专题02 一元二次方程的解法（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

专题02 一元二次方程的解法 一、素养目标 1.理解一元二次方程降次的转化思想. 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤； 3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程； 4.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况； 5.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程； 6.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程； 7.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性； 8.掌握解方程原理与方法，培养逻辑推理、数学运算能力，增强模型意识，提升数学思维品质. 二、教学重点、难点 重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟如何选择适当的方法使解题简便. 一、直接开平方法解一元二次方程 ●知识点一 直接开平方法 方程 x2＝p(p≥0)的解为x1＝，x2＝－. 由方程(mx＋n)2＝p(p≥0)，可得mx＋n＝或mx＋n＝－. ●知识点二 降次思想 一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的一种方法. 二、配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程的步骤： (1)移：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边； (2)化：把二次项系数化为1； (3)配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开：在利用直接开平方法求出方程的解. 配方时易出现的错误： (1)移项时忘记变号； (2)系数化为1时漏项； (3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 三、公式法解一元二次方程 由上可知，对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根.Δ＝b2－4ac Δ＞0 方程有两个不相等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 四、因式分解法解一元二次方程 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 题型01直接开平方法解一元二次方程 【典例】（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是_________． 题型02 配方法解一元二次方程 【典例】用配方法解方程，补全解答过程． ． 解：两边同除以3，得______________________________． 移项，得． 配方，得_________________________________， 即． 两边开平方，得__________________， 即，或． 所以，． 【变式】用配方法解方程，配方结果正确的是（         ） A． B． C． D． 题型03公式法解一元二次方程 【典例】（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程：．    解：方程化为． _______，． _________． 方程_________实数根． __________________， 即_________，． 【变式】用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 题型04因式分解法解一元二次方程 【典例】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）关于的一元二次方程的根是（ ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【变式】（24-25九年级上·山东临沂·期中）解方程： (1)； (2)以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第__________步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 题型05十字相乘法解一元二次方程 【典例】以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（  ） A． B． C． D． 【变式】试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 题型06用适当方法解一元二次方程 【典例】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式】（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07用指定方法解一元二次方程 【典例】（2026八年级下·全国·专题练习）按指定的方法解方程： (1)（直接开方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【变式】（24-25九年级上·山东菏泽·阶段检测）用指定的方法解方程 (1)（配方法） (2)（因式分解法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 题型08用换元法解一元二次方程 【典例】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 题型09解含绝对值的一元二次方程 【典例】（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【变式】小琴同学在一本课外书上看到一道解方程的题目“解方程”，她思考良久，未能解答，于是她翻阅资料，在另一本书上找到了类似题目的解答过程（如下例题），她认真阅读，仿照解法，很快得出了正确答案．你能解答这道题吗？ 例：解方程． 解：（1）当，即时 ，， 解得（不合题设，舍去）， （2）当，即时 ，， 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 【巩固训练】 1．若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b的值为（　　） A．﹣57 B．63 C．179 D．181 2．（24-25八年级下·广西梧州·期中）解关于的方程得（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，且，则的值为______． 9．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 10．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【强化训练】 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026春•寿县月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），系数a，b，c满足9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3 5．（2021·广东·中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____． 6．（九年级下·山东德州·开学考试）若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 7．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 8．（24-25九年级上·湖南·阶段检测）阅读材料： 解方程时，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为．①解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解答下列问题： (1)填空：在由原方程得到①的过程中，利用______达到了降次的目的，体现了化归的数学思想． (2)解方程： ①； ②． 9．先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 10．（2026春•浙江期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2+3x+2＝0是否为“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的解法 一、素养目标 1.理解一元二次方程降次的转化思想. 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤； 3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程； 4.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况； 5.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程； 6.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程； 7.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性； 8.掌握解方程原理与方法，培养逻辑推理、数学运算能力，增强模型意识，提升数学思维品质. 二、教学重点、难点 重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟如何选择适当的方法使解题简便. 一、直接开平方法解一元二次方程 ●知识点一 直接开平方法 方程 x2＝p(p≥0)的解为x1＝，x2＝－. 由方程(mx＋n)2＝p(p≥0)，可得mx＋n＝或mx＋n＝－. ●知识点二 降次思想 一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的一种方法. 二、配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程的步骤： (1)移：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边； (2)化：把二次项系数化为1； (3)配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开：在利用直接开平方法求出方程的解. 配方时易出现的错误： (1)移项时忘记变号； (2)系数化为1时漏项； (3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 三、公式法解一元二次方程 由上可知，对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根.Δ＝b2－4ac Δ＞0 方程有两个不相等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 四、因式分解法解一元二次方程 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 题型01直接开平方法解一元二次方程 【典例】（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．根据负数没有平方根即可求出答案． 【详解】解：A．移项得，无解，故符合题意； B．化简得，有解，故不符合题意； C．移项得 ，有解，故不符合题意； D． ，有解，故不符合题意； 故选：A． 【变式】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵方程可以用直接开平方求解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键． 题型02 配方法解一元二次方程 【典例】用配方法解方程，补全解答过程． ． 解：两边同除以3，得______________________________． 移项，得． 配方，得_________________________________， 即． 两边开平方，得__________________， 即，或． 所以，． 【答案】     【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】． 解：两边同除以3，得． 移项，得． 配方，得， 即． 两边开平方，得， 即，或． 所以，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式】用配方法解方程，配方结果正确的是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵x2+6x﹣2=0 ∴x2+6x=2 ∴x2+6x+9=2+9 ∴（x+3）2=11 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型03公式法解一元二次方程 【典例】（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程：．    解：方程化为． _______，． _________． 方程_________实数根． __________________， 即_________，． 【答案】 有两个不相等的 2 【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即． 【详解】解：方程化为． ，，． ． 方程有两个不相等的实数根． ， 即2，． 故答案为：；；有两个不相等的；；；2． 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键． 【变式】用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出． 【详解】方程有两根， 且． 求根公式得到方程的根为，两根互为相反数， 所以，即 ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键． 题型04因式分解法解一元二次方程 【典例】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）关于的一元二次方程的根是（ ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．熟练掌握解一元二次方程的基本方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故选：D． 【变式】（24-25九年级上·山东临沂·期中）解方程： (1)； (2)以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第__________步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)， (2)①二；②解答过程见解析 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）①时，两边除以无意义，据此可判断求解；②把右式移到左边，利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：①上面的运算过程第二步出现了错误， 故答案为：二； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 题型05十字相乘法解一元二次方程 【典例】以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可． 【详解】∵ ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 【变式】试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 题型06用适当方法解一元二次方程 【典例】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． （1）利用解一元二次方程的因式分解法进行计算，即可求解； （2）利用解一元二次方程的公式法进行计算，即可求解； （3）利用解一元二次方程的因式分解法进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解：，，， ， ； （3）解：， ， ， 或． 【变式】（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）提取公因式分解因式，再解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 提取公因式得：， ∴或， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． （4）解： ， ， ， 解得：． 题型07用指定方法解一元二次方程 【典例】（2026八年级下·全国·专题练习）按指定的方法解方程： (1)（直接开方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式】（24-25九年级上·山东菏泽·阶段检测）用指定的方法解方程 (1)（配方法） (2)（因式分解法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【答案】(1) (2) (3)原方程无解 (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法和平方差公式分解因式，再解方程即可； （3）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可； （4）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴原方程无解； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 题型08用换元法解一元二次方程 【典例】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【答案】B 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 题型09解含绝对值的一元二次方程 【典例】（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【分析】【答案】，（舍去）；，；， 本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 【变式】小琴同学在一本课外书上看到一道解方程的题目“解方程”，她思考良久，未能解答，于是她翻阅资料，在另一本书上找到了类似题目的解答过程（如下例题），她认真阅读，仿照解法，很快得出了正确答案．你能解答这道题吗？ 例：解方程． 解：（1）当，即时 ，， 解得（不合题设，舍去）， （2）当，即时 ，， 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：当时，即 原方程可化为：当时，即 原方程可化为： 再分别解方程并检验即可. 【详解】解：当时，即 原方程可化为： 整理得： 即 解得： 经检验：两个根都符合题意； 当时，即 原方程可化为： 整理得： 即 解得： 经检验：与矛盾，舍去， 综上：原方程的根为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用分类讨论的方法解含绝对值的二次方程”是解题的关键. 【巩固训练】 1．若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b的值为（　　） A．﹣57 B．63 C．179 D．181 【答案】D 【分析】首先观察方程，不能用直接开平方法，另外常数项比较大，对于公式法也不太适合，故采用配方法；接下来将常数项移到等号右边，通过配方将方程左边化成完全平方的形式； 然后利用直接开平方法得到方程的解，结合a＞b确定a、b的值，再代入代数式求值即可. 【详解】解：对x2-2x-3599=0移项得， x2-2x=3599， 配方得，x2-2x+1=3599+1， 根据完全平方公式得，(x-1)2=3600， 两边同时开平方得，x-1=60或x-1=-60， 解得x=61或x=-59， 由a、b是该方程的两个根，且a＞b， 所以a=61，b=-59， 则2a-b=2×61-(-59)=181. 故选D. 【点睛】掌握解一元二次方程的方式是解答本题的关键. 2．（24-25八年级下·广西梧州·期中）解关于的方程得（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可． 直接运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 故选B． 3．（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意． 现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：根据定义运算可得， 即为， 即， ，， 则方程的根为或． 故选：． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根的含义可判断①③④，一元二次方程的根的判别式可判断②，从而可得答案． 【详解】解：①当x=1时，a×+b×1+c=a+b+c=0， 那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根， 此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确． ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0， 故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确． ③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0， 则ac+b+1=0；当c=0， 则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确． ④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0， 由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0． 由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确． 综上：正确的有①②④，共3个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式，等式的性质是解决本题的关键． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及换元法的应用，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．将方程两边同时除以（，若，代入方程得，则，与矛盾），转化为关于的一元二次方程，再求解． 【详解】解：∵，， ∴，方程两边同时除以得： ， 设，则方程变为， ， ∴或， 解得或，即或， 故答案为：或． 9．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 10．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用公式法进行求解即可； （3）利用公式法进行求解即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ， ∴， ∴，； （3）解：， ， ∴， ∴，； （4）解：， ， ， 或， ∴，． 【强化训练】 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 4．（2026春•寿县月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），系数a，b，c满足9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3 【分析】根据9a+3b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，得到当x＝±3时，满足一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），即可得出结果． 【解答】解：当x＝±3时，使一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）成立， 即方程的解为x1＝3，x2＝﹣3． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2021·广东·中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程 【详解】设与交点为， 根据题意 则 的对称轴为 故设 则方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键 6．（九年级下·山东德州·开学考试）若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】一元二次方程有两个不相等实数根需同时满足两个条件：①二次项系数不为0，保证是一元二次方程；②判别式，保证两根不等．联立两个不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：由原方程是关于的一元二次方程， ， 解得：， 又原方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 即的取值范围是：且． 7．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 8．（24-25九年级上·湖南·阶段检测）阅读材料： 解方程时，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为．①解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解答下列问题： (1)填空：在由原方程得到①的过程中，利用______达到了降次的目的，体现了化归的数学思想． (2)解方程： ①； ②． 【答案】(1)换元 (2)①，；②，，， 【分析】本题考查了用换元法解方程． （1）利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）①设，把方程化为，求出，再代入，求出的值； ②设，把方程转为，求出，再代入，求出的值． 【详解】（1）解：原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元； （2）解：①设， 则方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，此方程无实数根， 原方程的解是：，； ②设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：，， ∴原方程的解为：，，，． 9．先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 10．（2026春•浙江期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2+3x+2＝0是否为“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 【分析】（1）根据所给“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“邻根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“邻根方程”的定义得出a，b的关系，再据此进行计算即可． 【解答】解：（1）由x2+3x+2＝0得， x1＝﹣2，x2＝﹣1． 因为﹣1﹣（﹣2）＝1， 所以该方程是“邻根方程”； （2）由x2﹣（m+2）x+2m＝0得， x1＝m，x2＝2． 因为该方程是“邻根方程”， 则当m＞2时，m﹣2＝1， 解得m＝3； 当m＜2时，2﹣m＝1， 解得m＝1， 综上所述，m的值为1或3； （3）由ax2+bx+2＝0得， x． 因为该方程是“邻根方程”， 所以， 整理得，b2＝a2+8a． 因为t＝12a﹣b2， 所以t＝12a﹣（a2+8a）＝﹣a2+4a， 所以当a时， t取得最大值为﹣22+4×2＝4， 所以t的最大值为4． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、解一元二次方程﹣因式分解法及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及理解所给定义是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $