暑假培优预习：解二次方程、二次方程根与系数的关系、二次方程为背景的新定义问题专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦二次方程解法、根与系数关系及新定义问题，构建从基础运算到综合应用的递进训练体系，培养运算能力与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解二次方程|4例+4变式|涵盖因式分解、公式法等解法，强调方法选择|从具体方程求解到解法优化，夯实运算基础| |根与系数关系|3例+3变式|结合判别式、韦达定理求值与证明，突出推理应用|由根的性质到数量关系推导，深化逻辑思维| |新定义问题|3例+3变式|以“全整根方程”“差根方程”等创新情境，考查知识迁移|从概念理解到综合应用，发展创新意识与模型观念|

暑假培优预习：解二次方程、二次方程根与系数的关系、二次方程为背景的新定义问题专项训练 暑假培优预习：解二次方程、二次方程根与系数的关系、二次方程为背景的新定义问题专项训练 考点目录 解二次方程 二次方程根与系数的关系 二次方程为背景的新定义问题 考点一 解二次方程 例1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 例2．（25-26八年级下·山东威海·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴，， 解得． 例3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，． （2）解：中，，， ， 则， 解得：，． 例4．（25-26八年级下·山东东营·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． 变式1．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式； （2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0即可得到方程的根． 【详解】（1）解： 因式分解得 或 解得， （2）解： 提取公因式得 整理得 或 解得， 变式2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， 或， ． 变式3．（25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）先整理方程，提取公因式因式分解后，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：，． （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 变式4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 考点二 二次方程根与系数的关系 例1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 例2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 例3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 变式1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 变式3．（25-26八年级下·北京通州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出和，再整理，代入和列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，． 考点三 二次方程为背景的新定义问题 例1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 满足条件的一个的值为（答案不唯一，也符合要求） 【分析】 （1）先对原方程因式分解得到两根，再根据特征数对的定义列出关于的方程组，求解得到符合条件的； （2）先求出方程的特征数对，再根据“关联全整根方程”的定义得到与的关系，结合方程是全整根方程的条件，找出满足所有要求的即可. 【详解】（1）解：， ， 解得方程的两个根为和， 特征数对为， ， 由得， 当时，，符合条件， 当时，，舍去， 故； （2）解：对方程：， ， 解得方程的两根为和， ∴方程的特征数对：，， 对于方程：， 由根与系数的关系得，， ，， ∴， ∵两个方程互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设方程两根为（为正整数），则，， 代入得， ∴， 将分解为两个大于1的正整数乘积，得： ， ∴或； ∴一个满足条件的为或12. 例2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 例3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 【答案】(1) 不是 (2) 有常定数，常定数为和 (3) 【分析】（1）根据常定数的定义判断即可； （2）原式变形为，根据常定数的定义得出，解方程即可； （3）先根据当时，代数式的值为4，求出，代入并化简得，根据常定数的定义得出，化简后根据根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）解：当时，代数式的值为，不是恒定的常数， 所以不是这个代数式的常定数； （2）解：有常定数，常定数为和 理由：若有常定数， 则， 解得或 故代数式有常定数，常定数为和； （3）解：当时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴ ， ∵存在两个常定数和， ∴，即， ∴. 变式1．（2026·福建福州·模拟预测）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论. 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）略 变式2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 变式3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优预习：解二次方程、二次方程根与系数的关系、二次方程为背景的新定义问题专项训练 暑假培优预习：解二次方程、二次方程根与系数的关系、二次方程为背景的新定义问题专项训练 考点目录 解二次方程 二次方程根与系数的关系 二次方程为背景的新定义问题 考点一 解二次方程 例1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)． (2)． 例2．（25-26八年级下·山东威海·期末）解下列方程： (1) (2) 例3．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 例4．（25-26八年级下·山东东营·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 变式2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： (1)； (2)． 变式4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 考点二 二次方程根与系数的关系 例1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 例2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 例3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 变式1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 变式2．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 变式3．（25-26八年级下·北京通州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 考点三 二次方程为背景的新定义问题 例1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，定义有序数对为该方程的特征数对（其中）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： (1)已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求的值； (2)某同学利用工具生成了“全整根方程”A：与“全整根方程”，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 例2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 例3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 变式1．（2026·福建福州·模拟预测）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 变式2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 变式3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $