广东深圳市宝安区2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B C A D C C ABC ACD ABD 宝安区高一期末考试数学试题答案及评分参考 2026.7 7.【详解】， ， 而 ，故， 8．【详解】由题知，，因为，故A错误； 因为，A发生时C一定发生，故B错误； 因为，所以， 又，所以，故C正确； 因为，所以，由，，故D错误. 10【详解】由图可知，函数最大值为，可得，可知，解得，所以A正确； 可知，因为，解得，可得，函数图像过点， 则，可得， 因为，所以，可得；所以B错误； 函数单间区间为，解得，所以C正确； 函数的图象向右平移个单位长度得到，所以D正确； 【详解】取的中点E，的中点F，连接，，，，如图所示． 易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故点M的轨迹为线段． 对于A，连接，交于点O，如图所示． 则，又，，平面， 所以平面，当M为线段中点时，， 因为，所以，故A正确； 对于B，设直线与平面所成的角为、连接，如图所示． 由平面知，， 在中，由，得，故B正确． 对于，由的轨迹为线段,在正方体中，可知，所以与平面不平行， 又，点的轨迹为线段 所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值，所以错误 对于D，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 则，， 设（），得，从而， 又，令，得， 当时，显然不合题意； 当时，由，解得， 即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故D正确； 12. 13. 14. 13.【详解】如图，由题意，是线段的中点，，则， 且， 所求为向量与向量的夹角， 则， 所以. 14.【详解】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球． 小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形如图所示： 由题意知：，则，， ， 小球滚动形成的圆柱的高为 则小球滚动形成的几何体的体积为：， 容器的体积为， 则小球无法碰触到的空间部分的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为，……………………1分 故年龄在内的市民人数为.………………………………2分 由图可得：，……………………………………4分 解得；………………………………………………6分 （2）平均数为……8分 前三组的频率和为，……………………10分 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组，……………………11分 第80百分位数为.…………………………………………13分 16．【详解】（1）因为，由正弦定理得：………………2分 又 所以………………4分 …………………………………………………5分 因为，所以，所以………………………………6分 又，所以………………………………………………………………7分 （2）在中，所以……………………9分 所以……………………………………10分 所以…………………………………………………………12分 在中，依题意可知 由余弦定理得： …14分 故……………………15分 17．【详解】（1）连接，令，连接DE，则E是、的中点， 在△中， D是线段BC中点，E是的中点，∴∥,……………………2分 又∵平面，平面，……………………3分 ∴直线平面.…………………………5分 （2）法一:因为,所以与平面所成角即为与 平面所成角,假设点到平面的距离为，………………6分 在三棱锥中，平面, 在中,为中点,，，， 所以三棱锥的体积…………8分 又在中,为中点,所以 又在因为为中点，所以.……………………9分 同理， 又在中，所以……………………10分 又因为，即有……………………11分 解得……………………………………………………12分 假设与平面所成角的 则.……………………………………14分 所以与平面所成角的正弦值为………………………………………………15分 方法二：（1）证明：以为原点，以、、分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系。则 ………………………7分 所以；……………………9分 设平面的法向量 所以，……………………………………………………11分 令，则。 所以平面的一个法向量…………………………………………12分 与平面所成角的 ………………………………14分 所以与平面所成角的正弦值为………………………………………………15分 18．【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，………………………………………………1分 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为.……………………2分 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，…………………………………………3分 所以，所以，……………………………………………………4分 所以游戏二获胜的概率为. ……………………………………………………5分 （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为，……………………7分 时，样本的个数为2，所以所求概率为； ……………………9分 （3）设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立，…………10分 所以 ………………………11分 又，且，，互斥， …………v…………………12分 所以 ……………………13分 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即. …………………………14分 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 ………………………15分 当时，，满足题意， …………………………………16分 因此的所有可能取值为. ………………………………………17分 19．【详解】（1）因为，， ，平面，则平面， ………………………2分 又平面，所以平面平面； …………………4分 （2）取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， ……………………………………………………………………………5分 平面，，， 取的中点，连接，则，由，得， 所以两两垂直，…………………………………………………………………………6分 以为原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    因为，由勾股定理得， 所以，，，，， ，，，……………………………………7分 设平面的法向量为， 则，…………………………………………………………………8分 令，得，，则，………………………………………………9分 到平面的距离.………………………………………………………10分 （3）由（2）中知，平面的法向量为， 假设存在点满足题意，设平面的法向量为， 因为平面，所以；………………………………………11分 不妨设，则 所以，………………………………………12分 又 所以,即有 取，则，令，则……………………………13分 所以，即………………………………14分 化简得，解得或，………………………………………15分 当时，则，解得 当时，则，解得………………………………………16分 故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或。…………17分 数学答案 第 2 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末教学质量检测 高一数学 2026.7 注意事项： 1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码． 2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．本试卷共4页，19小题，满分为150分．考试时间120分钟． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则的虚部为（ ） A． B．1 C．i D． 2．给定一组数据1，1，2，3，3，5，7，8，则该组数据的第75百分位数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知，且为第二象限角，则的值等于（ ） A． B． C． D． 4．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．若平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 6．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ） A． B． C． D． 7．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 8．已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，，，下列选项中正确的是（ ） A．A与B互斥 B．A与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组大小不等的数据的极差为m，平均数为，方差为，标准差为s，若，则下列关于数据的结论正确的是（ ） A．极差为3m B．方差为 C．平均数为 D．标准差为 10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）． A．函数的最小正周期是 B．函数的解析式为 C．函数的单调递减区间是 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 11．如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 13．在中，已知，，，点M，N满足，．设线段与交于点P，则________． 14．如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）为了解高一学生使用错题整理工具的情况，学校随机抽取了200名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长（单位：分钟），并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求使用时长在内的学生人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计这200名学生单次使用时长的平均数和第80百分位数； 16．(本小题15分)已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， （1）求角B； （2）已知，，延长到点D，使得，求 17．（本小题15分）如图，四边形是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段中点 （1）证明：直线平面； （2）若，，，求与平面所成角的正弦值． 18．（本小题17分）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 19．（本小题17分）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，． （1）证明：平面平面； （2）求C到平面的距离； （3）设Q为侧棱上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $