期末综合冲刺卷·数学(六)-【步步维赢】2025-2026学年高一下学期数学期末综合冲刺卷

∴.DE=AE=√2. 在直角三角形AEB中，BE=√AB2-AE=√2， ∴.BC=DE=√2，CD=BE=√2， 六直角梯形ABCD的面积为2(AD+BC)·CD=3, Vp-AD=3Sam·PE=E 18.解：(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据 落在各小组内的频率大小的， 因此第二小组的频率为2+4+17+15+9+3 =0.08. 因为第二小组的频率=第二小组的频数 样本容量 所以样本容量-第三小组的频数12 第二小组的频率-0.08=150， (2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标 17+15+9+3 率约为2+4+17+15+9十3X100%=88%. 19.解：(1)证明：因为点M,N分别为AE,AD的中点， 所以MN∥DE. 因为四边形BCDE为正方形，所以BC∥DE,所以 MN∥BC. 因为MN亡平面ABC,BCC平面ABC, 所以MN∥平面ABC. (2)证明：因为平面ABE⊥底面BCDE,DE⊥BE, 所以DE⊥平面ABE. 因为BMC平面ABE,所以DE⊥BM. 因为AB=AE=BE,点M是AE的中点，所以 BM⊥AE. 因为DE∩AE=E,DEC平面ADE,AEC平 面ADE, 所以BM⊥平面ADE. (3)(图略)取BE的中点F,连接AF,DF,过C点作 CP⊥DF,交DE于点P,则点P即为所求作的点. 理由：因为AB=AE=BE,点F是BE的中点， 所以AF⊥BE. 因为平面ABE⊥底面BCDE,所以AF⊥平面 BCDE,所以AF⊥CP.因为CP⊥DF,AF∩DF=F, 所以CP⊥平面ADF. 因为ADC平面ADF, 所以CP⊥AD. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（六） 1.C.m⊥(2m+n),.m·(2m+n)=0, 即2m2+m·n=0,又.n=4m,∴.2|m+m|· 1 4mcos(m,n〉=一2，结合0≤(m,n〉≤元，所以 ,n〉= 2π.故选C. 31 2.C解法1：如图，取AB的 中点G,连接DG,CG,则易 知四边形DCBG为平行四 边形，所以BC=GD=AD- AG=AD-号AB,A龙=AB+B驼=AB+号BC A店+号（市-号A)=号A店+号Ai,于是B丽 A亦-A丽=名AE-A成=号（号A花+号A)-A店 -子A成+3A成 解法2：B驴=BA+A泸=BA+AE =-AB+2(Aò+2AB+C) =-Ai+2(ò+2Ai+C)》 =-A店+2A市+A店+。(C市+Di+A =-号Ai+}.故选C 3.A以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所 示，则B(分0小，C(0.),A市=1,0)+4(0,1D= 1,40,即P(1,4),所以P店=(}-1，-4)，P元 (-1,-4),因此Pi.P心=1--4+16=17 (}+),因为+4≥2√×=4，当且仅当} =4,即：=号时，等号成立，所以Pi.P心的最大值为 13.故选A. 4.B设球O的半径为R, 因为Sa0c+Same=号R2(sin∠A0C+ sin∠BOC),所以当∠AOC=∠BOC=90°时， S△4OC+S△Oc取得最大值，此时OA⊥OC. OB⊥OC,OB∩OA=O,所以OC⊥平面AOB, 所以VQ-Ac=Vc-oB=3OC·2OA·OBsin.∠AOB =Rsim∠AOB-25故选B 5.CA选项中两条直线可能 D 平行也可能异面或相交，对 于B选项，如图，在正方体 ABCD-A1B1CD1中，平 面ABB1A1和平面BCC1B1 与B1D1所成的角相等，但 这两个平面垂直；D选项中 两平面也可能相交.C正确.故选C. 6.A本题为4次独立重复实验，至少有3次通过的概 率为（告）×古+C4(告)广-=器故选N 7.A :12i=1-i,=1=1-21+ 1-i(1-i)(1+i) 多一日=是+子则在复平面内对应的点的 坐标为（侵，），位于第一象限，故选八 8.D“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥， P=PA+P(B=名+日是故选D 9.AB由AB b 得sinB=sinA_4月X号 4 2 又因为b>a,所以∠B=60°或120°.故选AB. 10.BC对于A,和之2可能是相等的复数，故A错 误；对于B,若之1和2是共轭复数，则相加为实数， 不会为虚数，故B正确；对于C,由a十bi=a一bi得 b=0,故C正确；对于D,由题可知，A(-1,2), B(1,-1),C(3,-2),建立等式(3，-2)=(-x十y, 2x-y),即 。x+y=3,解得-1故D错误.故 2x-y=-2,1 y=4, 选BC. 11.BCD设新农村建设前，农村的经济收入为Q,则新 农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后， 各项收入的对比如下表： 新农村 新农村 新农村建设 结论 建设前 建设后 后变化情况 37%X2a 种植收入 60%a 增加 74%a A错 5%×2a= 增加一倍 其他收入 4%a B对 10%a 以上 30%×2a= 养殖收入 30%a 增加了一倍C对 60%a 养殖收入 十第三产 (30%十6%)a (30%十28%) 超过经济收 D对 =36%a X2a=116%a 入2a的一半 业收入 故选BCD. 12 12.解析：设球的半径为R,正方体的棱长为a. 由题意得当正方体体积最大时，a2+(巨。》 (2a=R2, R=9 .所得工件体积与原料体积之比的最大值为 6 (6} 3π 答案 13.解析：因为所求向量与向量a=(1,2)平行，所以可设 所求向量为(x,2x),又因为其模为√5，所以x2十 (2x)2=5,解得x=士1. 因此所求向量为(1,2)或(-1，-2). 答案：(1,2)或(-1，-2) 12 30 14.解析：由题意，得45十15120十a,解得a=30. 答案：30 15.解：设保护区中天鹅的数量为n,假设每只天鹅被捕 到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件 A=(能到带有记号的天搞，则PA)=29第二次 从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号， 由凝率的院计定义可知》=得片以四-品， 解得n=1500,所以该自然保护区中约有天鹅 1500只. 答：该自然保护区中约有天鹅1500只. 16.解：(1)当a>0时，因为r=√/0+a2=a,cos0=0, sin 0=1, 所以0=受，所以ai=a(cos乏+isin). 当a<0时，同为r=√/0+a2=-a, cos0=0,sin0=-1, 所以0=受， 所以ai=-a(cos经+isin）. [a(cos+isin受）a>0), 综上，ai -a(cos3+isin）a<0. (2)因为r=√(W3)2+1=2, 0s0= 所以0=晋，所以5+i=2(cos否+isin君)， (3)因为r=/(-1)2+0=1,cos0=-1,sin0=0, 所以0=元， 所以-1=cosx十isin元. 17.解：(1)由于取出的红球放回，故事件A与B的发生 互不影响，因此事件A与B相互独立.事件A,B能 同时发生，不是互斥事件， (2)设两个白球为a,b,两个红球为1,2，则从袋中取 两个球的所有取法为2={(a,b),(a,1),(a,2), （.1D.,2.1.21,则PA)=音-号PB=吾 PAB)-号 因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互 独立事件，事件A,B能同时发生，不是互斥事件， 18.证明：(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩 形，所以AA1⊥AB,AA1⊥AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线， 所以AA1⊥平面ABC. 因为直线BCC平面ABC,所以AA1⊥BC. 又AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交 的直线，所以BC⊥平面ACCA1. (2)如图，取线段AB的中，点M,连小 接AM,MC,AC,AC1, 设O为A1C,AC1的交，点. 由已知，O为AC1的中，点. 连接MD,OE,则MD,OE分别为 △ABC,△ACC的中位线， 所以MDL号AC.OE号AC 因此MD LOE. 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形， 则DE∥MO. 因为直线DE过平面A1MC,MOC平面A,MC, 所以直线DE∥平面A]MC, 即线段AB上存在一点M(即线段AB的中点)，使直 线DE∥平面AMC. 19.证明：(1)BC∥平面PAD,而BCC平面ABCD, 平面ABCD∩平面PAD=AD,∴.BC∥AD. AD吐平面PBC,BCC平面PBC, .AD∥平面PBC. (2:PA=PB=AB,满足PA2+PB=AB, 2 .PA⊥PB. 由∠ABC=90°知BC⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, ∴.BC⊥平面PAB. 又.PAC平面PAB,∴.BC⊥PA. 又PB∩BC=B,PBC平面PBC,BCC平面PBC, ..PA⊥平面PBC. 又.PAC平面PAD,∴.平面PBC⊥平面PAD. 高一下学期期末综合冲刺卷·数学（七） 1.D依题意得a=1,a·b=1×/2×cos45°=1， |d1=√(a-b)2=Wa2+b2-2a·b=1,c·d=a2-b2 =-1,因此c在d方向上的授彩等于=-1 故选D. 2.B ,所以点 P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过 △ABC的内心.故选B. 3.C如图，由题意可得：点M所 在的圆的方程为：(x一1)2十(y -1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2). 可设点M(x,y),A(0,0), B(2,0). .MA·MB=(-x,-y)· (2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1, 由W(x-1)2+y2∈[0,2]， .MA·MB∈[-1,3].故选C 4.A当直线1与平面a相交时，这条直线与该平面内 任意一条不过交，点的直线均为异面直线，故A正确： 该平面内不存在与直线！平行的直线，故B错误；该平 面内有无数条直线与直线1垂直，所以C错误，平面α 内的直线与l可能异面，故D错误.故选A. 5.C由题意得试验的所有基本事件有(1,2)，(1,3)， (1,1),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本 事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)共3个，由古典概型的概率 公式可知P=品故选C. 6.A延长CD至点H,使DH=1,连接HG,HF,则 HF∥AD,且HF=DA=2√2，又GF=√6，HG=1o, cos∠HFG=8+6-10=E 2XV6X86故选A. .c-岸+2i=-i计i=i1=1.故选C 8.D最后一个景，点甲有6种选法，乙有6种选法，共有 36种，他们选择相同的景点有6种，所以P=希=日 故选D. 3高一下学期期末综合冲刺卷·数学（六） （满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知非零向量m,n满足|n=4|m,且m⊥(2m十n),则m,n的夹角为 如 A晋 B号 c D. 2.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC,E为BC边上一点，BC=3EC,F为AE 的中点，则BF= ( 中 A.号A店-3Ad B}A店号Ad 邻 c. 号a+号0 D号+号a 3.已知A店⊥AC,A店=，AC=,若点P是△ABC所在平面内一点，且AP=A吗 t AB 阳 4AC ,则PB·PC的最大值等于 ACI 翻 A.13 B.15 C.19 D.21 4.已知三棱锥O-ABC的顶点A,B,C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°， 当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O一ABC的体积为 童 B.2® 3 D. 3 6-1 5.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 6,某学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试 4次，至少有3次通过的概率为 A器 256 B.625 C器 64 D.125 7.若复数满足一2i=1一i,则其共轭复数乏在复平面内对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现 2点”，已知P(A)=2,P(B)=石，则“出现奇数点或2点”的概率为 A司 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知在△ABC中，a=4,b=4√3，∠A=30°，则∠B可能为 ( A.60° B.120° C.30° D.150° 10.下列命题正确的是 A.若复数之1,2的模相等，则1，之2是共轭复数 B.之1,2都是复数，若1十2是虚数，则2不是之2的共轭复数 C.复数之是实数的充要条件是之=之（之是之的共轭复数） D.已知复数1=一1十2i,之2=1-i,之=3一2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A, B,C,O为坐标原点，若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x十y=1 6-2 11.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成 比例，得到如下饼图： 第三产业收入 第三产业收入 其他收入 6% 28% 60% 种植 37% 一5网其他收人 30% 收入 养殖收人 30% 养殖收入 建设前经济收人构成比例 建设后经济收人构成比例 则下面结论中正确的是 ( A.新农村建设后，种植收人减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了总经济收入的一半 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料 体积之比的最大值为 13.与向量a=(1,2)平行，且模等于√5的向量为 14.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）： 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴 趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则α的值为 6-3 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出 一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区， 经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的 天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保 护区中天鹅的数量. 16.(15分)请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）. (1)ai(a∈R); 6-4 (2)W3+i; (3)-1. 6-5 17.(15分)一个袋子中有四个球，它们除颜色外其余均相同，其中两个白球，两个红球，讨论 下列事件A,B的相互独立性与互斥性. (1)从袋中取一个球，事件A:取出的这一个球为红球；事件B:取出的红球放回后，再从 中取一球为白球 (2)从袋中取两个球，事件A:取出的两球为一白球一红球；事件B:取出的两球中至少一 个白球. 6-6 18.(17分)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为 A C B E 矩形. (1)若AC⊥BC,求证：直线BC⊥平面ACC1A1. (2)若D,E分别是线段BC,CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥ 平面A,MC?请证明你的结论. 6-7 19.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,BC∥ 平面PAD,∠ABC=90,PA=PB-号AB.求证： (1)AD∥平面PBC; (2)平面PBC⊥平面PAD. 6-8