专题15 等腰三角形的判定定理（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

专题15 等腰三角形的判定定理 （题型突破·举一反三） 题型01 等腰三角形的个数 题型02 两圆一线 题型03 角平分线+平行线 题型04 等角对等边 题型05 判定三角形是否为等腰三角形 题型06 等腰三角形与尺规作图 题型07 多结论问题 题型08 等腰三角形的性质与判定 ▌题型01 等腰三角形的个数 根据等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质、平行线的性质，标出各个角的度数，再利用等腰三角形的判定，输出等腰三角形的个数，不重复不遗漏。 【典例1】（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形， 72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC＝36°， ∵ED∥BC， ∴∠AED＝∠ADE＝72°， ∠EDB＝∠DBC＝36° ∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°， AD＝AE， △ADE为等腰三角形， 在△ABD 中，∠A＝∠ABD＝36°， AD＝BD， △ABD是等腰三角形， 同理△AEC也是等腰三角形， 在△BED 中，∠EBD＝∠EDB＝36°， ED＝BE，△BED是等腰三角形， 同理△CED也是等腰三角形， 在△BDC中，∠BCD＝∠BDC＝72°， BD＝BC， △BDC是等腰三角形， 同理△BEC也是等腰三角形， 在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°， ED＝BE，△BED是等腰三角形， 同理△CED也是等腰三角形， 同理△BEC也是等腰三角形， ∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°， ∴OD＝OE，OB＝OC， 即△ODE，△OBC也为等腰三角形， ∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°， ∴CD＝CO，BE＝OB， ∴△CDO，△BOE也是等腰三角形， 所以共有12个等腰三角形． 故选：C． 【变式1-1】（2026•新城区模拟）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，点E在边AB上，且BE＝BD，则图中等腰三角形的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据等边对等角，结合角平分线的定义，三角形的内角和定理，求出各个角的度数，再根据等角对等边确定等腰三角形即可． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形，， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBDABC＝36°， ∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠ACB＝72°＝∠BCE， ∴BE＝AE，BC＝BD， ∴△ABD，△CBD均为等腰三角形， ∵BE＝BD， ∴BE＝BC（等量代换）， ∴△BCE为等腰三角形， 综上所述，图中等腰三角形的个数有4个，所以只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【变式1-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形的个数是　6　 ． 【分析】由在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝36°， 即△ABC是等腰三角形， ∴∠C＝∠B＝36°， ∴∠BAC＝108°， ∵∠DAE＝∠EAC＝36°， ∴∠BAD＝36°， ∴∠BAD＝∠B＝36°，∠EAC＝∠C＝36°， ∴△ABD，△ACE是等腰三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝∠DAC＝∠BAE＝72°， ∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形． 故答案为：6． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，CE平分∠BCD交BD于点E，则图中等腰三角形的个数有 　5　 个． 【分析】利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案． 【解答】解：∵AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形． ∵∠A＝36°， ∴∠ACB＝∠ABC＝72°． ∵BD平分∠ABC交AC于D， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°， ∵∠A＝∠ABD＝36°， ∴△ABD是等腰三角形． ∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C， ∴△BDC是等腰三角形． ∵CE平分∠BCD交BD于点E， ∴∠BCE＝∠DCE＝36°， ∵∠EBC＝∠ECB＝36°， ∴△BCE是等腰三角形， ∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝72°＝∠EDC， ∴△CDE是等腰三角形， ∴共有5个等腰三角形． 故答案为：5． ▌题型02 两圆一线 已知定点A、B，找点P使△ABP为等腰三角形 1. 圆1（以A为圆心，AB为半径画圆） 顶角顶点为A，满足：AB=AP，圆周上所有点均可作P。 2. 圆2（以B为圆心，AB为半径画圆） 顶角顶点为B，满足：BA=BP，圆周上所有点均可作P。 3. 一线（线段AB的垂直平分线） 顶角顶点为P，满足：PA=PB，垂直平分线上所有点均可作P。 【典例1】（2026春•碑林区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【分析】根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【解答】解：如图： 分三种情况讨论如下： ①当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，则点C1即为所求； ②当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，则点C2即为所求； ③当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，则点C3，C4，C5，C6即为所求， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•禅城区期末）如图，点A、B都在正方形网格的格点上，若等腰△ABC的三个顶点都在格点上，则满足条件的C点的个数是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的判定方法，即可求解． 【解答】解：当AB是等腰△ABC的腰时， 如果AB=AC，满足条件的点有2个：、； 如果AB=BC，满足条件的点有2个：、； 当AB是等腰△ABC的底边时（AC=BC），满足条件的点有6个：、、、、、． 综上所述，满足条件的C点的个数是2+2+6=10（个）． 故选：A． 【变式1-2】（2025秋•镇平县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，点C也是一格点，并且△ABC是等腰三角形，那么满足条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解． 【解答】解：当AB为底时，作线段AB的垂直平分线，点C满足条件， 当BC为底时，以A为圆心，AB长为半径，画圆，点C″满足条件， 当AC为底时，以B为圆心，AB长为半径，画圆，点C′满足条件， 故选：C． 【变式1-3】（2026•海口二模）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B都在格点处，若以线段AB为腰的等腰三角形ABC另一顶点C也在格点处，则点C所处的位置个数为 . 分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【解答】解：点A，B都在格点处，若以线段AB为腰的等腰三角形ABC另一顶点C也在格点处， 如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有6个． 故答案为：6． ▌题型03 角平分线+平行线 角平分线 + 平行线 = 等腰三角形 已知，平分，，求证：。 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴。 【典例1】（2026春•西安期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【分析】由ED∥BC和角平分线的性质可得∠DFB＝∠DBF，∠EGC＝∠GCE，根据等角对等边得出DF＝DB，EG＝EC，再由线段的和差关系可得DB+EC的值． 【解答】解：∵ED∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠BCG（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G， ∴∠DBF＝∠FBC，∠GCE＝∠BCG， ∴∠DFB＝∠DBF，∠EGC＝∠GCE， ∴DF＝DB，EG＝EC（等角对等边）， ∵FG＝2，ED＝6， ∴DB+EC＝DF+EG＝6﹣2＝4， 故选：B． 【变式1-1】（2026春•平顶山月考）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE等于（　　） A．1 B．5 C．9 D．10 【分析】根据已知条件，可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形，从而能够证明BD+CE＝DE即可解决． 【解答】解：∵BF、CF分别平分∠DBC、∠BCE， ∴∠DBF＝∠FBC，∠BCF＝∠ECF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠BCF＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DF＝BD，CE＝EF， ∵DF+EF＝DE， ∴BD+CE＝DE， ∵BD＝5，CE＝4， ∴DE＝9， 故选：C． 【变式1-2】（2025秋•徐州期末）如图，在△ABC中，角平分线BF，CF相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AB＝4，AC＝3，则△ADE的周长等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等角对等边得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案． 【解答】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB（两直线平行，内错角相等）， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF， 同理FE＝EC， ∴，AD+AE+ED＝AB+AC＝4+3＝7，△ADE的周长为7， 故选：D． 【变式1-3】（2026•海口开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝11，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，则DE的长为（　　） A．16 B．14 C．18 D．20 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质得出AB＝AE，AD＝AC，代入数据计算即可． 【解答】解：在△ABC中，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E，D， ∵DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠E＝∠ABE， ∴AB＝AE， 同理AD＝AC， ∵AC＝9，AB＝11， ∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝11+9＝20． 故选：D． ▌题型04 等角对等边 在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 简单记：等角对等边。 【典例1】（2026春•西安期末）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在边BC上取一点F，使∠DFC＝45°．求证：△BCD为等腰三角形； 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠DCB，根据等腰三角形的判定定理得到△BCD为等腰三角形． 【解答】证明：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠DCB， ∴∠B＝∠DCB， ∴BD＝CD， ∴△BCD为等腰三角形； 【变式1-1】（2025秋•乐陵市校级期末）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 【分析】（1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得∠BAG＝∠CGD＝∠AGE，继而证明△AEG为等腰三角形即可； （2）作EH⊥AD，垂足为点H，证明△EHG≌△CDG（AAS），可得AH＝HG＝GD＝5，继而得到AG长． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABD和△CDG都是直角三角形， ∵BE＝CE， ∴∠B＝∠GCD， ∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE， ∴AE＝GE， ∴△AEG为等腰三角形； （2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H， 在△EHG和△CDG中， ， ∴△EHG≌△CDG（AAS）， ∴HG＝GD， ∵AE＝EG，EH⊥AD， ∴AH＝HG＝GD， ∵DG＝5， ∴AG＝10． 【变式1-2】（2026•斗门区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．求证：△ACD是等腰三角形． 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质，证明∠ABD＝∠ADB，得出AB＝AD，根据AB＝AC，得出AC＝AD，即可证明结论． 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形． 【变式1-3】（2026春•徐汇区校级期中）在六年级时，我们学习了圆的相关知识，知道在同圆中半径都相等．如图，半圆所对的直径为BC，点O是圆心，点A在半圆外，AB，AC分别与半圆交于点D，E，且BD＝EC，求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】推导△OBD≌△OCE，得出∠ABC＝∠ACB，得出AB＝AC，得到△ABC是等腰三角形． 【解答】证明：∵BD＝EC，OB＝OC＝OD＝OE， ∴△OBD≌△OCE（SSS）， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． ▌题型05 判定三角形是否为等腰三角形 判定方法1：定义判定（两边相等） 判定内容：一个三角形中有两条边长度相等，就是等腰三角形。 判定方法2：等角对等边（两角相等） 判定内容：同一个三角形内两个内角相等，则两角对边相等，三角形为等腰。 【典例1】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．AB＝3，AC＝3，BC＝4 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．AB：AC：BC＝3：6：3 【分析】对于选项A，根据AB＝AC＝3即可对选项A进行判断； 对于选项B，根据∠A：∠B：∠C＝3：4：4，设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α，则∠B＝∠C＝4α，由此可对选项B进行判断； 对于选项C，先利用三角形内角和定理求出∠A＝50°，则∠A＝∠B＝50°，由此可对选项C进行判断； 对于选项D，根据AB：AC：BC＝3：6：3，设AB＝3k，AC＝6k，BC＝3k，根据三角形三边关系此三边不能构成三角形，由此可对选项D进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵AB＝3，AC＝3，BC＝4 ∴AB＝AC， ∴选项A中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：4， ∴设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α， ∴∠B＝∠C＝4α， ∴选项B中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝50°， ∴∠A＝∠B＝50°， ∴△ABC是等腰三角形， ∴选项C中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵AB：AC：BC＝3：6：3， ∴AB＝3k，AC＝6k，BC＝3k， ∵AB+BC＝AC， ∴选项D中的条件不能构成三角形，更不能判定△ABC是等腰三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1-1】在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3 B．a：b：c＝2：2：1 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B+∠C 【分析】根据等角对等边，可判断A、C、D，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可判断B． 【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B，故A是等腰三角形； B、a：b：c＝2：2：1，∴a＝b，故B是等腰三角形； C、∠B＝50°，∠C＝80°，∴∠A＝∠B＝50°，故C是等腰三角形； D、2∠A＝∠B+∠C，∠A＝60°，∠B+∠C＝120°，故D不是等腰三角形； 故选：D． 【变式1-2】（2026春•小店区校级同步）在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【解答】解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形； B、∵a：b：c＝2：3：4 ∴a≠b≠c， ∴△ABC不是等腰三角形； C、∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形； D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2， ∵∠A＝∠B， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形． 故选：B． 【变式1-3】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝4：5：6 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 【分析】对于选项A，由a＝b＝3，得△ABC是等腰三角形，由此可对该选项进行判断； 对于选项B，由a：b：c＝4：5：6得a≠b≠c，由此可对该选项进行判断； 对于选项C，根据∠B＝50°，∠C＝80°由三角形内角和定理得∠A＝50°，则∠A＝∠B＝50°，进而得△ABC是等腰三角形，由此可对该选项进行判断； 对于选项D，根据∠A：∠B：∠C＝1：1：2得∠A＝∠B，则△ABC是等腰三角形，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵a＝3，b＝3，c＝4， ∴a＝b＝3， ∴△ABC是等腰三角形， 故选项A中的条件能判定△ABC是等腰三角形，不符合题意； 对于选项B， ∵a：b：c＝4：5：6， ∴a≠b≠c， 故选项B中的条件不能判定△ABC是等腰三角形，符合题意； 对于选项C， ∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝50°， ∴∠A＝∠B＝50°， ∴△ABC是等腰三角形， 故选项C中的条件能判定△ABC是等腰三角形，不符合题意； 对于选项D， ∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2， ∴∠A＝∠B， ∴△ABC是等腰三角形， 故选项D中的条件能判定△ABC是等腰三角形，不符合题意． 故选：B． ▌题型06 等腰三角形与尺规作图 通过尺规作图留下的痕迹，确定是作一个角等于已知角、相等的线段、角平分线、垂线，还是垂直平分线，然后结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，进行解题。 【典例1】（2026•邯郸模拟）如图，AB∥CD，∠CAB＝140°，以点C为圆心，CA为半径作弧，交CD于点E，连接AE，则∠CEA等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据平行线的性质求出∠ACE＝40°．由作图可知，CE＝CA，则∠CEA＝∠CAE，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CAB+∠ACE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠CAB＝140°， ∴∠ACE＝180°﹣140°＝40°． 由作图可知，CE＝CA， ∴∠CEA＝∠CAE． ∴， 则∠CEA等于70°， 故选：D． 【变式1-1】（2026•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝40°，从而利用角平分线的定义可得∠ABD＝20°，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝120°，再由作图可得：∠BDH＝90°，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠C40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD∠ABC＝20°， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°， 由作图可得：HD⊥BF， ∴∠BDH＝90°， ∴∠CDH＝∠BDC﹣∠BDH＝30°， 故选：B． 【变式1-2】（2026春•青羊区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝34°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交边AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　） A．58° B．60° C．62° D．56° 【分析】由直角三角形的性质求出∠A＝56°，由题意得到AD＝AC，推出∠ACD＝∠ADC＝62°． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝56°， 由题意得到AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC（180°﹣56°）＝62°． 故选：C． 【变式1-3】（2026•海口校级模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°． 第一图：由作图可知CA＝CD，△ACD是等腰三角形，故此作法正确； 第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ACD是等腰三角形，故此作法错误； 第三图：由作图可知BA＝BD，又∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝60°，， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB， ∴CD＝BC﹣BD＝2AB﹣BD＝2AD﹣AD＝AD， ∴△ADC是等腰三角形，故此作法正确； 第四图：由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，故此作法正确． 故选：C． ▌题型07 多结论问题 这类题特征：题干给等腰背景+若干条件，给出4～5个结论，选出正确的序号。核心思路是逐个验证，用固定套路排除错项。 1. 角度类结论常用手段： ① 等腰两底角相等，三角形内角和； ② 外角等于不相邻两内角和； ③ 平行线内错角、同位角； ④ 角平分线平分两角。 2. 线段相等结论，证明线段相等三条路径 ① 等角对等边（最常用，等腰题首选）； ② 证明两个三角形全等； ③ 垂直平分线性质、三线合一直接得线段相等。 3. 线段和差倍分结论：截长补短 4. 面积、周长不变类结论 ① 周长不变：动点平移，等量线段来回替换，总长抵消不变； ② 面积不变：底边固定，高不变，则面积不变；等腰对称轴上动点到底边距离恒定。 5. 垂直、平行关系结论 ① 三线合一直接得垂直； ② 同位角/内错角相等证平行； ③ 两角互余证垂直。 【典例1】（2025秋•淮北期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE，AE，CE分别是∠ABC，∠MAC，∠ACN的平分线，三条角平分线交于点E，BE与AC交于点P．下列结论：①AE∥BC；②△ACE是等腰三角形；③当∠BAC＝60°时，△APE是直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①正确，证明∠MAE＝∠ABC即可； ②正确，证明AC＝AE即可； ③正确，利用等腰三角形的性质解决问题． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AE平分∠MAC， ∴∠MAE＝∠EAC， ∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠MAE＝∠ABC， ∴AE∥BC，故①正确， ∴∠AEC＝∠ECN， ∵CE平分∠ACN， ∴∠ACE＝∠ECN， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，故②正确， 当∠BAC＝60°时， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵BE平分∠ABC， ∴BE⊥AC， ∴∠APE＝90°， ∴△APE是直角三角形，故③正确． 故选：D． 【变式1-1】（2025秋•四川期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝36°，AD平分∠BAC，E为线段AB的中点，则下列结论中正确的有（　　） ①△ACD是等腰三角形；②DE⊥BA；③AC＝BD；④CD＝DE． A．①③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAC＝∠BCA＝72°＝∠ADC，∠DAC＝∠BAD＝36°，可得AD＝BD＝AC，可判断①③，由等腰三角形的性质可得DE⊥AB，可判断②，即可求解． 【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝36°， ∴∠BAC＝∠BCA＝72°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAD＝36°， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD，∠ADC＝72°， ∴∠ADC＝∠C＝72°， ∴AC＝AD， ∴△ACD是等腰三角形，故①正确； ∵BD＝AD，点E是BA的中点， ∴DE⊥AB，故②正确； ∵AC＝AD，BD＝AD， ∴AC＝BD，故③正确； 如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 在Rt△DFC中，DC＞DF， ∴DE≠DC，故④错误， 故选：C． 【变式1-2】（2025秋•平安区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周长等于AB+BC；④BF＝CF．其中正确的是　①②③　 （填写正确的序号） 【分析】结合角平分线的性质和平行线的性质，即可证明△BDF和△CEF是等腰三角形，然后根据线段的和差分析其它结论． 【解答】解：①∵∠B、∠C的平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF． ∵DE∥BC， ∴∠BFD＝∠CBF，∠CFE＝∠BCF， ∴∠DBF＝∠BFD，∠CFE＝∠ECF， ∴BD＝FD，CE＝EF． ∴△BDF，△CEF都是等腰三角形．故①正确； ②根据①得DE＝DF+EF＝DB+CE．故②正确； ③根据②得AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC．故③正确； ④AB和AC不一定相等，∴BF和CF不一定相等．故④错误． 故答案为：①②③． 【变式1-3】（2025秋•江岸区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是CB的延长线和BA的延长线上的点，AE＝BD，延长DA交CE于点F，G是AD上一点，且CG＝CA，CG交AB于点H．下列结论：①∠DFC＝60°；②∠DCG＝2∠ACE；③EH＝CH；④H为AB中点；⑤CF﹣AF＝GF．其中正确的是　①②③⑤　 （填序号）． 【分析】设∠ACE＝x，证明△CAE≌△ABD（SAS），可得①符合题意； 连接GB，求解∠DGB＝30°，证明∠DCG＝2x＝2∠ACE，可得②符合题意； 证明∠E＝∠D＝60°﹣x＝∠ECH，可得EH＝CH，可得③符合题意； 根据∠ACE是动角，∠DCG是动角，故④不符合题意； 过G作GI∥AE交CE于I，截取FK＝FA，而∠DFC＝60°，证明△CAK≌△GIF，可得⑤符合题意． 【解答】解：如图，设∠ACE＝x， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠CAE＝∠ABD＝120°， ∵AE＝BD，∠CAE＝∠ABD，AB＝AC， ∴△CAE≌△ABD（SAS）， ∴∠AEF＝∠D，∠ACE＝∠BAD＝x， 又∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠BAD＝∠ACE＝x， ∴∠DFC＝∠AEF+∠EAF＝∠D+∠BAD＝∠ABC＝60°，故①正确，符合题意； 如图1，连接GB， ∵CA＝CG＝CB， ∴∠CAG＝∠CGA，∠CGB＝∠CBG， ∴∠CGB+∠CGA（360°﹣∠ACB）（360°﹣60°）＝150°， ∴∠DGB＝30°， 又∵∠AEC＝∠D＝∠BAC﹣∠ACE＝60°﹣x， ∴∠CBG＝∠D+∠DGB＝60°﹣x+30°＝90°﹣x＝∠CGB， ∴∠DCG＝180°﹣∠CBG﹣∠CGB＝180°﹣2∠CBG＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x＝2∠ACE，故②正确，符合题意； 由②知：∠D＝60°﹣x＝∠E， ∵∠ACE＝x，∠DCG＝2x，∠ACB＝60°， ∴∠ECH＝60°+x﹣2x＝60°﹣x， ∴∠E＝∠ECH， ∴EH＝CH，故③正确，符合题意； ∵E是BA的延长线上的点， ∴∠ACE是动角， ∵∠DCG＝2∠ACE＝2x， ∴∠DCG是动角， 当x＝30°时，CG是∠ACB的平分线，此时H是AB的中点， 故④错误，不符合题意； 如图2，过G作GI∥AE交直线CE于I，在CF上截取FK＝FA，而∠DFC＝60°， ∴∠I＝∠AEC＝60°﹣x，△AFK为等边三角形， ∴AK＝FK＝FA，∠AKF＝60°， ∴∠AKC＝∠GFI＝120°，∠CAK＝180°﹣120°﹣x＝60°﹣x＝∠I， 由④知：∠GCI＝∠CEH＝60°﹣x＝∠I， ∴CG＝GI＝CA， ∵∠CAK＝∠I，∠AKC＝∠GFI，GI＝CA， ∴△CAK≌△GIF（AAS）， ∴CK＝GF，IF＝AK＝AF＝FK， ∴CF＝CK+FK＝GF+AF， ∴CF﹣AF＝GF，故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②③⑤． ▌题型08 等腰三角形的性质与判定 1.定位主等腰：先标出已知等腰的相等腰、相等底角，画出对称轴。 2.梳理条件：角平分线/平行/高/中线/折叠，看能凑出什么等角。 3.判断方向 ①缺等边/等角：用等腰性质（等边对等角、三线合一） ②要证明三角形是等腰：用判定（等角对等边优先） 4.角度传递优先：综合题绝大多数都是靠角度等量代换，先凑等角，再切换判定得到等边。 5.线段等量代换：多个等腰时，多条相等线段互相替换，完成求证。 【典例1】（2026春•高陵区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果； （2）由平行线的性质求得∠EAC＝72°，由三角形内角和定理求得∠ADE＝72°，根据等腰三角形的判定即可证得结论． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠ADB＝∠C+DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 【变式1-1】（2026春•金凤区校级期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，且CD＝CF．求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】先由垂直得∠AED＝∠BED＝90°，即∠B+∠F＝90°，∠A+∠ADE＝90°，根据CD＝CF，故∠F＝∠CDF，因为对顶角相等，得∠ADE＝∠F，再进行角的等量代换，即可作答． 【解答】解：由条件可知∠AED＝∠BED＝90°， ∴∠B+∠F＝90°，∠A+∠ADE＝90°， ∵CD＝CF， ∴∠F＝∠CDF， ∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠ADE＝∠F， 则∠A+∠F＝90°， ∴∠B＝∠A， ∴△ABC是等腰三角形． 【变式1-2】（2025秋•潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．求证：△ADE是等腰三角形． 【分析】根据等角对等边可得△ABC是等腰三角形；根据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质解答即可． 【解答】证明：在△ABC中，∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴AE＝ED， ∴△ADE是等腰三角形． 【变式1-3】（2025秋•安徽期末）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长； （3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论； （2）利用（1）的结论即可得出结论； （3）利用角平分线和平行线推出OE＝BE，OF＝CF，再推出EF与BE、CF间的关系即可． 【解答】解：（1）∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， ∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO（角平分线的定义）， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠FOC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC ∴BE＝OE，OF＝CF（等角对等边）， ∴△BEO、△CFO是等腰三角形， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF； （2）∵由（1）知，EF＝BE+CF， 又∵AB＝15，AC＝10， ∴C△AEF＝AE+AF+EF＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝15+10＝25； （3）（1）中结论不成立，新结论为：EF＝BE﹣CF，理由： ∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACG的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠GCO， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠EOB，∠EOC＝∠GCO（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABO＝∠EOB，∠EOC＝∠FCO， ∴OE＝BE，OF＝CF（等角对等边）， ∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 等腰三角形的判定定理 （题型突破·举一反三） 题型01 等腰三角形的个数 题型02 两圆一线 题型03 角平分线+平行线 题型04 等角对等边 题型05 判定三角形是否为等腰三角形 题型06 等腰三角形与尺规作图 题型07 多结论问题 题型08 等腰三角形的性质与判定 ▌题型01 等腰三角形的个数 根据等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质、平行线的性质，标出各个角的度数，再利用等腰三角形的判定，输出等腰三角形的个数，不重复不遗漏。 【典例1】（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-1】（2026•新城区模拟）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，点E在边AB上，且BE＝BD，则图中等腰三角形的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形的个数是　　 ． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，CE平分∠BCD交BD于点E，则图中等腰三角形的个数有 　　 个． ▌题型02 两圆一线 已知定点A、B，找点P使△ABP为等腰三角形 1. 圆1（以A为圆心，AB为半径画圆） 顶角顶点为A，满足：AB=AP，圆周上所有点均可作P。 2. 圆2（以B为圆心，AB为半径画圆） 顶角顶点为B，满足：BA=BP，圆周上所有点均可作P。 3. 一线（线段AB的垂直平分线） 顶角顶点为P，满足：PA=PB，垂直平分线上所有点均可作P。 【典例1】（2026春•碑林区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式1-1】（2026春•禅城区期末）如图，点A、B都在正方形网格的格点上，若等腰△ABC的三个顶点都在格点上，则满足条件的C点的个数是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式1-2】（2025秋•镇平县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，点C也是一格点，并且△ABC是等腰三角形，那么满足条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2026•海口二模）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B都在格点处，若以线段AB为腰的等腰三角形ABC另一顶点C也在格点处，则点C所处的位置个数为 . ▌题型03 角平分线+平行线 角平分线 + 平行线 = 等腰三角形 已知，平分，，求证：。 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴。 【典例1】（2026春•西安期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式1-1】（2026春•平顶山月考）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE等于（　　） A．1 B．5 C．9 D．10 【变式1-2】（2025秋•徐州期末）如图，在△ABC中，角平分线BF，CF相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AB＝4，AC＝3，则△ADE的周长等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式1-3】（2026•海口开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，AB＝11，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，则DE的长为（　　） A．16 B．14 C．18 D．20 ▌题型04 等角对等边 在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 简单记：等角对等边。 【典例1】（2026春•西安期末）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在边BC上取一点F，使∠DFC＝45°．求证：△BCD为等腰三角形． 【变式1-1】（2025秋•乐陵市校级期末）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 【变式1-2】（2026•斗门区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．求证：△ACD是等腰三角形． 【变式1-3】（2026春•徐汇区校级期中）在六年级时，我们学习了圆的相关知识，知道在同圆中半径都相等．如图，半圆所对的直径为BC，点O是圆心，点A在半圆外，AB，AC分别与半圆交于点D，E，且BD＝EC，求证：△ABC是等腰三角形． ▌题型05 判定三角形是否为等腰三角形 判定方法1：定义判定（两边相等） 判定内容：一个三角形中有两条边长度相等，就是等腰三角形。 判定方法2：等角对等边（两角相等） 判定内容：同一个三角形内两个内角相等，则两角对边相等，三角形为等腰。 【典例1】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．AB＝3，AC＝3，BC＝4 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．AB：AC：BC＝3：6：3 【变式1-1】在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3 B．a：b：c＝2：2：1 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B+∠C 【变式1-2】（2026春•小店区校级同步）在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 【变式1-3】下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝4：5：6 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 ▌题型06 等腰三角形与尺规作图 通过尺规作图留下的痕迹，确定是作一个角等于已知角、相等的线段、角平分线、垂线，还是垂直平分线，然后结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，进行解题。 【典例1】（2026•邯郸模拟）如图，AB∥CD，∠CAB＝140°，以点C为圆心，CA为半径作弧，交CD于点E，连接AE，则∠CEA等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式1-1】（2026•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式1-2】（2026春•青羊区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝34°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交边AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　） A．58° B．60° C．62° D．56° 【变式1-3】（2026•海口校级模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌题型07 多结论问题 这类题特征：题干给等腰背景+若干条件，给出4～5个结论，选出正确的序号。核心思路是逐个验证，用固定套路排除错项。 1. 角度类结论常用手段： ① 等腰两底角相等，三角形内角和； ② 外角等于不相邻两内角和； ③ 平行线内错角、同位角； ④ 角平分线平分两角。 2. 线段相等结论，证明线段相等三条路径 ① 等角对等边（最常用，等腰题首选）； ② 证明两个三角形全等； ③ 垂直平分线性质、三线合一直接得线段相等。 3. 线段和差倍分结论：截长补短 4. 面积、周长不变类结论 ① 周长不变：动点平移，等量线段来回替换，总长抵消不变； ② 面积不变：底边固定，高不变，则面积不变；等腰对称轴上动点到底边距离恒定。 5. 垂直、平行关系结论 ① 三线合一直接得垂直； ② 同位角/内错角相等证平行； ③ 两角互余证垂直。 【典例1】（2025秋•淮北期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE，AE，CE分别是∠ABC，∠MAC，∠ACN的平分线，三条角平分线交于点E，BE与AC交于点P．下列结论：①AE∥BC；②△ACE是等腰三角形；③当∠BAC＝60°时，△APE是直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-1】（2025秋•四川期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝36°，AD平分∠BAC，E为线段AB的中点，则下列结论中正确的有（　　） ①△ACD是等腰三角形；②DE⊥BA；③AC＝BD；④CD＝DE． A．①③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【变式1-2】（2025秋•平安区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周长等于AB+BC；④BF＝CF．其中正确的是　　 （填写正确的序号） 【变式1-3】（2025秋•江岸区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是CB的延长线和BA的延长线上的点，AE＝BD，延长DA交CE于点F，G是AD上一点，且CG＝CA，CG交AB于点H．下列结论：①∠DFC＝60°；②∠DCG＝2∠ACE；③EH＝CH；④H为AB中点；⑤CF﹣AF＝GF．其中正确的是　　 （填序号）． ▌题型08 等腰三角形的性质与判定 1.定位主等腰：先标出已知等腰的相等腰、相等底角，画出对称轴。 2.梳理条件：角平分线/平行/高/中线/折叠，看能凑出什么等角。 3.判断方向 ①缺等边/等角：用等腰性质（等边对等角、三线合一） ②要证明三角形是等腰：用判定（等角对等边优先） 4.角度传递优先：综合题绝大多数都是靠角度等量代换，先凑等角，再切换判定得到等边。 5.线段等量代换：多个等腰时，多条相等线段互相替换，完成求证。 【典例1】（2026春•高陵区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【变式1-1】（2026春•金凤区校级期中）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，且CD＝CF．求证：△ABC是等腰三角形． 【变式1-2】（2025秋•潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．求证：△ADE是等腰三角形． 【变式1-3】（2025秋•安徽期末）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长； （3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 等腰三角形的判定定理 （题型突破·举一反三） ▌题型01 等腰三角形的个数 【典例1】C． 【变式1-1】B． 【变式1-2】6． 【变式1-3】5． ▌题型02 两圆一线 【典例1】C． 【变式1-1】A． 【变式1-2】C． 【变式1-3】6． ▌题型03 角平分线+平行线 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】D． 【变式1-3】D． ▌题型04 等角对等边 【典例1】 【解答】证明：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠DCB， ∴∠B＝∠DCB， ∴BD＝CD， ∴△BCD为等腰三角形； 【变式1-1】 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABD和△CDG都是直角三角形， ∵BE＝CE， ∴∠B＝∠GCD， ∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE， ∴AE＝GE， ∴△AEG为等腰三角形； （2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H， 在△EHG和△CDG中， ， ∴△EHG≌△CDG（AAS）， ∴HG＝GD， ∵AE＝EG，EH⊥AD， ∴AH＝HG＝GD， ∵DG＝5， ∴AG＝10． 【变式1-2】 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形． 【变式1-3】 【解答】证明：∵BD＝EC，OB＝OC＝OD＝OE， ∴△OBD≌△OCE（SSS）， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． ▌题型05 判定三角形是否为等腰三角形 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】B． 【变式1-3】B． ▌题型06 等腰三角形与尺规作图 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】C． 【变式1-3】C． ▌题型07 多结论问题 【典例1】D． 【变式1-1】C． 【变式1-2】①②③． 【变式1-3】①②③⑤． ▌题型08 等腰三角形的性质与判定 【典例1】 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠ADB＝∠C+DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 【变式1-1】 【解答】解：由条件可知∠AED＝∠BED＝90°， ∴∠B+∠F＝90°，∠A+∠ADE＝90°， ∵CD＝CF， ∴∠F＝∠CDF， ∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠ADE＝∠F， 则∠A+∠F＝90°， ∴∠B＝∠A， ∴△ABC是等腰三角形． 【变式1-2】 【解答】证明：在△ABC中，∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴AE＝ED， ∴△ADE是等腰三角形． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， ∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO（角平分线的定义）， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠FOC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC ∴BE＝OE，OF＝CF（等角对等边）， ∴△BEO、△CFO是等腰三角形， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF； （2）∵由（1）知，EF＝BE+CF， 又∵AB＝15，AC＝10， ∴C△AEF＝AE+AF+EF＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝15+10＝25； （3）（1）中结论不成立，新结论为：EF＝BE﹣CF，理由： ∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACG的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠GCO， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠EOB，∠EOC＝∠GCO（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABO＝∠EOB，∠EOC＝∠FCO， ∴OE＝BE，OF＝CF（等角对等边）， ∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $