匀变速直线运动的研究 同步练习二 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

**基本信息** 聚焦匀变速直线运动规律应用，以七类专题分层设计，从单一比例规律到综合追及问题，梯度递进巩固物理观念与科学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |连续相等时间/位移比例规律|初速度为零匀变速比例关系|基础选择，强化运动观念| |停车计算/逆向思维|刹车运动、逆向转换模型|中档计算，培养科学推理| |提前停止/避免碰撞|刹车临界条件、安全距离|情境应用题，提升论证能力| |变速追匀速|追及相遇综合分析|复杂计算题，深化模型建构|

匀变速直线运动的研究 同步练习二 一．连续相等时间内的运动比例规律（共3小题） 1．如图所示，做匀加速直线运动的物体依次经过A、B、C、D四点。已知物体通过AB、BC、CD的时间分别为t、2t、2t，AB段长为L1，CD段长为L2，下列说法正确的是（　　） A．物体运动的加速度大小为 B．BC段长度为 C．物体通过C点的速度大小为 D．物体通过B点的速度大小为 2．如图所示，四个相同滑块间隔相同时间，从无限长光滑斜面顶端静止滑下，则下列说法正确的是（　　） A．当第四个滑块滑下一段时间后，从上端开始四个滑块间的距离之比可能为1：2：3 B．当第四个滑块滑下一段时间后，从上端开始四个滑块间的距离之比可能为1：3：5 C．当第四个滑块滑下一段时间后，从上端开始四个滑块间的距离之比可能为1：4：9 D．当第四个滑块滑下时，从上端开始四个滑块间的距离比可能为5：3：1 3．一个做自由落体运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是t、2t、3t，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是（　　） A．1：23：33 1：22：32 B．1：22：32 1：2：3 C．1：2：3 1：1：1 D．1：3：5 1：2：3 二．连续相等位移内的运动比例规律（共2小题） 4．一固定的光滑斜面上放一物体从A点由静止，经过B、C、D、E，其中AB＝BC＝CD＝DE，物体运动到E点速度为v、所用时间为t，下列说法正确的是（　　） A．物体在B点速度为 B．物体在C点速度为 C．物体运动到C点所用时间为 D．物体由D运动到E点所用时间为 5．把自由下落物体的总位移分成相等的三段，则由上到下顺次经过这三段位移所需的时间之比是（　　） A．3：2：1 B．1：： C．1：（）：（） D．：：1 三．计算停车的时间、速度或位移（共2小题） 6．如图甲，某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习定点停车驾驶技术，汽车运动的v﹣t图像如图乙所示。汽车在前4s内从静止开始做匀加速直线运动，4s内位移为16m，4s～10s内，汽车做匀速运动，10s～15s内，汽车做匀减速直线运动，t＝15s时汽车恰好停在停车点位置。汽车可看作质点。求： （1）汽车在4s末的速度vt大小； （2）10s～15s内，汽车做匀减速直线运动的加速度． 7．如图所示，一平板车在水平路面上以速度v0＝15m/s匀速行驶，在车厢平板中央放有一个货箱一起随车匀速运动，货箱与前挡板之间的距离x0＝5m，货箱和车厢之间的动摩擦因数μ＝0.24（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力），取g＝10m/s2。 （1）匀速行驶过程中，货箱受到的摩擦力为多大？ （2）若平板车突然以大小为3m/s2的加速度刹车，求当平板车刚停止时货箱的速度； （3）若平板车突然以大小为3m/s2的加速度刹车，请通过计算说明货箱是否会碰到挡板。 四．逆向思维法求解匀减速直线运动（共3小题） 8．子弹垂直射入叠在一起的相同木板，穿过第20块木板后的速度变为0。可把子弹视为质点。且子弹在各块木板中运动的加速度都相同，子弹在木板中运动的总时间是t。则子弹穿过前15块木板所用的时间为：（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块（即D位置）时速度恰好为零，子弹可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．子弹通过每一个木块时，其速度变化量均相同 B．子弹到达各点的速率vO：vA：vB：vC＝4：3：2：1 C．子弹从O运动到D全过程的平均速度等于C点的瞬时速度 D．子弹从进入木块到到达各点经历的时间 10．某汽车以速度v0匀速行驶，发现前方有行人准备过斑马线，立即刹车礼让行人。若刹车过程中汽车做匀减速直线运动，经时间t停止。求： （1）刹车时的加速度大小a； （2）刹车过程中的位移大小x。 五．提前停止类问题（共2小题） 11．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1s内和第2s内位移大小依次为11m和9m，则刹车后8s内的位移是（　　） A．20m B．64m C．30m D．36m 12．一辆汽车以20m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因故突然紧急刹车做匀减速运动，加速度大小是5m/s2。求： （1）汽车刹车2s时的速度v； （2）汽车刹车后5s内的位移x。 六．避免碰撞类问题（共2小题） 13．新交通法提倡机动车礼让行人。某司机开车以8m/s速度行驶到距离斑马线还有12m时，发现有行人准备过斑马线，经0.5s反应时间后刹车礼让行人，汽车做匀减速运动的加速度大小为2m/s2，求： （1）汽车刹车2s后速度的大小； （2）该汽车从开始到停下总共通过的距离； （3）为了让汽车能在斑马线前刹停，加速度至少多大。 14．如图所示，水平地面上一辆平板车以v＝3m/s的速度向前匀速行驶，t＝0时刻，在平板车前端M点的正前方S＝4m距离处有一个小球在离地面H＝10.5m高度处正以v0＝5m/s的初速度竖直向上抛出。已知平板车上表面离地高度为h＝0.5m，车身长度L＝5m，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。 （1）求小球运动过程中距离地面的最大高度； （2）求小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离； （3）为了避免小球落在平板车上，小球竖直向上抛出的同时，小车开始做匀加速直线运动，求平板车的加速度大小a所满足的条件。 七．变速物体追匀速物体问题（共3小题） 15．汽车甲以速度v1＝6m/s在平直公路上匀速行驶，某时刻司机发现正前方有一辆汽车乙开始启动并做匀加速运动，为防止两车相撞，甲车司机立即刹车使车做匀减速运动，以此时为0时刻，两车运动的v﹣t图像如图所示。运动过程中甲车恰好没有撞上乙车，忽略两车大小。求： （1）两车运动的加速度大小； （2）从汽车甲刹车到停止的过程中两车间的最远距离。 16． 两辆汽车在同一条道路上同方向匀速行驶，甲车在前速度v1＝12m/s，乙车在后速度v2＝30m/s。当两车相距Δx＝40m时乙车司机开始以a＝4m/s2的加速度减速刹车。请计算说明两车会不会相撞。 17．国庆放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口中心线前x0＝9m区间的速度不超过v0＝6m/s。如图所示，现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20m/s和v乙＝34m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站立即刹车，做加速度大小为a甲＝2m/s2的匀减速直线运动，到达收费站窗口前9m处速度恰好减为6m/s，并以该速度匀速通过收费站窗口前区间。求： （1）甲车司机刹车时离收费站窗口中心线的距离； （2）若甲车通过收费站窗口中心线后立即做加速度大小为a＝5m/s2的匀加速直线运动，直至v1＝25m/s后匀速行驶，求甲车从开始减速至运动到速度为v1所用时间； （3）若乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5s的反应时间后开始刹车，乙车做加速度大小为a乙＝4m/s2的匀减速直线运动。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？ 参考答案与试题解析 一．连续相等时间内的运动比例规律（共3小题） 1．如图所示，做匀加速直线运动的物体依次经过A、B、C、D四点。已知物体通过AB、BC、CD的时间分别为t、2t、2t，AB段长为L1，CD段长为L2，下列说法正确的是（　　） A．物体运动的加速度大小为 B．BC段长度为 C．物体通过C点的速度大小为 D．物体通过B点的速度大小为 【答案】B 【分析】由中间时刻的速度等于整段时间内的平均速度计算AB中间时刻速度和CD中间时刻速度，再由v＝v0+at推导加速度；由逐差法推导BC长度；由v＝v0+at推导C点速度、B点速度。 【解答】解：A．根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，可得物体在AB段中间时刻的瞬时速度为 同理物体在CD段中间时刻的瞬时速度为 根据匀变速直线运动的速度—时间的关系v＝v0+at 可得物体运动的加速度大小为，故A错误； B．根据逐差公式可知 解得BC段的长度为，故B正确； C．根据匀变速直线运动的速度—时间的关系可得物体通过C点的速度大小为，故C错误； D．物体通过B点的速度大小为，故D错误。 故选：B。 2．如图所示，四个相同滑块间隔相同时间，从无限长光滑斜面顶端静止滑下，则下列说法正确的是（　　） A．当第四个滑块滑下一段时间后，从上端开始四个滑块间的距离之比可能为1：2：3 B．当第四个滑块滑下一段时间后，从上端开始四个滑块间的距离之比可能为1：3：5 C．当第四个滑块滑下一段时间后，从上端开始四个滑块间的距离之比可能为1：4：9 D．当第四个滑块滑下时，从上端开始四个滑块间的距离比可能为5：3：1 【答案】A 【分析】把每个滑块的运动都视为初速度为0的匀加速直线运动，先通过位移一时间公式，分别计算出不同时刻释放的滑块在某一时刻的位移，再推导它们之间的距离关系，最后结合匀加速直线运动的位移规律，判断各选项中距离比例的合理性。 【解答】解：D.滑块间时间间隔相等，都从光滑斜面顶端静止滑下，则加速度相同，都做初速度为0的匀加速直线运动，根据公式可知，当第四个滑块滑下时，第三个滑块运动位移为，第二个滑块运动位移为，第一个滑块运动位移为。则从上端开始四个滑块间的距离比为1：3：5，故D错误。 ABC.当第四个滑块滑下一段时间后，第四个滑块运动位移为，第三个滑块运动位移为，第二个滑块运动位移为，第一个滑块运动位移为。则当第四个滑块滑下一段时间后，从上端开始四个滑块间的距离之比可能为1：2：3，不可能为1：3：5或者1：4：9，故A正确，BC错误。 故选：A。 3．一个做自由落体运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是t、2t、3t，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是（　　） A．1：23：33 1：22：32 B．1：22：32 1：2：3 C．1：2：3 1：1：1 D．1：3：5 1：2：3 【答案】A 【分析】利用自由溶体位移公式，分别计算三段位移，可得三段位移之比；根据平均速度公式，计算这三段位移上的平均速度之比。 【解答】解：根据自由落体规律，可得第一段位移为 第二段位移为 第三段位移为 则三段位移之比为 h1：h2：h3＝1：8：27＝1：23：33 根据平均速度公式 这三段位移上的平均速度之比 故A正确，BCD错误。 故选：A。 二．连续相等位移内的运动比例规律（共2小题） 4．一固定的光滑斜面上放一物体从A点由静止，经过B、C、D、E，其中AB＝BC＝CD＝DE，物体运动到E点速度为v、所用时间为t，下列说法正确的是（　　） A．物体在B点速度为 B．物体在C点速度为 C．物体运动到C点所用时间为 D．物体由D运动到E点所用时间为 【答案】A 【分析】根据初速度为零的匀加速直线运动在连续相等时间内的位移之比为1：3：5⋯，根据初速度为零的匀加速运动相邻相等位移的时间关系，以及平均速度等于中间时刻的瞬时速度逐项分析计算即可。 【解答】解：AC．初速度为零的匀加速直线运动在连续相等时间内的位移之比为1：3：5⋯，因AB：BE＝1：3，可知B点是AE的中间时刻，做匀变速直线运动的物体在某段距离内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度，所以物体在B点速度等于AE之间的平均速度，大小为，运动到B点的时间为，运动到C点的时间大于，故A正确，C错误； B．C点为AE的中间位置，即物体在C点速度为，故B错误； D．根据初速度为零的匀加速运动相邻相等位移的时间关系可知 因，可知物体由D运动到E点所用时间为，故D错误。 故选：A。 5．把自由下落物体的总位移分成相等的三段，则由上到下顺次经过这三段位移所需的时间之比是（　　） A．3：2：1 B．1：： C．1：（）：（） D．：：1 【答案】C 【分析】根据位移—时间公式，求出通过前一段、前两段、前三段的位移所用的时间之比，最后得到物体通过每段位移的时间之比。 【解答】解：自由落体运动，根据位移一时间公式，有前一段位移： 前两段位移： 前三段位移： 解得： 故通过第一段位移、第二段位移、第三段位移的时间之比为1：，故C正确，ABD错误。 故选：C。 三．计算停车的时间、速度或位移（共2小题） 6．如图甲，某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习定点停车驾驶技术，汽车运动的v﹣t图像如图乙所示。汽车在前4s内从静止开始做匀加速直线运动，4s内位移为16m，4s～10s内，汽车做匀速运动，10s～15s内，汽车做匀减速直线运动，t＝15s时汽车恰好停在停车点位置。汽车可看作质点。求： （1）汽车在4s末的速度vt大小； （2）10s～15s内，汽车做匀减速直线运动的加速度． 【答案】（1）汽车在4s末的速度vt大小是8m/s； （2）10s～15s内，汽车做匀减速直线运动的加速度大小是1.6m/s2，方向与运动的方向相反。 【分析】（1）根据位移与平均速度的关系求出最大速度； （2）根据加速度的定义式求出汽车刹车时的加速度。 【解答】解：（1）汽车在前4s内做初速度为零的匀加速直线运动，位移x 则最大速度m/s＝8m/s （2）15s末汽车的速度为零，选取运动的方向为正方向，则a 负号表示加速度的方向与运动的方向相反。 答：（1）汽车在4s末的速度vt大小是8m/s； （2）10s～15s内，汽车做匀减速直线运动的加速度大小是1.6m/s2，方向与运动的方向相反。 7．如图所示，一平板车在水平路面上以速度v0＝15m/s匀速行驶，在车厢平板中央放有一个货箱一起随车匀速运动，货箱与前挡板之间的距离x0＝5m，货箱和车厢之间的动摩擦因数μ＝0.24（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力），取g＝10m/s2。 （1）匀速行驶过程中，货箱受到的摩擦力为多大？ （2）若平板车突然以大小为3m/s2的加速度刹车，求当平板车刚停止时货箱的速度； （3）若平板车突然以大小为3m/s2的加速度刹车，请通过计算说明货箱是否会碰到挡板。 【答案】（1）匀速行驶过程中，货箱受到的摩擦力为0； （2）当平板车刚停止时货箱的速度为3m/s； （3）货箱会碰到挡板。 【分析】（1）根据货箱处于平衡状态分析； （2）先计算平板车的刹车时间和货箱的加速度，然后根据速度—时间公式计算； （3）分别计算出平板车和货箱的滑行距离，然后计算货箱相对平板车的位移，和开始的x0比较即可。 【解答】解：（1）匀速行驶过程中，货箱处于平衡状态，货箱受到的摩擦力为0； （2）平板车的刹车时间为t 设货箱的加速度为a'，根据牛顿第二定律有 μmg＝ma' 解得a'＝2.4m/s2 当平板车刚停止时货箱的速度为 v＝v0﹣a't＝15m/s﹣2.4×5m/s＝3m/s （3）平板车的刹车距离为 假设货箱和挡板不会碰撞，则货箱的滑行距离为 货箱相对平板车滑行的距离为Δx＝x2﹣x1＝46.875m﹣37.5m＝9.375m＞x0＝5m 所以货箱会碰到挡板。 答：（1）匀速行驶过程中，货箱受到的摩擦力为0； （2）当平板车刚停止时货箱的速度为3m/s； （3）货箱会碰到挡板。 四．逆向思维法求解匀减速直线运动（共3小题） 8．子弹垂直射入叠在一起的相同木板，穿过第20块木板后的速度变为0。可把子弹视为质点。且子弹在各块木板中运动的加速度都相同，子弹在木板中运动的总时间是t。则子弹穿过前15块木板所用的时间为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将子弹穿过木板的匀减速运动逆向视为初速度为零的匀加速运动，利用位移与时间的平方成正比关系，通过总位移（20块木板）与前5块木板（剩余位移）的时间比例，推导前15块木板的时间。 【解答】解：将子弹的运动逆向看作初速度为0的匀加速直线运动，总位移为20块木板的厚度，对应总时间t，则有 设穿过后5块木板的时间为t5，则有 代入数据可得，穿过前15块木板的时间为总时间t减去t5，即，故A正确，BCD错误。 故选：A。 9．如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块（即D位置）时速度恰好为零，子弹可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．子弹通过每一个木块时，其速度变化量均相同 B．子弹到达各点的速率vO：vA：vB：vC＝4：3：2：1 C．子弹从O运动到D全过程的平均速度等于C点的瞬时速度 D．子弹从进入木块到到达各点经历的时间 【答案】C 【分析】将子弹的匀减速运动反向视为初速度为0的匀加速运动，利用匀加速直线运动的速度—位移、时间—位移关系，结合四个木块对应的位移分段（相等），分析各点的速度、时间比例；再结合平均速度的推论（匀变速全程平均速度等于中间时刻的瞬时速度），判断全程平均速度与C点速度的关系，进而验证各选项。 【解答】解：A、由于子弹的速度越来越小，故穿过每一块木块的时间不相等，根据 Δv＝aΔt 可知速度的差值不相等，故A错误； B、将子弹的运动反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由 v2＝2ax 可知，子弹通过C、B、A、O的速度之比为，子弹到达各点的速率 故B错误； D、将子弹的运动视为反向初速度为零的匀加速直线运动，则由 可知，反向通过各木块用时之比为，则子弹从进入木块到达各点经历的时间 故D错误； C、根据匀变速直线运动的推论：根据中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 可知子弹从O运动到D全过程的平均速度等于 故C正确。 故选：C。 10．某汽车以速度v0匀速行驶，发现前方有行人准备过斑马线，立即刹车礼让行人。若刹车过程中汽车做匀减速直线运动，经时间t停止。求： （1）刹车时的加速度大小a； （2）刹车过程中的位移大小x。 【答案】（1）刹车时的加速度大小是； （2）刹车过程中的位移大小是。 【分析】（1）分析汽车刹车的匀减速直线运动过程，明确初末速度与运动时间，依据加速度的物理定义，结合运动状态推导求解刹车过程的加速度大小； （2）确定汽车匀减速运动的初末速度与运动时长，借助匀变速直线运动的平均速度规律，通过平均速度与时间的关系求解刹车位移。 【解答】解：（1）刹车时的加速度大小a汽车做匀减速直线运动，末速度v＝0， 根据加速度的定义式 加速度的大小为（负号表示加速度方向与运动方向相反） （2）刹车过程中的位移大小x匀变速直线运动的平均速度为 位移等于平均速度与时间的乘积 答：（1）刹车时的加速度大小是； （2）刹车过程中的位移大小是。 五．提前停止类问题（共2小题） 11．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1s内和第2s内位移大小依次为11m和9m，则刹车后8s内的位移是（　　） A．20m B．64m C．30m D．36m 【答案】D 【分析】由结合匀变速直线运动公式求加速度，再由第1s内位移公式求初速度，判断刹车总时间后计算6s内位移。 【解答】解：设初速度为v0，加速度大小为a，由运动学公式刹车后第1s内位移为 第2s内位移大小 代入数据可得v0＝12m/s，a＝2m/s2由运动学公式v＝v0﹣at 代入数据可得刹车减速到零的时间为t＝6s因为8s＞6s 所以刹车后8s内的位移为 代入数据可得x8＝36m，故D正确，ABC错误。 故选：D。 12．一辆汽车以20m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因故突然紧急刹车做匀减速运动，加速度大小是5m/s2。求： （1）汽车刹车2s时的速度v； （2）汽车刹车后5s内的位移x。 【答案】（1）汽车刹车2s时的速度10m/s； （2）汽车刹车后5s内的位移为40m。 【分析】（1）根据速度公式可求得从刹车到停下来的时间，根据速度公式可求得2s末的速度； （2）由速度—位移关系可求汽车从开始刹车起5s后的位移。 【解答】解：（1）由题意可知，汽车刹车后做匀减速运动，以刹车前的速度方向为正方向，则有：v0＝20m/s，a＝﹣5m/s2，则汽车从刹车到停下来的时间为：，所以，汽车刹车2s时的速度为：v＝v0+at2＝20m/s﹣5×2m/s＝10m/s； （2）由（1）可知汽车刹车后经过4s已经停止运动，则汽车刹车后5s内的位移就是汽车刹车后4s内运动的位移，则有速度—位移关系可得：，代入数据解得：。 答：（1）汽车刹车2s时的速度10m/s； （2）汽车刹车后5s内的位移为40m。 六．避免碰撞类问题（共2小题） 13．新交通法提倡机动车礼让行人。某司机开车以8m/s速度行驶到距离斑马线还有12m时，发现有行人准备过斑马线，经0.5s反应时间后刹车礼让行人，汽车做匀减速运动的加速度大小为2m/s2，求： （1）汽车刹车2s后速度的大小； （2）该汽车从开始到停下总共通过的距离； （3）为了让汽车能在斑马线前刹停，加速度至少多大。 【答案】（1）汽车刹车2s后速度的大小是4m/s； （2）该汽车从开始到停下总共通过的距离是20m； （3）为了让汽车能在斑马线前刹停，加速度至少是4m/s2，方向和初速度方向相反。 【分析】（1）先明确汽车运动分为反应时间内的匀速阶段与刹车后的匀减速阶段，先判断刹车2s时是否已停止，再结合匀减速直线运动的速度公式计算速度大小； （2）将汽车运动过程拆分为反应时间内的匀速位移与刹车后的匀减速位移，分别计算两段位移后求和，得到从开始到停下的总距离； （3）先计算反应时间内汽车行驶的距离，得出刹车时距斑马线的剩余距离，再结合匀减速到静止的位移公式，代入初速度与剩余距离求解最小加速度。 【解答】解：（1）先判断刹车到停止的总时间：由v＝v0+at，代入v＝0、v0＝8m/s、a＝﹣2m/s2 代入数据得t＝4s，因2s＜4s，汽车仍在运动，代入速度公式v＝v0+at＝8m/s﹣2×2m/s＝4m/s （2）反应时间内车做匀速运动x1＝v0t反应＝8×0.5m＝4m 刹车后匀减速到静止由 得 总距离x＝x1+x2＝4m+16m＝20m （3）反应时间内行驶的距离x1＝vt＝8×0.5m＝4m 刹车时距斑马线的剩余距离x'＝12m﹣4m＝8m 设最小加速度为amin，由 代入数据的a＝﹣4m/s2，即加速度大小至少为4m/s2 答：（1）汽车刹车2s后速度的大小是4m/s； （2）该汽车从开始到停下总共通过的距离是20m； （3）为了让汽车能在斑马线前刹停，加速度至少是4m/s2，方向和初速度方向相反。 14．如图所示，水平地面上一辆平板车以v＝3m/s的速度向前匀速行驶，t＝0时刻，在平板车前端M点的正前方S＝4m距离处有一个小球在离地面H＝10.5m高度处正以v0＝5m/s的初速度竖直向上抛出。已知平板车上表面离地高度为h＝0.5m，车身长度L＝5m，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。 （1）求小球运动过程中距离地面的最大高度； （2）求小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离； （3）为了避免小球落在平板车上，小球竖直向上抛出的同时，小车开始做匀加速直线运动，求平板车的加速度大小a所满足的条件。 【答案】（1）小球运动过程中距离地面的最大高度为11.75m。 （2）小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离为2m。 （3）平板车的加速度大小a应满足a＞1.5m/s2。 【分析】（1）小球做竖直上抛运动，其运动过程可分为上升和下降两个阶段。利用竖直上抛运动的速度与位移关系，通过已知初速度和重力加速度计算上升的最大高度，该高度与抛出点高度之和即为小球离地的最大高度。 （2）小球做竖直上抛运动，平板车做匀速直线运动。小球落点需满足两个条件：下落高度为抛出点与车顶的竖直高度差，且小球与车的水平位移满足特定的几何关系。通过竖直方向位移方程求解下落时间，结合车匀速运动的水平位移，即可确定小球落点相对于车前端的位置。 （3）为避免小球落在车上，需保证在球下落至车顶高度的时间段内，车的位移满足临界条件。小球下落时间由竖直上抛运动决定。车的匀加速运动需满足：当球落至车顶高度时，车的前端已驶过小球抛出点的正下方足够远，或车的后端尚未到达该位置。通过位移关系建立不等式，可求得车加速度需满足的条件。 【解答】解：（1）根据，解得：h1＝1.25m。 则小球距离地面的最大高度为h2＝h1+H，解得：h2＝11.75m。 （2）设小球经过时间t落在小车上，取竖直向上为正方向，则有，解得：t＝2s或t＝﹣1s（舍去）。 平板车运动的位移为x1＝vt，解得：x1＝6m，则小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离为x2＝x1﹣S，解得：x2＝2m。 （3）小车做匀加速直线运动，设最小加速度为a0，则小车运动位移满足条件为，解得：。 则平板车的加速度应满足a＞1.5m/s2。 答：（1）小球运动过程中距离地面的最大高度为11.75m。 （2）小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离为2m。 （3）平板车的加速度大小a应满足a＞1.5m/s2。 七．变速物体追匀速物体问题（共3小题） 15．汽车甲以速度v1＝6m/s在平直公路上匀速行驶，某时刻司机发现正前方有一辆汽车乙开始启动并做匀加速运动，为防止两车相撞，甲车司机立即刹车使车做匀减速运动，以此时为0时刻，两车运动的v﹣t图像如图所示。运动过程中甲车恰好没有撞上乙车，忽略两车大小。求： （1）两车运动的加速度大小； （2）从汽车甲刹车到停止的过程中两车间的最远距离。 【答案】（1）甲车运动的加速度大小为1m/s2，乙车运动的加速度大小为2m/s2； （2）从汽车甲刹车到停止的过程中两车间的最远距离为24m。 【分析】（1）甲车：v﹣t图线斜率即为匀减速加速度。乙车：v﹣t图线斜率即为匀加速加速度。 （2）临界时刻：两车速度相等（t＝2s）时，之前距离缩小，之后距离增大。用v﹣t图面积差计算该时刻的距离，再与甲车停止时的距离比较，确定最大值。 【解答】解：（1）由图可知，t＝2s时两车的瞬时速度相等，设为v，则v1﹣a甲t＝a乙t＝v 设汽车甲刹车到停止所用时间为t0，则v1＝a甲t0，v2＝a乙t0 其中，由图可知v2＝12m/s 联立，解得t0＝6s，， （2）根据v﹣t图线与横轴所围面积表示位移，且运动过程中甲车恰好没有撞上乙车，可知t＝2s两车共速，此时两车恰好没有相撞，则t0＝6s时两车相距最远，最远距离为 代入数据得Δxmax＝24m 答：（1）甲车运动的加速度大小为1m/s2，乙车运动的加速度大小为2m/s2； （2）从汽车甲刹车到停止的过程中两车间的最远距离为24m。 16．两辆汽车在同一条道路上同方向匀速行驶，甲车在前速度v1＝12m/s，乙车在后速度v2＝30m/s。当两车相距Δx＝40m时乙车司机开始以a＝4m/s2的加速度减速刹车。请计算说明两车会不会相撞。 【答案】两车会相撞。 【分析】先分析两车速度相等的时刻，这是判断是否相撞的临界状态；再计算从刹车到速度相等的时间内，甲车的位移和乙车的位移；最后比较乙车位移与甲车位移加上初始间距的大小关系，以此判断是否相撞。 【解答】解：设经过时间t后，甲车位移为x1＝v1t 乙车位移为 若x1+Δx＝x2，即，有正数解，则两车相撞 代入已知量，有 解得t＝4s或t＝5s 由于描述两车位置相等的方程存在正数解，说明两车会相撞。碰撞发生在第一次相遇的时刻，即两个解中较小的值t＝4s。 答：两车会相撞。 17．国庆放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口中心线前x0＝9m区间的速度不超过v0＝6m/s。如图所示，现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20m/s和v乙＝34m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站立即刹车，做加速度大小为a甲＝2m/s2的匀减速直线运动，到达收费站窗口前9m处速度恰好减为6m/s，并以该速度匀速通过收费站窗口前区间。求： （1）甲车司机刹车时离收费站窗口中心线的距离； （2）若甲车通过收费站窗口中心线后立即做加速度大小为a＝5m/s2的匀加速直线运动，直至v1＝25m/s后匀速行驶，求甲车从开始减速至运动到速度为v1所用时间； （3）若乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5s的反应时间后开始刹车，乙车做加速度大小为a乙＝4m/s2的匀减速直线运动。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？ 【答案】（1）甲车司机刹车时离收费站窗口中心线的距离为100m； （2）若甲车通过收费站窗口中心线后立即做加速度大小为a＝5m/s2的匀加速直线运动，直至v1＝25m/s后匀速行驶，甲车从开始减速至运动到速度为v1所用时间为12.3s； （3）若乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5s的反应时间后开始刹车，乙车做加速度大小为a乙＝4m/s2的匀减速直线运动。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距66m。 【分析】（1）先分析甲车从刹车到速度减至6m/s的过程，用匀减速直线运动的速度—位移公式计算此阶段的位移，再加上窗口前9m的距离，得到刹车时离窗口中心线的距离； （2）拆分甲车的运动阶段：先计算刹车到速度为6m/s的时间，再计算以6m/s匀速通过9m的时间，最后计算从6m/s加速到25m/s的时间，将三个阶段的时间相加； （3）先确定乙车的运动阶段（反应时间匀速、刹车减速），同时明确甲车的运动阶段；找到两车速度相等或乙车到达窗口前9m处（速度不超6m/s）的临界状态，分别计算此过程中甲、乙的位移，结合初始间距的关系，求出至少需要的间距。 【解答】解：（1）由题意结合运动学公式 有甲车司机刹车至6m/s的位移 离收费站窗口中心线的距离 s1'＝91m+9m＝100m （2）甲车减速至6m/s的过程中所用时间 7s 匀速通过收费站窗口前区的时间 再加速的时间 所以甲车从开始减速至运动到速度为v1所用时间 t′＝t1+t2+t3＝7s+1.5s+3.8s＝12.3s （3）设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得 v乙﹣a乙（t﹣t0）＝v甲﹣a甲t 解得 t＝8s 甲车刹车8s时的速度为 v＝v甲﹣a甲t＝20m/s﹣2×8m/s＝4m/s＜6m/s 则6m/s的速度为不相撞的临界条件，乙车从减速至6m/s的过程中的位移为 代入数值得s2＝157m 所以要满足条件甲、乙的距离至少为 s＝s2﹣s1＝157m﹣91m＝66m 答：（1）甲车司机刹车时离收费站窗口中心线的距离为100m； （2）若甲车通过收费站窗口中心线后立即做加速度大小为a＝5m/s2的匀加速直线运动，直至v1＝25m/s后匀速行驶，甲车从开始减速至运动到速度为v1所用时间为12.3s； （3）若乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5s的反应时间后开始刹车，乙车做加速度大小为a乙＝4m/s2的匀减速直线运动。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距66m。 学科网（北京）股份有限公司 $