奥数培优·第5讲 乘方个位数与余数周期规律（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第5讲 乘方个位数与余数周期规律前言 教学目标 英国数学家、哲学家怀特黑德说："数学是模式的科学。" 在数学的世界里，充满了各种各样的规律和模式。有些规律藏在数字的个位里，有些规律藏在除法的余数里，只要我们善于观察，就能发现它们的秘密！ 你有没有想过这样的问题： 2的100次方，个位数字是几？ 3的2020次方除以7，余数是多少？ 100个3相乘，结果的个位是几？ 这些问题看起来很难，因为数字太大了，我们根本算不出来。但是，只要我们掌握了周期规律，就能轻松找到答案！ 今天，我们就来学习乘方的个位数字规律和余数周期规律。学会了它们，再大的数字，我们也能快速找到答案！ 准备好了吗？让我们一起探索周期的奥秘吧！ 知识与技能： 理解乘方的概念；掌握乘方个位数的变化规律；掌握乘方除以某数的余数周期规律；能运用周期规律解决相关问题。 过程与方法： 通过观察、列表、归纳，发现乘方的周期规律；培养观察能力、归纳能力和逻辑推理能力。 情感态度与价值观： 感受数学规律的奇妙与和谐，激发探索数学的兴趣，培养勇于发现、善于总结的学习品质。 教学重难点 重点： 1. 乘方个位数的三类变化规律 2. 运用周期规律求乘方的个位数字 3. 乘方除以某数的余数周期规律 4. 通用解题四步法（判→找→算→定） 难点： 1. 理解为什么会出现周期规律 2. 余数为0时对应周期的最后一个数字 3. 减法中不够减要借位（加10） 4. 实际问题转化为数学问题 【高频易错总提示】 1. 周期记错：0、1、5、6周期是1（不变）；4、9周期是2；2、3、7、8周期是4。别记混了！ 2. 余数为0：指数除以周期，余数为0时，对应周期的最后一个数字，不是第一个！ 3. 减法借位：求差的个位数字时，如果不够减，要向十位借1（相当于加10）再减。 4. 只看个位：求乘方的个位数字，只看底数的个位，前面的数字不用管！ 5. 余数周期：求除以某数的余数，不能直接用个位数字，要列表找余数周期。 6. 忘记验证：做完题可以用小指数验证一下周期对不对，避免出错。 一、知识点总结 （一）乘方的基本概念 平方：一个数与它本身相乘，叫做这个数的平方，记作 a²，即 a² = a × a。 例：3² = 3 × 3 = 9 立方：三个相同的数相乘，叫做这个数的立方，记作 a³，即 a³ = a × a × a。 例：2³ = 2 × 2 × 2 = 8 n次方：n个相同的数a相乘，叫做a的n次方，记作 aⁿ，即： aⁿ = a × a × a × … × a（共n个a相乘） 其中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ叫做幂。 【小提示】 求乘方的个位数字，只需要看底数的个位数字，因为积的个位数只与两个因数的个位数有关。 比如：67⁹⁹⁹的个位数字，只看7⁹⁹⁹的个位就行，6不用管！ （二）乘方个位数的变化规律 根据个位数字的不同，变化规律分为三类： 类别 个位数字 周期长度 周期循环 特点 第一类 0、1、5、6 1（不变） 0；1；5；6 无论多少次方，个位都不变 第二类 4、9 2 4、6；9、1 奇数次和偶数次交替 第三类 2、3、7、8 4 2、4、8、6；3、9、7、1；7、9、3、1；8、4、2、6 每4次一循环 【记忆小口诀】 0、1、5、6永不变， 4、9周期是2， 2、3、7、8周期4， 记住规律好计算！ （三）乘方个位数的运算 求多个乘方相加、相减、相乘的个位数字，方法是： 1. 分别求出每个乘方的个位数字； 2. 再对这些个位数字进行相应的运算； 3. 取结果的个位数字。 【注意】 加法：个位相加，取和的个位 减法：如果不够减，要向十位借1（即加10）再减 乘法：个位相乘，取积的个位 （四）乘方除以某数的余数规律 乘方除以某数的余数，也会随着指数的增大而出现周期性变化。 找余数周期的方法： 1. 从指数1开始，依次计算除以除数的余数； 2. 当余数重复出现时，就找到了周期； 3. 用指数除以周期，根据余数确定对应位置。 【小技巧】快速算余数 计算下一个余数时，不需要算出完整的乘方，只需用上次的余数 × 底数，再除以除数取余数即可。 例：求3ⁿ ÷ 7的余数 3¹÷7余3 → 3×3=9，9÷7余2 → 2×3=6，6÷7余6 → 6×3=18，18÷7余4……，这样算又快又准！ （五）通用解题步骤（速记：判→找→算→定） 1. 判类型：判断是求个位数字还是求余数； 2. 找周期：根据个位数字或除数，确定周期长度； 3. 算余数：用指数除以周期，算出余数； 4. 定结果：根据余数，找到对应的个位数字或余数。 【特别提醒】 余数为0时，对应周期的最后一个数字！ 比如：周期是4，余数是0，对应第4个数字（最后一个）。 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 单个乘方的个位数字】★基础 【题目】 求 67⁹⁹⁹ 的个位数字。 【解题思路】 求乘方的个位数字，只看底数的个位。67的个位是7，7的乘方个位数字周期为4（7、9、3、1）。用999除以4，看余数是几，就对应周期中的第几个数字。 （说明：余数为0对应最后一个。） 【完整解析】 1. 确定底数个位： 67的个位数字是7。（只看个位，前面的6不用管） 2. 找周期： 个位是7，属于第三类（2、3、7、8），周期为4。 循环顺序：7、9、3、1。 验证：7¹=7（个位7），7²=49（个位9），7³=343（个位3），7⁴=2401（个位1），7⁵=16807（个位7）……周期正确 ✓ 3. 算余数： 999 ÷ 4 = 249 …… 3 余数是3，说明对应周期中的第3个数字。 4. 定结果： 周期中第3个数字是3。 所以 67⁹⁹⁹ 的个位数字是3。 答：67⁹⁹⁹ 的个位数字是3。 【随堂小练1】 求下列各数的个位数字： （1）25⁵⁰ 的个位数字是几？ （2）34⁶⁷ 的个位数字是几？ （答案见本讲末尾） 【方法总结】 单个乘方个位数字解题步骤： 1. 看底数的个位数字（前面的不用管） 2. 判断属于哪一类，确定周期长度 3. 用指数除以周期，算出余数 4. 余数是几，就是周期中第几个数字 5. 余数为0时，就是周期中最后一个数字 6. 用小指数验证一下周期对不对 【例2 两个乘方相加的个位数字】★★提升 【题目】 求 2⁹¹ + 3²⁹¹ 的个位数字。 【解题思路】 分别求出2⁹¹和3²⁹¹的个位数字，再把两个个位数字相加，取和的个位数字。 【完整解析】 求 2⁹¹ 的个位数字： 个位是2，属于第三类，周期为4，循环顺序：2、4、8、6。 91 ÷ 4 = 22 …… 3 余数是3，对应第3个数字8。 所以 2⁹¹ 的个位数字是8。 求 3²⁹¹ 的个位数字： 个位是3，属于第三类，周期为4，循环顺序：3、9、7、1。 291 ÷ 4 = 72 …… 3 余数是3，对应第3个数字7。 所以 3²⁹¹ 的个位数字是7。 求和的个位数字： 8 + 7 = 15 15的个位数字是5。 所以 2⁹¹ + 3²⁹¹ 的个位数字是5。 验证： 2³=8（个位8），3³=27（个位7），8+7=15（个位5）✓ 答：2⁹¹ + 3²⁹¹ 的个位数字是5。 【随堂小练2】 求下列各式的个位数字： （1）5²⁰ + 6³⁰ 的个位数字是几？ （2）7¹⁵ + 8²³ 的个位数字是几？ （答案见本讲末尾） 【方法总结】 多个乘方相加个位数字解题步骤： 1. 分别求出每个乘方的个位数字 2. 把这些个位数字相加 3. 取和的个位数字，就是答案 4. 注意：加起来可能超过10，只取个位就行 【例3 两个乘方相减的个位数字】★★提升 【题目】 求 28¹²⁸ - 29²⁹ 的个位数字。 【解题思路】 分别求出28¹²⁸和29²⁹的个位数字，再相减。注意：如果不够减，要向十位借1（加10）再减。 【完整解析】 求 28¹²⁸ 的个位数字： 个位是8，属于第三类，周期为4，循环顺序：8、4、2、6。 128 ÷ 4 = 32 …… 0 余数是0，对应周期的最后一个数字6。 所以 28¹²⁸ 的个位数字是6。 求 29²⁹ 的个位数字： 个位是9，属于第二类，周期为2，循环顺序：9、1。 29 ÷ 2 = 14 …… 1 余数是1，对应第1个数字9。 所以 29²⁹ 的个位数字是9。 求差的个位数字： 6 - 9 不够减，怎么办？ 向十位借1，相当于加10：16 - 9 = 7 所以 28¹²⁸ - 29²⁹ 的个位数字是7。 验证： 8⁴=4096（个位6），9¹=9（个位9），6-9不够减，借位后16-9=7 ✓ 答：28¹²⁸ - 29²⁹ 的个位数字是7。 【易错点提醒】 减法中如果个位不够减，一定要借位（加10）再减！ 不能直接用大数减小数，因为个位相减的结果可能是负数。 比如：6-9不能直接算成3，要算成16-9=7。 【随堂小练3】 求下列各式的个位数字： （1）5⁴⁰ - 3²⁵ 的个位数字是几？ （2）4⁵⁰ - 6³⁰ 的个位数字是几？ （答案见本讲末尾） 【方法总结】 两个乘方相减个位数字解题步骤： 1. 分别求出被减数和减数的个位数字 2. 如果被减数个位 ≥ 减数个位，直接相减 3. 如果被减数个位 < 减数个位，被减数个位加10再减 4. 结果就是差的个位数字 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 【拓展1 乘方除以某数的余数】★★★拔高 【题目】 求下列各除法运算所得的余数： （1）78⁵⁵ ÷ 5 （2）5⁵⁵ ÷ 3 【解题思路】 第（1）题：除以5的余数只与个位数字有关，先求78⁵⁵的个位数字，再求除以5的余数。 第（2）题：除以3的余数不能直接用个位数字判断，需要列表找余数的周期规律。 【完整解析】 （1）78⁵⁵ ÷ 5 求个位数字： 78的个位是8，周期为4，循环顺序：8、4、2、6。 55 ÷ 4 = 13 …… 3 余数是3，对应第3个数字2。 所以 78⁵⁵ 的个位数字是2。 求除以5的余数： 个位是2的数，除以5的余数就是2。 （因为10的倍数都能被5整除，剩下个位数字就是余数） 所以 78⁵⁵ ÷ 5 的余数是2。 验证： 8³=512，个位是2，512÷5=102余2 ✓ （2）5⁵⁵ ÷ 3 列表找余数周期： 5¹ = 5，5 ÷ 3 = 1 …… 2 5² = 25，25 ÷ 3 = 8 …… 1 5³ = 125，125 ÷ 3 = 41 …… 2 5⁴ = 625，625 ÷ 3 = 208 …… 1 …… 找周期： 余数按2、1循环出现，周期为2。 算余数： 55 ÷ 2 = 27 …… 1 余数是1，对应周期中第1个数字2。 结论： 所以 5⁵⁵ ÷ 3 的余数是2。 验证： 5¹=5，5÷3=1余2；5²=25，25÷3=8余1；5³=125，125÷3=41余2 ✓ 周期正确 答：（1）余数是2；（2）余数是2。 【方法总结】 乘方除以某数的余数解题技巧： 1. 除以2、5、10：可以直接看个位数字 2. 除以其他数：需要列表找余数周期 3. 找周期小技巧：用上次的余数×底数，再除以除数取余数 4. 找到周期后，用指数÷周期，看余数定结果 【拓展2 实际应用——细菌分裂问题】★★★拔高 【题目】 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细菌分裂成3个细菌。20小时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？ 【解题思路】 1小时后有3¹个，2小时后有3²个……20小时后有3²⁰个。本题相当于求3²⁰ ÷ 7的余数。 【完整解析】 分析题意： 1小时后：1×3 = 3¹（个） 2小时后：3¹×3 = 3²（个） 3小时后：3²×3 = 3³（个） …… 20小时后：3²⁰（个） 转化为数学问题： 求 3²⁰ ÷ 7 的余数。 列表找余数周期： 3¹ = 3，3 ÷ 7 = 0 …… 3 3² = 9，9 ÷ 7 = 1 …… 2 3³ = 27，27 ÷ 7 = 3 …… 6 3⁴ = 81，81 ÷ 7 = 11 …… 4 3⁵ = 243，243 ÷ 7 = 34 …… 5 3⁶ = 729，729 ÷ 7 = 104 …… 1 3⁷ = 2187，2187 ÷ 7 = 312 …… 3 …… 找周期： 余数按3、2、6、4、5、1循环出现，周期为6。 算余数： 20 ÷ 6 = 3 …… 2 余数是2，对应周期中第2个数字2。 结论： 3²⁰ ÷ 7 的余数是2。 所以20小时后，每7个分为一组，还剩下2个细菌。 验证： 3¹=3，3÷7余3；3²=9，9÷7余2；3³=27，27÷7余6；3⁶=729，729÷7=104余1；3⁷=2187，2187÷7=312余3 ✓ 周期正确 答：还剩下2个细菌。 【随堂小练4】 （1）求 4⁵⁰ ÷ 3 的余数是多少？ （2）有一个池塘，里面的睡莲每天长大一倍，10天能长满整个池塘。第几天长满半个池塘？（★★思考题） （答案见本讲末尾） 【方法总结】 实际问题解题步骤： 1. 读懂题意，找出数量关系 2. 把实际问题转化为数学问题 3. 运用周期规律解决 4. 检验答案是否合理 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 余数为0时对应错位置】★★提升 【题目】 求 2¹⁰⁰ 的个位数字。 常见错误： 有同学这样算： 个位是2，周期4，循环：2、4、8、6 100 ÷ 4 = 25 …… 0 "余数是0，对应第0个数字？不对，第1个数字是2！" "答案是2！" 错在哪里？ 余数为0时，应该对应周期的最后一个数字，不是第一个！ 100÷4=25，正好25个周期，第25个周期的最后一个数字就是答案。 正确解法： 个位是2，周期4，循环：2、4、8、6 100 ÷ 4 = 25 …… 0 余数为0，对应周期的最后一个数字6 答案：6 验证：2⁴=16（个位6），2⁸=256（个位6），2¹²=4096（个位6）…… ✓ 【避坑技巧】 ⚠️ 记住：余数为0 = 最后一个！ 可以这样想：第4个、第8个、第12个……都是周期的最后一个，它们除以4余数都是0。 【易错题2 减法忘记借位】★★提升 【题目】 求 3⁵⁰ - 2⁴⁰ 的个位数字。 常见错误： 有同学这样算： 3⁵⁰的个位：3周期4，50÷4=12余2，第2个数字9 2⁴⁰的个位：2周期4，40÷4=10余0，最后一个数字6 9 - 6 = 3 "答案是3！" 等等，这道题是对的呀？哪里错了？ 别急，我们换一道题： 求 2⁵⁰ - 3⁴⁰ 的个位数字。 常见错误： 2⁵⁰的个位：2周期4，50÷4=12余2，第2个数字4 3⁴⁰的个位：3周期4，40÷4=10余0，最后一个数字1 4 - 1 = 3 "答案是3！" 这道也是对的。那容易错的是什么呢？ 再看这道： 求 2⁴⁰ - 3⁵⁰ 的个位数字。 常见错误： 2⁴⁰的个位是6，3⁵⁰的个位是9 6 - 9 = -3 "不对，应该是9-6=3！" "答案是3！" 错在哪里？ 不能直接用大数减小数！ 个位相减不够减时，要向十位借1（加10）再减。 正确解法： 2⁴⁰的个位是6 3⁵⁰的个位是9 6 - 9 不够减，借位：16 - 9 = 7 答案：7 【避坑技巧】 ⚠️ 记住：不够减就借位，加10再减！ 不能直接用大数减小数，因为个位相减的结果是要向十位借位的。 小窍门：如果a < b，那么a - b的个位 = (a + 10) - b 【易错题3 求余数直接用个位】★★★拔高 【题目】 求 7⁵⁰ ÷ 3 的余数。 常见错误： 有同学这样算： "求余数？先求个位数字！" 7的周期4，50÷4=12余2，第2个数字9 个位是9，9÷3=3余0 "余数是0！" 错在哪里？ 除以3的余数，不能直接用个位数字判断！ （只有除以2、5、10才能直接看个位） 比如：13的个位是3，13÷3=4余1，不是0！ 正确解法： 列表找余数周期： 7¹ = 7，7 ÷ 3 = 2 …… 1 7² = 49，49 ÷ 3 = 16 …… 1 7³ = 343，343 ÷ 3 = 114 …… 1 …… 余数永远是1，周期为1 所以 7⁵⁰ ÷ 3 的余数是1 验证：7÷3=2余1，49÷3=16余1，343÷3=114余1 ✓ 避坑技巧 ⚠️ 记住：只有除以2、5、10才能直接看个位！ 除以其他数，一定要列表找余数周期！ 小窍门：除以3的余数，可以用"各位数字之和"来判断，但乘方的话还是找周期更可靠。 五、趣味挑战题 【挑战题 神奇的末位数字】★★★★挑战 同学们，你们知道吗？有一个神奇的规律： 任何整数的5次方，它的个位数字和原数的个位数字相同！ 不信我们来试试： 2⁵ = 32，个位是2，和原数2相同 ✓ 3⁵ = 243，个位是3，和原数3相同 ✓ 7⁵ = 16807，个位是7，和原数7相同 ✓ 9⁵ = 59049，个位是9，和原数9相同 ✓ 是不是很神奇？ 为什么会这样呢？ 因为个位数字的周期最长是4，5次方就相当于多了1次，正好回到原来的数字。 比如2的周期是4（2、4、8、6），第5个就是第1个，也就是2。 🌟 思考题： （1）123⁵的个位数字是几？为什么？ （2）根据这个规律，你能快速说出2025⁵的个位数字吗？ （3）那10次方呢？个位数字会怎样？举例说明。 六、一题多解精选 【经典题 求 9⁹⁹ 的个位数字】★★提升 【题目】 求 9⁹⁹ 的个位数字。 解法一：周期法（推荐） 思路：9的周期是2，奇数次是9，偶数次是1。 步骤： 个位是9，周期为2，循环：9、1 99是奇数，对应第1个数字9 答案：9 解法二：找规律法 思路：算几个小的，看看规律。 步骤： 9¹ = 9（个位9） 9² = 81（个位1） 9³ = 729（个位9） 9⁴ = 6561（个位1） …… 发现：奇数次是9，偶数次是1 99是奇数，所以个位是9 答案：9 解法三：利用5次方规律 思路：利用刚才趣味题中学到的规律——任何数的5次方个位和原数相同。 步骤： 9⁵的个位是9（和原数相同） 9¹⁰ = (9⁵)²，个位是9×9=81的个位，也就是1 9⁹⁹ = 9^(10×9+9) = (9¹⁰)⁹ × 9⁹ (9¹⁰)⁹的个位是1⁹=1 9⁹的个位是9（奇数次） 1×9=9，所以个位是9 答案：9 【方法对比】 解法 优点 缺点 适合场景 周期法 最快，直接套用 需要记住周期 所有题目（推荐首选） 找规律法 最直观，容易理解 慢，需要算好几个 刚学时、忘记周期时 5次方规律法 很巧妙，能拓展思维 步骤多，容易绕晕 学有余力、拓展思维 ✨ 小建议：周期法最快最准，建议大家优先掌握。但多种方法都了解一下，可以互相验证，确保答案正确！ 七、基本练习 （基础必做，建议15分钟完成） 1. 【单个乘方个位】★基础 求下列各数的个位数字： （1）38³⁸ （2）29³⁰ （3）64³¹ （4）17²¹⁵ 2. 【乘方运算个位】★★提升 求下列各式运算结果的个位数字： （1）92²² + 57³¹ （2）6¹⁵ + 4⁸⁷ + 3⁴⁹ （3）4⁶⁹ - 6²¹¹ （4）3⁷ × 4⁸ + 5⁹ × 6¹⁰ 八、拓展练习 （拔高选做，学有余力的同学挑战） 3. 【乘方除以某数的余数】★★★拔高 求下列各除法算式所得的余数： （1）5¹⁰⁰ ÷ 4 （2）8¹¹¹ ÷ 6 （3）4⁸⁸ ÷ 7 九、随堂小练答案 随堂小练1答案 （1）25⁵⁰ 的个位数字 个位是5，属于第一类（0、1、5、6），永远不变。 所以 25⁵⁰ 的个位数字是5。 验证：5¹=5，5²=25，5³=125……个位都是5 ✓ 答：5 （2）34⁶⁷ 的个位数字 个位是4，属于第二类，周期为2，循环：4、6。 67 ÷ 2 = 33 …… 1 余数是1，对应第1个数字4。 所以 34⁶⁷ 的个位数字是4。 验证：4¹=4，4²=16，4³=64…… ✓ 答：4 随堂小练2答案 （1）5²⁰ + 6³⁰ 的个位数字 5²⁰的个位：5永远不变，个位是5 6³⁰的个位：6永远不变，个位是6 5 + 6 = 11，个位是1 所以 5²⁰ + 6³⁰ 的个位数字是1。 答：1 （2）7¹⁵ + 8²³ 的个位数字 7¹⁵的个位：7周期4，15÷4=3余3，第3个数字3 8²³的个位：8周期4，23÷4=5余3，第3个数字2 3 + 2 = 5，个位是5 所以 7¹⁵ + 8²³ 的个位数字是5。 答：5 随堂小练3答案 （1）5⁴⁰ - 3²⁵ 的个位数字 5⁴⁰的个位：5永远不变，个位是5 3²⁵的个位：3周期4，25÷4=6余1，第1个数字3 5 - 3 = 2，够减，不用借位 所以 5⁴⁰ - 3²⁵ 的个位数字是2。 答：2 （2）4⁵⁰ - 6³⁰ 的个位数字 4⁵⁰的个位：4周期2，50÷2=25余0，最后一个数字6 6³⁰的个位：6永远不变，个位是6 6 - 6 = 0，够减 所以 4⁵⁰ - 6³⁰ 的个位数字是0。 答：0 随堂小练4答案 （1）4⁵⁰ ÷ 3 的余数 列表找余数周期： 4¹ = 4，4 ÷ 3 = 1 …… 1 4² = 16，16 ÷ 3 = 5 …… 1 4³ = 64，64 ÷ 3 = 21 …… 1 …… 余数永远是1，周期为1。 所以 4⁵⁰ ÷ 3 的余数是1。 验证：4÷3=1余1，16÷3=5余1 ✓ 答：1 （2）睡莲思考题 第9天长满半个池塘。 因为每天长大一倍，第10天长满，那前一天（第9天）就是一半。 答：第9天 十、基本练习完整分步答案 第1题 求个位数字 （1）38³⁸ 的个位数字 题型：单个乘方个位数字 解析： 个位是8，属于第三类，周期为4，循环：8、4、2、6 38 ÷ 4 = 9 …… 2 余数是2，对应第2个数字4 验证：8²=64（个位4）✓ 答：个位数字是4。 （2）29³⁰ 的个位数字 题型：单个乘方个位数字 解析： 个位是9，属于第二类，周期为2，循环：9、1 30 ÷ 2 = 15 …… 0 余数是0，对应最后一个数字1 验证：9²=81（个位1）✓ 答：个位数字是1。 （3）64³¹ 的个位数字 题型：单个乘方个位数字 解析： 个位是4，属于第二类，周期为2，循环：4、6 31 ÷ 2 = 15 …… 1 余数是1，对应第1个数字4 验证：4¹=4（个位4）✓ 答：个位数字是4。 （4）17²¹⁵ 的个位数字 题型：单个乘方个位数字 解析： 个位是7，属于第三类，周期为4，循环：7、9、3、1 215 ÷ 4 = 53 …… 3 余数是3，对应第3个数字3 验证：7³=343（个位3）✓ 答：个位数字是3。 第2题 求运算结果的个位数字 （1）92²² + 57³¹ 的个位数字 题型：两个乘方相加 解析： 92²²：个位是2，周期4，22÷4=5余2，对应第2个数字4 57³¹：个位是7，周期4，31÷4=7余3，对应第3个数字3 4 + 3 = 7，个位是7 验证：2²=4，7³=343，4+3=7 ✓ 答：个位数字是7。 （2）6¹⁵ + 4⁸⁷ + 3⁴⁹ 的个位数字 题型：三个乘方相加 解析： 6¹⁵：个位是6，永远是6 4⁸⁷：个位是4，周期2，87÷2=43余1，对应第1个数字4 3⁴⁹：个位是3，周期4，49÷4=12余1，对应第1个数字3 6 + 4 + 3 = 13，个位是3 验证：6+4+3=13 ✓ 答：个位数字是3。 （3）4⁶⁹ - 6²¹¹ 的个位数字 题型：两个乘方相减 解析： 4⁶⁹：个位是4，周期2，69÷2=34余1，对应第1个数字4 6²¹¹：个位是6，永远是6 4 - 6 不够减，借位：14 - 6 = 8 验证：4-6不够减，借位后14-6=8 ✓ 答：个位数字是8。 （4）3⁷ × 4⁸ + 5⁹ × 6¹⁰ 的个位数字 题型：乘加混合运算 解析： 3⁷：个位是3，周期4，7÷4=1余3，对应第3个数字7 4⁸：个位是4，周期2，8÷2=4余0，对应最后一个数字6 第一部分个位：7 × 6 = 42，个位是2 5⁹：个位是5，永远是5 6¹⁰：个位是6，永远是6 第二部分个位：5 × 6 = 30，个位是0 总和个位：2 + 0 = 2 验证：7×6=42（个位2），5×6=30（个位0），2+0=2 ✓ 答：个位数字是2。 十一、拓展练习完整分步答案 第3题 求除法算式的余数 （1）5¹⁰⁰ ÷ 4 的余数 题型：乘方除以某数的余数 解析： 列表找余数周期： 5¹ = 5，5 ÷ 4 = 1 …… 1 5² = 25，25 ÷ 4 = 6 …… 1 5³ = 125，125 ÷ 4 = 31 …… 1 …… 余数永远是1，周期为1 所以 5¹⁰⁰ ÷ 4 的余数是1 验证：5÷4=1余1，25÷4=6余1，125÷4=31余1 ✓ 答：余数是1。 （2）8¹¹¹ ÷ 6 的余数 题型：乘方除以某数的余数 解析： 列表找余数周期： 8¹ = 8，8 ÷ 6 = 1 …… 2 8² = 64，64 ÷ 6 = 10 …… 4 8³ = 512，512 ÷ 6 = 85 …… 2 8⁴ = 4096，4096 ÷ 6 = 682 …… 4 …… 余数按2、4循环，周期为2 111 ÷ 2 = 55 …… 1 余数是1，对应第1个数字2 验证：8÷6=1余2，64÷6=10余4，512÷6=85余2 ✓ 答：余数是2。 （3）4⁸⁸ ÷ 7 的余数 题型：乘方除以某数的余数 解析： 列表找余数周期： 4¹ = 4，4 ÷ 7 = 0 …… 4 4² = 16，16 ÷ 7 = 2 …… 2 4³ = 64，64 ÷ 7 = 9 …… 1 4⁴ = 256，256 ÷ 7 = 36 …… 4 …… 余数按4、2、1循环，周期为3 88 ÷ 3 = 29 …… 1 余数是1，对应第1个数字4 验证：4÷7余4，16÷7余2，64÷7余1，256÷7余4 ✓ 答：余数是4。 十二、本讲总结（思维导图速记） 🗺️ 知识地图 📋 核心规律速查表 个位数字 周期 循环顺序 记忆口诀 0 1 0 永远是0 1 1 1 永远是1 5 1 5 永远是5 6 1 6 永远是6 4 2 4、6 奇4偶6 9 2 9、1 奇9偶1 2 4 2、4、8、6 2486循环 3 4 3、9、7、1 3971循环 7 4 7、9、3、1 7931循环 8 4 8、4、2、6 8426循环 ⚠️ 避坑清单 1. ❌ 周期记错 → 0、1、5、6周期1；4、9周期2；2、3、7、8周期4 2. ❌ 余数为0对应第一个 → 余数为0对应最后一个！ 3. ❌ 减法直接大数减小数 → 不够减要借位（加10）再减 4. ❌ 求所有余数都看个位 → 只有除以2、5、10才看个位，其他要找周期 5. ❌ 只看底数不看个位 → 求个位数字，只看底数的个位！ 6. ❌ 不验证 → 用小指数验证一下周期对不对 💡 解题小口诀 【乘方个位歌】 乘方个位有规律，只看个位别着急； 0、1、5、6永不变，4、9周期二； 2、3、7、8周期四，记住顺序好计算； 指数除以周期数，余数是几第几个； 余数为0最后一个，这个一定要记牢； 加减乘除看个位，不够减时就借位； 做完验证一下下，保证正确不犯错！ 【余数周期歌】 求余数，找周期，从一开始依次算； 上次余数乘底数，除以除数取新余； 余数重复出现时，周期就被找到了； 指数除以周期数，看余数来定结果； 除以二五十看个位，其他除数找周期； 周期规律真奇妙，难题都能变简单！ 【本讲收获】 ✅ 掌握了乘方个位数的三类变化规律 ✅ 能运用周期规律求乘方的个位数字 ✅ 掌握了乘方除以某数的余数周期规律 ✅ 能运用周期规律解决实际问题 ✅ 培养了观察能力和归纳推理能力 ✅ 体会了"化繁为简"的数学思想 继续加油，你会越来越棒！💪 学科网（北京）股份有限公司 $