17.2 用公式法分解因式 第2课时 利用完全平方公式分解因式 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“利用完全平方公式分解因式”核心知识点，通过复习完全平方公式填空导入，引导学生从整式乘法公式正向展开过渡到逆向分解，搭建前后知识衔接的学习支架。 以核心素养为导向，通过正反例辨析建立完全平方式结构模型（模型观念），结合整体思想（如视(a+b)为整体）和先提负号策略（推理能力），讲练结合融入简便计算与综合题（如配方法求三角形周长），提升学生运算能力与应用意识，为教师提供清晰教学路径和分层练习设计。

教案：17.2 用公式法分解因式 第2课时 利用完全平方公式分解因式 课题 17.2 用公式法分解因式 第2课时 利用完全平方公式分解因式 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十七章 分式与因式分解 教学方法 情境导入、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件 教材分析 本节课是17.2用公式法分解因式的第二课时，在第一课时利用平方差公式分解因式的基础上，继续学习利用完全平方公式分解因式。完全平方公式的逆用+2ab+=和-2ab+=是分解因式的重要工具。本节课从完全平方公式出发，通过等号两边互换得到因式分解公式，并学会识别完全平方式、运用公式进行因式分解。教学中注重整体思想（如将a+b视为整体m）和先提负号等策略的渗透。 学情分析 学生已掌握完全平方公式=+2ab+和=-2ab+，并能正确进行展开运算。但将公式逆向使用（从展开式回到乘积式）对学生来说是一个思维转折。学生需要学会识别一个三项式是否为完全平方式，判断标准是：两个平方项符号相同，且中间项是这两项乘积的2倍。当平方项前有负号时，如何先提负号再处理也是常见难点。整体思想（将多项式视为整体）的运用需要引导。 一、核心素养目标 1. 运算能力 掌握完全平方公式的逆用，能将形如+2ab+和-2ab+的多项式分解为和。能准确识别完全平方式，熟练运用公式法进行因式分解，包括平方项为多项式、含负号等复杂情况。 2. 推理能力 经历"复习完全平方公式展开→等号两边互换→得到因式分解公式→识别完全平方式→运用公式分解因式"的完整推理过程。理解公式法因式分解的本质是乘法公式的逆向运用，体会互逆思想。 3. 模型观念 建立"完全平方式"的结构模型：两个平方项符号相同，中间项为两平方项底数乘积的2倍。建立"公式法"这一因式分解的方法模型，理解公式法的一般步骤：先找平方项，再判断中间项，最后套用公式。 4. 应用意识 能灵活运用完全平方公式的逆用解决简便计算问题，如利用+2ab+=将38.-2×38.9×48.9+48.转化为。能利用完全平方公式的常见变形+=-2ab等解决综合问题。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握完全平方式的特点，能识别完全平方式。 2. 能利用完全平方公式+2ab+=和-2ab+=对多项式进行因式分解。 3. 理解公式法因式分解的一般步骤：先找平方项，再判断中间项，最后套用公式。 教学难点 1. 多项式是否为完全平方式的准确识别——验证中间项是否为2ab。 2. 当平方项前有负号时，先提负号再运用公式，如+=-(-4xy+)=-。 3. 整体思想在因式分解中的运用，如将(a+b)视为整体m处理-12(a+b)+36。 三、教学过程 环节一：复习导入（4分钟） 【教师活动】上节课我们学习了利用平方差公式分解因式。今天我们来学习利用完全平方公式分解因式。首先，请同学们回顾一下完全平方公式，完成填空。 【教师活动】（展示课件）在括号里填上适当的式子，使等式成立： 【学生活动】(1) =+2ab+。(2) =-2ab+。(3) 填2a。(4) 填2a。 【教师活动】完全正确！完全平方公式是整式乘法中的重要公式，今天我们将把这个公式反过来用——利用完全平方公式来分解因式。 【知识点】复习：完全平方公式 = + 2ab + = - 2ab + 这两个公式是进行完全平方公式因式分解的基础。 【设计意图】通过回顾完全平方公式，唤醒学生对公式的记忆，为后续"等号两边互换"得到因式分解公式做好铺垫。第(3)(4)题的设计让学生初步感知从完全平方式到乘积式的逆过程。 【过渡语】同学们已经熟练掌握了完全平方公式的展开形式。那么，一个形如+2ab+或-2ab+的式子有什么特点？反过来，这样的式子能不能写成乘积的形式呢？ 环节二：探究新知（18分钟） 一、完全平方式的认识 【教师活动】（展示课件）观察+2ab+和-2ab+这两个式子，它们有什么特点？ 【学生活动】这两个式子都是三项式，其中有两项是平方项（和），且平方项符号相同，还有一项是2ab（或-2ab），正好是两平方项底数乘积的2倍。 【教师活动】观察得很到位！我们把形如+2ab+或-2ab+的式子叫做完全平方式。 【知识点】完全平方式的特点形式： + 2ab + 或 - 2ab + 注意：① 平方项符号相同； ② 中间项是积的2倍。 【教师活动】（展示课件）请同学们判断下列多项式是不是完全平方式，并说明理由。 【学生活动】(1)是，-12a+36=-2·a·6+，平方项为和36=，中间项-12a=-2·a·6。(2)不是，和=是平方项，但中间项4x=2·x·2≠2·x·(2y)，所以不是完全平方式。(3)不是，最后一项-9为负，平方项符号不相同。(4)不是，ab不是2·a·b（缺系数2）。(5)是，+a+0.25=+2·a·0.5+0.。 【教师活动】判断完全平方式的关键是：先看是否有两个平方项且符号相同，再验证中间项是否是这两项乘积的2倍。 【方法归纳】识别完全平方式三步法第一步：找出两个平方项（必须符号相同）；第二步：确定两个平方项的底数；第三步：验证中间项是否等于2×底数1×底数2。若第三步成立，则为完全平方式；否则不是。 【设计意图】通过正反例的辨析，帮助学生建立完全平方式的结构模型：两个平方项符号相同，中间项为积的2倍。正例和反例的对比能有效防止学生将不满足条件的式子误判为完全平方式。 【过渡语】同学们已经能正确识别完全平方式了。那么，识别出完全平方式之后，如何将它分解因式呢？其实，只需要把完全平方公式的等号两边互换，就能得到因式分解的公式。 二、完全平方公式的逆向运用 【教师活动】（展示课件）我们已经知道完全平方公式：=+2ab+，=-2ab+。现在把等号两边互换，能得到什么？ 【学生活动】+2ab+=，-2ab+=。也就是说，如果一个多项式是完全平方式，就可以把它写成两个相同因式乘积的形式。 【知识点】用完全平方公式分解因式 + 2ab + = - 2ab + = 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 【知识要点】公式法利用完全平方公式可以将形如完全平方式的多项式分解因式。把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些具有特殊形式的多项式分解因式的公式。运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法。 【设计意图】公式法因式分解的本质是乘法公式的逆用。学生通过"等号两边互换"这一操作，直观理解公式法因式分解的来源和依据，避免了机械记忆。 例3（教材例题） 【教师活动】（展示课件——例3）请同学们分解因式。 例3 分解因式： 【学生活动】(1) +4x+4=+2·x·2+=。(2) -24x+9=-2·4x·3+=。 【解答】解：(1) + 4x + 4 = + 2·x·2 + = ； 【解答】(2) - 24x + 9 = - 2·4x·3 + = 。 【教师活动】注意解题步骤：先确认是完全平方式，找出两个平方项及其底数，验证中间项，然后套用公式。 例4（教材例题） 【教师活动】（展示课件——例4）再看下面两道题。 例4 分解因式： 【学生活动】(1) 把(a+b)看成一个整体，设m=a+b，则原式=-12m+36=-2·m·6+==。(2) 先提负号，原式=-(-4xy+)=-[-2·x·2y+]=-。 【解答】解：(1) - 12(a+b) + 36 【解答】 = - 2·(a+b)·6 + 【解答】 = 【解答】（整体思想：设a+b=m，则原式=-2·m·6+=） 【解答】 【解答】解：(2) + 4xy - 【解答】 = -( - 4xy + ) 【解答】 = -[ - 2·x·2y + ] 【解答】 = - 【解题策略】两个重要技巧1. 整体思想：当多项式中含有相同的多项式因子时，可将其视为一个整体。 如-12(a+b)+36，设m=a+b，则化为-12m+36。2. 先提负号：若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式。 如+=-(-4xy+)=-。 【设计意图】例4在例3的基础上进行了拓展。第(1)题渗透整体思想，将a+b视为一个整体，降低了认知难度。第(2)题训练先提负号的策略，这是学生的常见易错点。 运用完全平方公式分解因式的注意事项 【教师活动】（展示课件）运用完全平方公式分解因式应注意什么？ 【学生活动】（1）先找平方项，再运用公式；（2）平方项可以是单项式，也可以是多项式；（3）若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式。 【知识点】运用完全平方公式分解因式注意事项 （1）先找平方项，再运用公式； （2）平方项可以是单项式，也可以是多项式； （3）若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式。 【过渡语】通过例题，同学们掌握了利用完全平方公式分解因式的基本方法。接下来我们通过练习来巩固提高。 环节三：课堂练习（18分钟） 练习1（巩固练习） 【教师活动】（展示课件）把下列各式分解因式： 【学生活动】(1) -2xy+1=-2·xy·1+=。(2) =-(9+12t+)=-[+2·3·2t+]=-。(3) 4+12(x-y)+9=+2·2·3(x-y)+[3(x-y)]=。 【解答】解：(1) - 2xy + 1 = - 2·xy·1 + = ； 【解答】(2) -9 - 12t - = -(9 + 12t + ) = -[ + 2·3·2t + ] = -； 【解答】(3) 4 + 12(x - y) + 9 = + 2·2·3(x - y) + [3(x - y)] = 。 完全平方公式的常见变形 【教师活动】（展示课件）有关完全平方公式的常见变形有哪些？ 【学生活动】+=-2ab，+=+2ab，=+4ab，=-4ab。 【知识点】完全平方公式的常见变形 + 的变形： + = - 2ab + = + 2ab 的变形： = + 4ab = - 4ab 【设计意图】完全平方公式的常见变形是后续解决综合问题的重要工具，特别是+与和ab之间的转化关系，在求值问题中经常用到。 练习2（教材P131练习 第1题） 【教师活动】（展示课件）下列多项式是不是完全平方式？为什么？ 【学生活动】(1)是，-4a+4=-2·a·2+。(2)不是，只有两项。(3)不是，最后一项为负，平方项符号不相同。(4)不是，ab不是2·a·b（缺系数2）。 【答案】(1)是 (2)不是（只有两项） (3)不是（最后一项为负） (4)不是（中间项不是2ab） 练习3（教材P131练习 第2题） 【教师活动】（展示课件）分解因式： 【学生活动】(1) 。(2) 。(3) 。(4) 。(5) 。(6) -(+2xy+)=-。 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) - 练习4（简便计算） 【教师活动】（展示课件）利用完全平方公式进行简便计算： 【学生活动】(1) 原式===100。(2) 原式=+2×101×99+===40000。 【解答】解：(1) 原式 = = = 100； 【解答】(2) 原式 = + 2×101×99 + = = = 40000。 【规律总结】公式法在简便计算中的应用将算式配成完全平方公式的形式，利用或简化计算。关键：识别式子的结构是否符合完全平方公式的特征。如38.-2×38.9×48.9+48.符合-2ab+=的形式。 练习5（综合提升） 【教师活动】（展示课件）如果三角形的三边长a，b，c满足：+++50=6a+8b+10c，求三角形的周长。 【学生活动】将等式移项整理：+++50-6a-8b-10c=0，即(-6a+9)+(-8b+16)+(-10c+25)=0，即++=0。因为平方数非负，所以a-3=0，b-4=0，c-5=0，得a=3，b=4，c=5。因为3+4>5，能组成三角形，周长为3+4+5=12。 【解答】解：由 + + + 50 = 6a + 8b + 10c， 【解答】得 ( - 6a + 9) + ( - 8b + 16) + ( - 10c + 25) = 0， 【解答】即 + + = 0， 【解答】所以 a = 3，b = 4，c = 5。 【解答】因为 3 + 4 > 5，所以能组成三角形， 【解答】所以 a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12， 【解答】即三角形的周长为12。 【解题策略】配方法配方法是利用完全平方公式将多项式恒等变形的重要方法。本例中，将-6a配成需要加上9，此时等式右边恰好有常数项50可以分配：50=9+16+25。利用非负数的性质（平方和为零则各项为零）求解。 【设计意图】课堂练习从基础巩固到变式训练，再到综合提升，层层递进。基础练习巩固公式的运用，教材练习强化基本技能，简便计算体现公式的实际应用，综合提升题（配方法+三角形）培养学生的综合分析和逻辑推理能力。 环节四：课堂小结（5分钟） 【过渡语】通过丰富的练习，同学们对利用完全平方公式分解因式有了深入的理解。下面我们一起回顾本节课的核心内容。 【教师活动】请一位同学总结一下本节课我们学习了什么。 【学生活动】我们学习了利用完全平方公式分解因式的方法，即+2ab+=和-2ab+=。还学习了如何识别完全平方式：两个平方项符号相同，中间项是积的2倍。运用公式法分解因式时，要先找平方项，再套用公式，遇到负号先提出来，遇到多项式整体可以看作整体来处理。 【教师活动】总结得很好！老师再强调几点：第一，完全平方式的识别是关键，必须满足"两个平方项符号相同，中间项是积的2倍"。第二，平方项是多项式的整体思想很重要。第三，遇到平方项前有负号，先提负号再处理。第四，公式法就是乘法公式的逆用，把乘法公式等号两边互换即可。 【知识点】课堂小结：利用完全平方公式分解因式一、完全平方式的特点 形式： + 2ab + 或 - 2ab + 注意：平方项符号相同，中间项是积的2倍。二、用完全平方公式分解因式 + 2ab + = - 2ab + = 三、公式法 运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法。 公式法包括：平方差公式、完全平方公式。 四、板书设计 【知识点】17.2 用公式法分解因式 第2课时 利用完全平方公式分解因式 1、 完全平方式 + 2ab + 或 - 2ab + 特点：平方项符号相同，中间项是积的2倍 2、 用完全平方公式分解因式 + 2ab + = - 2ab + = 例3：(1) +4x+4= (2) -24x+9= 3、 注意事项 1. 整体思想：设m=a+b 2. 先提负号：+=- 3. 公式法 = 乘法公式的逆用 五、教学反思 本节课从完全平方公式的回顾入手，通过"等号两边互换"这一操作，自然引出利用完全平方公式分解因式的方法。教学中注重完全平方式的识别训练，通过正反例的辨析，帮助学生建立"两个平方项符号相同，中间项是积的2倍"这一结构模型，避免学生将非完全平方式误判。 在例题教学中，例3侧重基础公式的运用，例4则引入了整体思想和先提负号两个重要策略。整体思想（将a+b视为整体m）降低了学生对复杂表达式的认知难度，先提负号策略则是学生在处理含负号的多项式时的关键方法。 课堂练习的设计从基础巩固到综合提升，覆盖了教材P131练习的全部内容。特别是综合提升题（配方法求三角形周长），将完全平方公式的运用与配方法、非负数的性质、三角形三边关系等知识点有机结合，体现了知识的综合性和灵活性。简便计算题（如38.-2×38.9×48.9+48.）让学生体会公式法在实际计算中的价值。 学科网（北京）股份有限公司 $