠PNM（两直线平行，同位角相等）， ∵∠P＝∠T， ∴∠P＝∠PNM， ∴PR∥MT（内错角相等，两直线平行）， ∴∠MTQ＝∠RQT（两直线平行，内错角相等）； （2）解：①同位角相等，两直线平行和两直线平行，同位角相等；②内错角相等，两直线平行和两直线平行，内错角相等． ▌题型04 角平分线的性质逆定理 在角的内部，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 如图，点在的内部，，，且，结论：平分。 几何语言：∵，，且， ∴平分。 【典例1】（2025秋•栾城区校级期末）如图，已知△PMN，OA垂直平分MP，交MN于点E，交MP于点Q，OB垂直平分PN，交MN于点F，交PN于点R，连接OP． （1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长； （2）若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB． 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质可得ME＝PE，FN＝PF，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得PQ⊥QA，PR⊥OB，，，从而可得PQ＝PR，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【解答】（1）解：OA垂直平分MP， ∴ME＝PE（线段垂直平分线的性质）． 同理：FN＝PF． ∴EP+FP+EF＝ME+EF+FN＝MN＝15， 即△PEF的周长为15； （2）证明：∵PN＝PM，OA垂直平分MP，OB垂直平分PN， ∴，（线段垂直平分线的性质）， ∴PQ＝PR． ∴OP平分∠AOB． 【变式1-1】（2026春•青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【变式1-2】（2026春•碑林区校级月考）已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 【分析】作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G，根据角平分线的性质定理得到FM＝FN，同理得到FM＝FN，根据角平分线的判定定理证明即可． 【解答】证明：作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G， ∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM＝FN， 同理，FG＝FN， ∴FM＝FG，又FM⊥AB，FG⊥AC， ∴点F在∠DAE的平分线上． 【变式1-3】（2026春•城关区期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，DF＝EF． （1）如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边AB，AC上，连接AF并延长，交BC于点P．求证：AP平分∠BAC． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝8，△ABC的面积为60，求AB的长． 【分析】（1）通过证明△ADF≌△AEF，得到角相等，从而证明AP平分∠BAC，核心为SSS全等判定； （2）由角平分线的性质得点P到AC的距离等于PQ，再利用三角形面积分割法，S△ABC＝S△ABP+S△ACP求解． 【解答】（1）证明：在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF（全等三角形对应角相等），即AP平分∠BAC； （2）解：过点P作PM⊥AC于M， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PM⊥AC， ∴PM＝PQ＝6（角平分线的性质）， ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴， 代入已知条件S△ABC＝60，PQ＝PM＝6，AC＝8，即， 解得AB＝12． ▌题型05 垂直平分线的性质逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 已知点P，若PA=PB，则点在线段的垂直平分线上。 【典例1】（2026•建邺区二模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点G．求证：AD垂直平分EF． 【分析】由AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，得DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，则∠DEF＝∠DFE，推导出∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，即可由点A和点D都在EF的垂直平分线上，证明AD垂直平分EF． 【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴AD平分∠BAC， ∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴∠AEF＝∠AED﹣∠DEF＝∠AFD﹣∠DFE＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵点A和点D都在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF． 【变式1-1】（2026春•禅城区校级期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，线段BC的长为　8cm ； （2）判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，AE＝CE，再根据三角形周长公式计算； （2）根据线段的垂直平分线的性质得到OB＝OA，OC＝OA，得出OB＝OC，再根据线段垂直平分线的判定证明； （3）根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC，再根据等腰三角形的性质解答． 【解答】解：（1）AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E， 则AD＝BD，AE＝CE， ∵△ADE的周长为8cm， ∴AD+DE+AE＝8cm， ∴BD+DE+EC＝BC＝8cm， 故答案为：8cm； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下： ∵AB边的垂直平分线l1与AC边的垂直平分线l2相交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上； （3）∵∠BAC＝120°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣120°＝60°， 由（1）可知：AD＝BD，AE＝CE， ∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAB+∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝120°﹣60°＝60°． 【变式1-2】（2026春•分宜县校级月考）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，连接AO． （1）若∠BOC＝127°，求∠BAC的度数； （2）若AB＝AC，求证：AO所在的直线垂直平分BC． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠OBC+∠OCB＝53°，再由角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝106°，即可求解； （2）过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F，根据角平分线的性质定理可得OD＝OF，再由角平分线的判定定理，可得OA平分∠BAC，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【解答】（1）解：∵∠BOC＝127°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝53°， 由条件可知∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝106°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝74°； （2）证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F， 由条件可知OD＝OE，OE＝OF， ∴OD＝OF， ∴OA平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴OA为BC边的高线，也是BC边的中线， 即AO所在的直线垂直平分BC． 【变式1-3】（2025秋•安顺期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求∠FAN的度数； （2）求证：点P在线段BC的垂直平分线上． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，计算即可； （2）连接PA、PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PA，PC＝PA，等量代换得到PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定证明． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝130°， ∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线， ∴FA＝FB，NA＝NC， ∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°， ∴∠FAN＝130°﹣50°＝80°； （2）证明：如图，连接PA、PB、PC， ∵EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PB＝PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 逆命题和逆定理 （题型突破·举一反三） 题型01 写出命题的逆命题 题型02 互逆命题 题型03 互逆定理 题型04 角平分线的性质逆定理 题型05 垂直平分线的性质逆定理 ▌题型01 写出命题的逆命题 1. 原命题：如果P（题设），那么Q（结论）。 2. 逆命题：交换题设与结论，变成如果Q，那么P。 3. 解题步骤： ①把原命题改写成标准形式：如果……，那么……； ②将“如果”后的内容和“那么”后的内容互换。 【典例1】（2025秋•薛城区期末）下列命题中，逆命题是真命题的为（　　） A．全等三角形的对应边相等 B．若a＝b，则a2＝b2 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【变式1-1】（2025秋•盘龙区期末）下列命题，逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形的三边都相等 C．若x＝y，则x2＝y2 D．全等三角形的对应角相等 【变式1-2】（2025秋•惠城区校级期末）下列命题：①若|a|＞|b|，则a＞b；②直角三角形的两个锐角互余；③如果a＝0，那么ab＝0；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1-3】（2026春•中原区校级期中）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（　　） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 ▌题型02 互逆命题 1. 定义：两个命题，若第一个命题的条件是第二个的结论，第一个的结论是第二个的条件，二者互为逆命题；其中一个叫原命题，另一个是它的逆命题。 2. 要点：所有命题都有逆命题但真命题的逆命题不一定为真可举反例推翻。 3. 改写格式：统一改成“如果…（条件），那么…（结论）”，再交换条件、结论得到逆命题。 【典例1】（2025秋•西湖区校级期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（　　） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【变式1-1】（2025秋•江阳区校级期中）下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是（　　） A．若两条直线垂直，则两条直线有交点 B．若a+b＝0，则a与b相等 C．同位角相等，两直线平行 D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b 【变式1-2】下列四个命题中（1）与（2），（3）与（4）分别是互逆命题吗？ （1）两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等； （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； （3）如果两个数相等，那么它们的绝对值相等； （4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 【变式1-3】指出下列命题中的互逆命题： （1）直角都相等； （2）内错角相等，两直线平行； （3）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0； （4）两直线平行，内错角相等； （5）相等的角都是直角； （6）如果a＜0，b＜0，那么a+b＜0． ▌题型03 互逆定理 定义：若一个定理的逆命题经过证明是真命题，则称它为原定理的逆定理二者互为逆定理。 要点：不是所有定理都有逆定理，只有逆命题为真时才存在逆定理。 【典例1】（2025春•宿城区校级期末）（1）已知：如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：∠1＝∠F． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【变式1-1】如图，∠B+∠D＝∠BED． （1）求证：AB∥CD． （2）你在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来． 【变式1-2】已知：如图，△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C． （1）求证：DH∥EC； （2）若∠4＝32°，求∠EFC的度数； （3）在解题过程中，你应用了哪一对互为逆命题的真命题？ 【变式1-3】如图，点M、N、T和点P、Q、R分别在同一条直线上，且∠1＝∠3，∠P＝∠T． （1）求证：∠T＝∠RQT． （2）你在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来． ▌题型04 角平分线的性质逆定理 在角的内部，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 如图，点在的内部，，，且，结论：平分。 几何语言：∵，，且， ∴平分。 【典例1】（2025秋•栾城区校级期末）如图，已知△PMN，OA垂直平分MP，交MN于点E，交MP于点Q，OB垂直平分PN，交MN于点F，交PN于点R，连接OP． （1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长； （2）若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB． 【变式1-1】（2026春•青羊区校级期中）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【变式1-2】（2026春•碑林区校级月考）已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 【变式1-3】（2026春•城关区期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，DF＝EF． （1）如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边AB，AC上，连接AF并延长，交BC于点P．求证：AP平分∠BAC． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝8，△ABC的面积为60，求AB的长． ▌题型05 垂直平分线的性质逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 已知点P，若PA=PB，则点在线段的垂直平分线上。 【典例1】（2026•建邺区二模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点G．求证：AD垂直平分EF． 【变式1-1】（2026春•禅城区校级期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，线段BC的长为　 ； （2）判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 【变式1-2】（2026春•分宜县校级月考）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，连接AO． （1）若∠BOC＝127°，求∠BAC的度数； （2）若AB＝AC，求证：AO所在的直线垂直平分BC． 【变式1-3】（2025秋•安顺期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求∠FAN的度数； （2）求证：点P在线段BC的垂直平分线上． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $