奥数培优专题05 商的近似数与实际问题（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

本讲义聚焦商的近似数与实际问题核心知识点，系统梳理四舍五入法求近似值、进一去尾法场景应用、小数除法规律探索、相遇与平均速度问题四大考点，构建“精度取值—场景适配—规律探究—模型应用”完整体系，为后续复合应用题与方程学习奠定基础。 资料以知识体系全景梳理和解题方法图表记忆法为特色，通过分层进阶精练和易错避坑指南，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升小数除法实际应用能力。

专题五 商的近似数与实际问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：四舍五入法求商的近似值 3 考点二：进一法与去尾法在解决实际问题中的选择 4 考点三：小数除法中的规律探索 5 考点四：用小数除法解决相遇问题 / 平均速度问题 6 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：求近似数除的位数不足，提前四舍五入 8 易错点 2：不分场景一律四舍五入，进一去尾用反 8 易错点 3：循环规律找错周期，余数对应错位 8 易错点 4：平均速度算成速度平均值，概念混淆 8 易错点 5：相遇问题忽略状态，路程对应错误 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、基础夯实篇（8 题） 10 二、能力进阶篇（7 题） 10 三、思维跃迁篇（5 题） 11 第五部分 精准解析 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版五年级上册第三单元的应用核心培优内容，围绕商的近似数取值、实际场景取整、循环规律探究、行程问题应用四大考点展开，建立 “精度取值 — 场景适配 — 规律探究 — 模型应用” 的完整解题体系，掌握四舍五入、场景取整、周期推算、公式建模等核心方法，深化小数除法的实际应用能力，为后续复合应用题与方程学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 四舍五入法求近似数 保留指定小数位数，除到比保留位多一位，按规则取舍 末位判断法、精度对齐法 除的位数不足就取近似值；连续进位时数位处理错误 进一法与去尾法应用 装瓶、租车类用进一法，裁剪、分装类用去尾法，场景适配选择 场景判别法、结果取整法 不分场景一律四舍五入；进一法与去尾法适用场景搞反 小数除法规律探索 特殊除数的循环规律，循环节周期推算，数位数字求和 周期计算法、规律归纳法 循环节找错导致周期偏差；余数与数位对应错位 相遇与平均速度问题 相遇路程公式应用，平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 公式建模法、线段图解法 平均速度误算为速度平均值；相遇问题路程对应关系错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 四舍五入法 商的近似数计算 除到比保留位多一位→看尾数最高位→满 5 进 1 不满舍去 保几位，多除一位，四舍五入取近似值 场景取整法 实际问题取整 判断场景类型→选择进一 / 去尾→结果取整数 装物坐车都进一，裁剪制作都去尾 周期规律法 循环数位推算题 确定循环节长度→除法求余数→对应数位数字 先找周期再求余，余数是几第几位 公式建模法 相遇与平均速度 梳理对应数量关系→代入标准公式→计算结果 相遇同时行，速度和乘时间；平均速度好，总路除以总时 范围推断法 近似数求原数范围 确定四舍最大值、五入最小值→写出取值区间→验证 最大末尾添个 4，最小末位减 1 添 5 三、奥数思维提升 1. 建模思想：取整问题的场景化通用模型 核心要点：生活中所有需要取整数结果的实际问题，都可归为两类标准化模型：剩余部分必须保留的（装物、载人、运货）用进一法；剩余部分不足以完成一份的（裁剪、制作、分装）用去尾法。掌握两类模型即可解决所有同类问题，体现数学建模思想。 示例：油桶装油，剩下的油也需要一个桶，用进一法；布料做衣服，剩下的布不够做一件，用去尾法。不同生活场景对应固定的取整模型，直接套用即可快速判断。 2. 极限思想：近似数的取值边界 核心要点：一个近似数对应着原数的一个取值范围，存在最大值和最小值两个边界，所有区间内的数取近似值后结果一致。通过边界值确定数的取值区间，不用知道准确值就能锁定范围，体现极限思想。 示例：商保留一位小数是 2.5，原商最大是 2.54（四舍得到），最小是 2.45（五入得到），原商就在 2.45 到 2.54 之间。仅凭近似数就能确定原数的上下边界。 3. 周期思想：循环小数的规律复用 核心要点：除数为特定数（如 7、11、13）时，商的循环节有固定的周期序列，数字只是起始位置不同，循环结构完全一致。利用周期规律，不用逐位计算就能推算任意数位的数字，用有限规律把握无限序列。 示例：1÷7=0.142857 循环，2÷7=0.285714 循环，循环节都是 142857 六个数字，仅起始数字不同。掌握一个循环序列就能推算所有除数为 7 的商的任意数位。 4. 转化思想：相遇问题的双体转单体 核心要点：相遇问题中，两人同时行走的路程和等于总路程，可以把两人的速度合并为速度和，将双主体运动转化为单主体运动，把复杂的双变量问题简化为单变量问题，体现转化思想。 示例：甲乙相向而行，甲每小时行 4.5 千米，乙每小时行 5.5 千米，3 小时相遇。总路程可看成一个人以 10 千米 / 时的速度和走 3 小时，直接用速度和乘时间，转化为简单的单一行程问题。 5. 推理思想：平均速度的本质推导 核心要点：平均速度的定义是总路程除以总时间，而非速度的平均值，从定义出发可以推理出不同场景下的计算方法，每一步都有定义依据，培养严谨的逻辑推理能力。 示例：同一段路去时速度 4 千米 / 时，回时速度 6 千米 / 时，平均速度不是 5 千米 / 时。假设路程为 12 千米，总路程 24 千米，总时间 3+2=5 小时，平均速度 24÷5=4.8 千米 / 时，由定义推导得出正确结果。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：四舍五入法求商的近似值 典型例题 1（基础型）—— 保留指定位数取近似值 题目：计算 4.8÷2.3，得数保留一位小数。 思路点拨： ① 保留一位小数，需要除到小数部分第二位（百分位），才能判断取舍； ② 计算得 4.8÷2.3≈2.08，百分位数字是 8，满 5 向十分位进 1； ③ 十分位 0+1=1，最终近似值为 2.1。 【答案】 【知识点睛】求商的近似数，必须除到比保留的位数多一位，再按四舍五入规则取值。 典型例题 2（提高型）—— 近似数反推原数范围 题目：一个三位小数，保留两位小数后是 3.20，这个三位小数最大是多少？最小是多少？ 思路点拨： ① 最大值是 “四舍” 得到 3.20 的情况，千分位最大为 4，即 3.204； ② 最小值是 “五入” 得到 3.20 的情况，千分位最小为 5，百分位需退 1，即 3.195； ③ 验证：3.204≈3.20，3.195≈3.20，均符合要求。 【答案】最大 3.204，最小 3.195 【知识点睛】“四舍” 得到的近似数，原数更大；“五入” 得到的近似数，原数更小。 典型例题 3（奥数型）—— 近似数误差区间推理 题目：商保留两位小数时，小明算得近似值是 4.56，小红发现最后一位数字错了，其他数位都对，正确的商的取值范围是多少？ 思路点拨： ① 百分位错了，说明十分位的 5 正确，正确的近似值可能是 4.55 或 4.56； ② 最小是五入得到 4.55 的最小值 4.545，最大是四舍得到 4.56 的最大值 4.5649…； ③ 因此正确商的范围是 4.545≤正确商＜4.565。 【答案】 【知识点睛】根据近似数的误差范围，可以反推准确商的取值区间，培养区间推理能力。 考点二：进一法与去尾法在解决实际问题中的选择 典型例题 1（基础型）—— 进一法装瓶问题 题目：每个油桶最多装 4.5 千克油，购买 60 千克油，至少需要多少个这样的油桶？ 思路点拨： ① 先计算理论桶数：60÷4.5≈13.33 个； ② 剩余的油也需要一个桶来装，不能舍去，要用进一法取整； ③ 13+1=14 个，至少需要 14 个油桶。 【答案】14 个 【知识点睛】装物、运货、载人类问题，剩余部分也需要一个完整单位，用进一法取整。 典型例题 2（提高型）—— 去尾法制作问题 题目：做一套儿童服装用布 2.2 米，50 米布最多可以做多少套这样的服装？ 思路点拨： ① 先计算理论套数：50÷2.2≈22.73 套； ② 剩下的布不够做一套完整的服装，要直接舍去，用去尾法取整； ③ 最多可以做 22 套。 【答案】22 套 【知识点睛】制作、裁剪、分装类问题，剩余部分不足以完成一份，用去尾法取整。 典型例题 3（奥数型）—— 两种取整方法综合应用 题目：文具厂把铅笔装盒，每盒最多装 12 支，现有 86 支铅笔；剩余的铅笔用笔袋装，每个笔袋最多装 3 支。要把所有铅笔全部装完，最少需要多少个盒子和笔袋？ 思路点拨： ① 先算整盒数量：86÷12=7 盒余 2 支，用去尾法取 7 盒，共装 84 支； ② 剩余 2 支也需要全部装完，用进一法，1 个笔袋即可装下； ③ 最少需要 7 个盒子和 1 个笔袋。 【答案】7 个盒子，1 个笔袋 【知识点睛】同一问题的不同环节可能适用不同的取整方法，需结合场景分别判断。 考点三：小数除法中的规律探索 典型例题 1（基础型）—— 循环节识别与书写 题目：计算 1÷7，指出它的循环节，并写出简便形式。 思路点拨： ① 计算得 1÷7=0.142857142857…； ② 小数部分依次不断重复出现的数字组是 142857，即循环节为 142857； ③ 简便写法：。 【答案】循环节 142857，简便写法 【知识点睛】除数为 7 的商，循环节固定为 6 位的 142857 序列，是经典循环规律。 典型例题 2（提高型）—— 循环数位周期推算 题目：计算 2÷7 的商，小数部分第 100 位上的数字是几？ 思路点拨： ① 2÷7=0.285714285714…，循环节是 285714，周期长度为 6； ② 计算 100 里包含几组循环：组……4 个，余数是 4； ③ 余数为 4，对应循环节第 4 位数字，也就是 7。 【答案】7 【知识点睛】循环数位问题，先确定周期，再用除法求余数，余数对应循环节的第几位。 典型例题 3（奥数型）—— 除法算式规律归纳 题目：观察算式：1÷11=0.0909…，2÷11=0.1818…，3÷11=0.2727…，根据规律，9÷11 的结果是多少？ 思路点拨： ① 规律：除数固定为 11，被除数是几，循环节就是 9 乘几的两位数； ② 9×9=81，因此循环节是 81； ③ 9÷11=0.8181…，即。 【答案】 【知识点睛】除数相同的除法算式，商的循环规律与被除数成固定倍数关系，可类推求解。 考点四：用小数除法解决相遇问题 / 平均速度问题 典型例题 1（基础型）—— 基础相遇问题 题目：两地相距 24 千米，甲乙两人同时从两地相向而行，甲每小时走 4.5 千米，乙每小时走 3.5 千米，几小时后两人相遇？ 思路点拨： ① 相遇问题核心公式：相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和； ② 先算两人速度和：4.5+3.5=8 千米 / 时； ③ 相遇时间：24÷8=3 小时。 【答案】3 小时 【知识点睛】相向而行同时出发的相遇问题，总路程除以速度和等于相遇时间。 典型例题 2（提高型）—— 往返平均速度计算 题目：小明爬山，上山路程是 3.6 千米，上山用了 1.5 小时，下山沿原路返回用了 1 小时，小明往返的平均速度是多少？ 思路点拨： ① 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，往返总路程是 3.6×2=7.2 千米； ② 往返总时间是 1.5+1=2.5 小时； ③ 平均速度：7.2÷2.5=2.88 千米 / 时。 【答案】2.88 千米 / 时 【知识点睛】平均速度必须用总路程除以总时间，不能直接用两个速度求平均值。 典型例题 3（奥数型）—— 未相遇相距问题 题目：甲乙两车同时从相距 330 千米的两地相对开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 50 千米，几小时后两车还相距 30 千米？ 思路点拨： ① 两车还未相遇，共同行驶的路程和为 330-30=300 千米； ② 两车速度和：60+50=110 千米 / 时； ③ 行驶时间：300÷110≈2.73 小时。 【答案】约 2.73 小时 【知识点睛】未相遇的相距问题，总路程要减去剩余的相距距离，再用路程和除以速度和。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：求近似数除的位数不足，提前四舍五入 错误示例：保留两位小数，只除到十分位就开始取近似值，导致百分位判断错误，结果偏差。 正确分析：求商的近似数，必须除到比要保留的位数多一位，才能准确判断尾数是舍还是入。 修正方法：牢记 “保几位，多除一位”，保留 n 位就除到第 n+1 位，再执行四舍五入。 易错点 2：不分场景一律四舍五入，进一去尾用反 错误示例：做衣服用布问题，算出 22.8 套，四舍五入成 23 套，实际布料不足以完成第 23 套。 正确分析：实际问题取整不能全用四舍五入，剩余部分必须保留的用进一，剩余部分无实用价值的用去尾。 修正方法：先判场景：装、运、载人用进一；做、裁、分装用去尾。 易错点 3：循环规律找错周期，余数对应错位 错误示例：把 1÷7 的循环节当成 14285，周期算成 5 位，导致后续数位推算全部错误。 正确分析：需计算到余数重复出现，才能确定完整的循环节，此时周期长度才准确。 修正方法：计算循环小数时，看到余数和之前某一步重复再停止，此时商的循环部分才完整。 易错点 4：平均速度算成速度平均值，概念混淆 错误示例：去时速度 4 千米 / 时，回时速度 6 千米 / 时，平均速度算成 (4+6)÷2=5 千米 / 时，违背定义。 正确分析：平均速度的定义是总路程除以总时间，和速度平均值是完全不同的概念，多数情况下不相等。 修正方法：遇到平均速度问题，先找总路程和总时间，再相除，绝不直接计算速度的平均数。 易错点 5：相遇问题忽略状态，路程对应错误 错误示例：两车还相距一段距离，直接用总路程除以速度和，当成已经相遇的情况计算。 正确分析：要先判断行驶状态，未相遇就用总路程减相距距离，相遇后超出就加相距距离。 修正方法：画线段图分析路程关系，确定实际行驶的总路程，再代入公式计算。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 求商的近似数时，保留整数就要除到________位，保留一位小数就要除到______位。 2. 装油、租车类问题，剩余部分也需要一个单位，用________法取整；做衣服、包装类剩余不够一份，用______法取整。 3. 1÷7 的循环节是________，周期长度是________。 4. 相遇问题中，相遇时间 = 总路程 ÷________。 5. 判断：求商的近似数，只要除到保留的位数就可以了。（ ） 6. 平均速度的计算公式是：平均速度 =________÷________。 7. 判断：所有实际问题取整数，都要用四舍五入法。（ ） 8. 3.8÷1.2 的商保留一位小数约是________。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 计算：2.5÷0.7，得数保留两位小数。 10. 每个纸箱最多装 5.5 千克苹果，要装 40 千克苹果，至少需要多少个纸箱？ 11. 做一个零件需要钢材 0.8 米，现有 60 米钢材，最多可以做多少个这样的零件？ 12. 3÷7 的商的小数部分第 50 位上的数字是几？ 13. 两地相距 36 千米，甲乙两人同时从两地相向而行，甲每小时行 4.8 千米，乙每小时行 4.2 千米，几小时后相遇？ 14. 判断：往返的平均速度等于去时速度加回时速度再除以 2。（ ） 15. 一个两位小数保留一位小数是 5.0，这个两位小数最大是多少？最小是多少？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 一批货物重 70 吨，用载重 4.5 吨的货车运，至少需要运多少次？ 17. 循环小数 0.275275… 的小数部分前 100 位数字的和是多少？ 18. 小明从家到学校的路程是 2.4 千米，上学用了 0.6 小时，放学按原路返回用了 0.4 小时，小明往返的平均速度是多少？ 19. 甲乙两车同时从相距 450 千米的两地相向开出，甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米，几小时后两车还相距 30 千米？ 20. 观察规律：1÷9=0.111…，2÷9=0.222…，根据规律，5÷9=？8÷9=？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】十分；百分 思路点拨： ① 保留到哪一位，就要除到它的下一位，才能判断四舍五入。 【知识点睛】求近似数的除法计算位数要求。 2. 【答案】进一；去尾 思路点拨： ① 剩余必须保留用进一，剩余不足一份用去尾。 【知识点睛】两种取整方法的适用场景。 3. 【答案】142857；6 思路点拨： ① 1÷7 的商是六位循环小数，循环节为 142857。 【知识点睛】经典循环小数的周期特征。 4. 【答案】速度和 思路点拨： ① 相遇问题核心公式：相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和。 【知识点睛】相遇问题的基础公式。 5. 【答案】 思路点拨： ① 必须除到比保留位数多一位，才能判断尾数取舍。 【知识点睛】近似数的计算规范。 6. 【答案】总路程；总时间 思路点拨： ① 平均速度的定义就是总路程与总时间的商。 【知识点睛】平均速度的核心定义。 7. 【答案】 思路点拨： ① 实际问题需结合场景选择进一法、去尾法或四舍五入法。 【知识点睛】取整方法的场景适配性。 8. 【答案】3.2 思路点拨： ① 3.8÷1.2≈3.167，保留一位小数看百分位 6，进 1 得 3.2。 【知识点睛】一位小数近似数的基础计算。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】3.57 思路点拨： ① 保留两位小数，除到千分位：2.5÷0.7≈3.571； ② 千分位是 1，直接舍去； ③ 结果为 3.57。 【知识点睛】两位小数近似数的规范计算。 10. 【答案】8 个 思路点拨： ① 理论箱数：40÷5.5≈7.27 个； ② 剩余苹果也需要一个纸箱，用进一法； ③ 至少需要 8 个纸箱。 【知识点睛】进一法在装货场景的应用。 11. 【答案】75 个 思路点拨： ① 理论个数：60÷0.8=75 个，刚好整除； ② 没有剩余钢材，最多可做 75 个。 【知识点睛】去尾法在制作场景的应用。 12. 【答案】2 思路点拨： ① ，循环节为 428571，周期长度为 6； ② 组……2 个，余数为 2，对应循环节第 2 位数字； ③ 循环节第 2 位数字为 2，因此第 50 位上的数字是 2。 【知识点睛】循环数位问题需准确对应余数与循环节的位次，余数为 n 即对应第 n 位，无余数对应最后一位。 13. 【答案】4 小时 思路点拨： ① 速度和：4.8+4.2=9 千米 / 时； ② 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和； ③ 36÷9=4 小时。 【知识点睛】基础相遇问题的公式应用。 14. 【答案】 思路点拨： ① 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不等于速度的平均值。 【知识点睛】平均速度的概念辨析。 15. 【答案】最大 5.04，最小 4.95 思路点拨： ① 最大是四舍情况，百分位最大为 4，即 5.04； ② 最小是五入情况，百分位最小为 5，十分位退 1，即 4.95； ③ 二者保留一位小数均为 5.0。 【知识点睛】近似数反推原数的极值范围。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】16 次 思路点拨： ① 理论次数：70÷4.5≈15.56 次； ② 剩余货物也需要运一次，用进一法； ③ 至少需要运 16 次。 【知识点睛】进一法在货运场景的应用。 17. 【答案】464 思路点拨： ① 循环节 275，周期 3，100÷3=33 组……1 个，余数为 1； ② 每组数字和：2+7+5=14，33 组总和：33×14=462； ③ 加上余下的第 1 位数字 2，总和：462+2=464。 【知识点睛】循环小数的数字和计算。 18. 【答案】4.8 千米 / 时 思路点拨： ① 往返总路程：2.4×2=4.8 千米； ② 往返总时间：0.6+0.4=1 小时； ③ 平均速度：4.8÷1=4.8 千米 / 时。 【知识点睛】往返平均速度的标准计算。 19. 【答案】3.5 小时 思路点拨： ① 两车共同行驶的路程：450-30=420 千米； ② 速度和：65+55=120 千米 / 时； ③ 行驶时间：420÷120=3.5 小时。 【知识点睛】未相遇状态的相遇问题变式。 20. 【答案】； 思路点拨： ① 规律：除数为 9 时，被除数是几，商就是零点几循环； ② 5÷9=0.555…=，8÷9=0.888…=。 【知识点睛】除数为 9 的循环小数规律探究。 1 学科网（北京）股份有限公司 $