第二十九章圆单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第二十九章圆单元测试卷，适用于单元复习，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖圆的概念、性质、计算及综合应用，融合几何直观与推理能力，突出数学与现实的联系。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题30分|圆的基本性质（直径与弦关系、点与圆位置）、假命题判断|结合格点图形考查圆的位置关系（题3），体现空间观念| |填空题|6题18分|弦长计算（题12筒车）、旋转路径长（题13）、同心圆弦取值范围（题15）|融入传统文化情境（筒车），培养数学眼光观察现实世界| |解答题|8题52分|切线证明（题17）、扇形与圆锥（题19）、实际应用（题23盘秤）、外心重心综合（题24）|分层设计，基础题（17题证明）、提升题（19题圆锥计算）、创新题（23题盘秤情境），综合考查推理能力与应用意识|

第二十九章圆单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．在一个圆中，直径大于任意一条不经过圆心的弦 D．在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 【答案】A 【分析】根据平方的概念，垂径定理，圆的概念，三角形内角和，找出假命题即可． 【详解】解：对于选项A，∵当，时，满足，但，，此时，∴该命题是假命题； 对于选项B，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，同位角均为，同位角相等则两直线平行，该命题是真命题； 对于选项C，圆中直径是最长的弦，因此直径大于任意一条不经过圆心的弦，该命题是真命题； 对于选项D，直角三角形两个锐角和为，若两个锐角都大于，则内角和大于，与直角三角形内角性质矛盾，因此至少有一个锐角不大于，该命题是真命题． 2．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点与圆位置关系得到，结合数轴距离写出，解不等式得到的取值区间，估算值后求解即可． 【详解】解：∵点B在外， ∴． ∵点A、B在数轴上，分别表示和， ∴． ∴． ∴或． ∵， ∴，， ∴的值可能是． 3．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 4．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 5．如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由得，由，根据两直线平行，内错角相等得，再由求出，然后根据即可求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 7．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分．已知小正方形的边长为1，则图中圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定圆心O，连接，根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，从而可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：分别作，的垂直平分线相交于点O，则点O是外接圆的圆心，连接． 由题意得：，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴图中圆弧的长度为：． 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算，勾股定理及其逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 9．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 10．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 13．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 14．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 15．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，由旋转可得，，，再证明，得到，从而得到点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，当点C运动至与的交点处时，取得最小值为，再根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，， ∵，经过点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点C运动至的延长线与的交点处时， 取得最大值为， 当点C运动至与的交点处时， 取得最小值为， 在中，， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题 17．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 18．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 19．如图，已知扇形的半径为10，圆心角为，点是劣弧上的一个动点，连接，，于点，于点，连接． (1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留） (2)求的长度； (3)直接写出的外接圆半径的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了圆锥的侧面积、垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、三角形的外接圆等知识，添加适当的辅助线是关键． （1）根据圆锥的侧面积即为扇形的面积即可求出答案； （2）利用勾股定理求出，再根据垂径定理得到是的中位线，即可求出答案； （3）证明在以为直径的圆上，即可求出的外接圆半径的值． 【详解】（1）解：由题意可得，圆锥的侧面积是 （2）连接， ∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴是的中位线， ∴； （3）连接， ∵于点，于点， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴的外接圆半径的值为． 20．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 21．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 22．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明，得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 23．盘秤是常见称量工具，其指针偏转角度随所称物体质量变化而改变．下表记录了指针转过的角度（单位：度）与称量的物品重量（单位：千克）的对应数值： 重量（单位：千克） 0 1 2 3 指针转过的角度（单位：度） 0 18 36 54 180 (1)___________；写出n与m之间的关系式为___________； (2)指针转过的角度不得超过360度，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； (3)已知盘秤指针的长度为，当称重为的物品时指针划过的扇形面积是多少？ 【答案】(1)10； (2)不会对盘秤造成损伤，理由如下： 当时，，未超过角度上限，故不会对盘秤造成损伤； (3) 【分析】（1）由表格数据可发现指针转过的角度与重量的比值是常数，即可写出关系式，再由关系式即可求解； （2）把代入关系式中求解，再结合题意求解即可； （3）先求出圆心角，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得，， 故当时，， 解得； （2）略 （3）解：当时， ∴指针划过的扇形面积 答：当称重为的物品时指针划过的扇形面积是． 24．已知锐角的外心为，重心为（三条中线的交点），垂心为（三条高线的交点），点为边的中点． (1)求的值； (2)求证：，，三点共线并求出的值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析，3 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的外接圆，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质． （1）根据重心的性质进行求解即可． （2）连接，并延长交外接圆于点M，连接，，，，，，设交于点，，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质可得点是的重心，可得点G与点重合，从而证明G，O，H三点共线；根据相似三角形的性质可得； 【详解】（1）解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， （2）解：（1）连接，并延长交外接圆于点M，连接，，，，，，设交于点，如图， ∵是直径， ∴，是直角， ∴，， 又∵点H是的垂心， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是的中点，点O是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是的重心， ∴点G与点重合， ∴G，O，H三点共线； ∵， ∴， 则， ∴； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章圆单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.下列命题为假命题的是() A.若a>b,则a2>b B.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C.在一个圆中，直径大于任意一条不经过圆心的弦 D.在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45° 2.已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为V2,点B所表示 的实数为b,作以A为圆心，2为半径的OA,若点B在OA外，则b的值可能是() A.-1 B.0 C.2 D.3 3.如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D均在格点上，一条圆弧经过A,B, C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是() D A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.在圆内或圆上 4.下列说法正确的是（) A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B.长度相等的弧是等弧 C.对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D.三个点确定一个圆 5.如图，点C、D在以AB为直径的OO上，连接AC,CD,OC,BD.若OC∥BD, 且∠DBA=50°，则∠BDC的度数为() 试卷第1页，共3页 A.105 B.115° C.120 D.125° 6.已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是() A.6 B.2 C.2或3 D.4或6 7.如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为 格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分.已知小正方形的边长为1，则图中圆 弧的长度为() B 5 57 57 A.2π B.2π-2 c.4π-4 D.2 8.如图，四边形1CD内接于O0,F是上一点，且F=C,连接CF 并延长交AD 的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E的度数为() 0 D B A.45° B.50° C.55° D.60 9.如图，正方形ABCD是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接AF和DF,分别以 E,G AE ABCD 为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形 的中心处，图中阴影部分的 面积是() 试卷第2页，共3页 A.4 B.6 C.2π D.4π 10.如图，长方形的长和宽分别为6cm和2cm,图中阴影部分面积S-S,=5cm 则图中 扇形面积为() S2 A.16πcm3 B.25πcm2 C.15cm2 D.17cm2 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC,∠OAB=60°，则∠ABC的度 数为 A 12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径 可以看作是以轴心O为圆心的⊙0，且圆心在水面上方.在某一时刻，⊙0被水面截得的 弦AB长为6米，过点O作OC⊥AB,交⊙O于点C,交AB于点D,水面下盛水桶的最大 深度为1米（即CD=1米），则⊙0的半径为 米. 试卷第3页，共3页 D B 13.如图，RtAAOB中，∠AB0=90°，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到△A'OB, -3,4) 若点A的坐标为 则点A经过的路径长为 B 14.如图，已知⊙0的半径为4，M是⊙0内一点，且OM=2,则过点M的所有弦中，弦 长是整数的共有 条 M 15.如图，两个同心圆，大圆半径为5cm,小圆的半径为4cm,若大圆的弦AB与小圆有 两个公共点，则AB的取值范围是 16.如图，在平面直角坐标系中，已知 (-1,0),B(3,0,O0经过点A,D是O0上的 一动点，将线段BD绕点B顺时针旋转9O°得到线段BC,连接AC,则AC的取值范围是 试卷第4页，共3页 B 三、解答题 17.乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物⊙O,如图所示，悬挂绳AB、AC分别切 ⊙0 OA 于点B、C,连接 (1)求证：OA垂直平分BC, (2)当BC为40cm,四边形ABOC为正方形时，求⊙0的面积.（结果保留） 18.在矩形ABCD中，AB=6,AD=8 A D (I)若以A为圆心，8长为半径作⊙A,则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A,使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则OA的半 径r的取值范围是 19.如图，已知扇形AOB的半径为10，圆心角为90°，点C是劣弧AB上的一个动点，连 接AC,BC,OD⊥AC于点D,OE⊥BC于点E,连接DE, 试卷第5页，共3页 D (1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留π） (2)求DE的长度： (3)直接写出△ODE的外接圆半径R的值. 20.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点， AB=8,CD=6 (1)直接写出BD的长为， (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长 21.如图，扇形的圆心角为60°，其弧长是4πcm, (1)求此弧所在圆的半径长： (②)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高OD是 cm 22.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AB是⊙0的直径，点E在AB的延长线上， 连接OC,CE,∠DCB=2∠ABC 试卷第6页，共3页 图① 图② (I)如图①，求证：AD∥OC: BC=BE=4,AE=3BE (2)如图②，若 ,求BC的长 23.盘秤是常见称量工具，其指针偏转角度随所称物体质量变化而改变.下表记录了指针 转过的角度n(单位：度)与称量的物品重量m(单位：千克)的对应数值： 重量m(单 0 b 位：千克) 指针转过的 角度n(单 0 18 36 54 180 位：度) (1)b=】 写出n与m之间的关系式为 (2)指针转过的角度不得超过360度，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损 伤吗？说说你的理由； (3)已知盘秤指针的长度为10cm,当称重为4kg的物品时指针划过的扇形面积是多少？ 24.己知锐角△ABC的外心为O,重心为G(三条中线的交点)，垂心为H(三条高线的 交点)，点D为边BC的中点. 试卷第7页，共3页 GH B D AG (I)求GD的值： OH (②)求证：0，G,H三点共线并求出OG的值. 试卷第8页，共3页