第八章　机械能守恒定律全题型分层综合复习训练 -2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以“功-能”关系为主线，整合高考真题与模拟题，通过分类题型、微专题及创新应用构建系统性方法体系，突出能量观念与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |功和功率|高考4题、模拟3题|图像面积法解变力做功、机车启动模型|功和功率概念→动能定理基础| |动能定理|高考5题、模拟4题|多过程分段/全程应用、图像结合|动能定理推导→单物体/系统应用| |机械能守恒|高考5题、模拟3题|守恒条件判断、单物体与系统分析|守恒条件→与动能定理关联| |功能关系|高考4题、模拟3题|能量转化与守恒、功能关系应用|功能关系普适性→能量守恒定律| |微专题|传送带/滑块模型6题|动力学与能量结合、摩擦生热计算|模型建构→综合应用能量与运动观念| |实验|4个验证实验|误差分析、v²-h图像处理|科学探究→机械能守恒验证|

第六章：机械能守恒定律 第1节 功和功率 功的分析和计算T1、2、6　　功率的分析和计算T4、5　　机车启动问题T3、7 五年高考 1.★★(2023北京,11,3分)如图所示,一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m,加速度大小为a,物体和桌面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。在物体移动距离为x的过程中(　　) A.摩擦力做功大小与F方向无关 B.合力做功大小与F方向有关 C.F为水平方向时,F做功为μmgx D.F做功的最小值为max 1.答案　D 2.★★(多选)(2023广东,8,6分)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示,可看作质点的货物在圆弧滑道顶端P点由静止释放,沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg,滑道高度h为4 m,且过Q点的切线水平,重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程,下列说法正确的有(　　) A.重力做的功为360 J B.克服阻力做的功为440 J C.经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2 D.经过Q点时对轨道的压力大小为380 N 2.答案　BCD 3.★★★(2025四川,7,4分)如图所示,倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上,安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连,小车上静置一物块。小车与物块质量均为m,两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间,小车与物块的速度刚好相同,大小为v0。运动过程中轻绳与斜面始终平行,小车和斜面均足够长,重力加速度大小为g,忽略其他摩擦。则这段时间内(　　) A.物块的位移大小为　　　　 B.物块机械能增量为 C.小车的位移大小为-　　　　 D.小车机械能增量为+ 3.答案　C 4.★★★(2023山东,8,3分)质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时,牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图所示,小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时,小车达到额定功率,轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下,其总位移为s2。物体与地面间的动摩擦因数不变,不计空气阻力。小车的额定功率P0为(　　) A. B. C. D. 4.答案　A 三年模拟 5.★★★(多选)(2026届河南名校联合测评)如图所示,内壁光滑的部分细圆轨道ABC竖直固定放置在光滑水平面上的A点,竖直直径AB与倾斜半径OC间的夹角为θ,质量为m的小球(可视为质点)在光滑水平面上获得水平向左的速度v0,然后从A点切入圆弧轨道,重力加速度为g,空气阻力忽略不计,下列说法正确的是(　　) A.若小球刚好能到达B点,则小球在B点处于完全失重状态 B.若小球刚好能到达B点,则半径OA为 C.若小球到达C点时的速度为v,则小球在C点时重力的功率为mgv cos θ D.若小球到达C点时的速度为v,则小球落回水平面的瞬间,重力的瞬时功率为mg 5.答案　BD 6.★★★(多选)(2026届新疆乌鲁木齐联考一)如图甲所示,一倾角θ=37°、足够长的斜面固定在水平地面上,以顶点为原点O,以沿斜面向下为x轴正方向,质量m=1.0 kg的滑块与斜面间的动摩擦因数μ随x变化的规律如图乙所示,取重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。现将滑块由O点静止释放,则下列说法正确的是(　　) 　 A.滑块向下运动的最大距离为2 m B.滑块加速阶段和减速阶段摩擦力做的功之比为1∶3 C.滑块与斜面间因摩擦产生的热量为48 J D.滑块加速和减速的时间相同 6.答案　BD 7.★★★(2026届河北保定四校月考)质量m=1 000 kg的某国产汽车在水平路面上进行整车道路性能试验时,由静止启动,试验过程中汽车牵引力的倒数和速度v的关系如图所示,汽车速度能达到的最大值为vm=45 m/s,整个过程中汽车受到的阻力大小恒定。下列说法正确的是(　　) A.汽车的额定功率为200 kW B.汽车从静止开始一直做匀加速运动直至达到最大速度 C.汽车做匀加速运动的时间为10 s D.汽车做匀加速运动的加速度大小为2 m/s2 7.答案　D 创新风向·挑战思维 运用图像面积巧解变力做功问题 (2025广东,14,13分)如图所示,用开瓶器取出紧塞在瓶口的软木塞时,先将拔塞钻旋入木塞内,随后下压把手,使齿轮绕固定支架上的转轴转动,通过齿轮啮合,带动与木塞相固定的拔塞钻向上运动。从0时刻开始,顶部与瓶口齐平的木塞从静止开始向上做匀加速直线运动。木塞所受摩擦力f随位移大小x的变化关系为f=f0,其中f0为常量,h为圆柱形木塞的高。木塞质量为m,底面积为S,加速度为a。齿轮半径为r。重力加速度为g,瓶外气压减瓶内气压为Δp且近似不变,瓶子始终静止在桌面上。(提示:可用f-x图线下的“面积”表示f所做的功)求: (1)木塞离开瓶口的瞬间,齿轮的角速度ω。 (2)拔塞的全过程,拔塞钻对木塞做的功W。 (3)拔塞过程中,拔塞钻对木塞作用力的瞬时功率P随时间t变化的表达式。 答案　(1)　(2)m(g+a)h+ΔpSh+0.5f0h　(3)P=f0at-+mgat+ΔpSat+ma2t 解析　(1)由匀加速直线运动的速度与位移关系可得2ah= 解得木塞离开瓶口瞬间的速度v0= 由圆周运动的角速度与线速度的关系可得齿轮的角速度 ω== (2)拔塞的全过程,对木塞由动能定理可得 W-mgh-ΔpSh-Wf=m 结合f=f0作出f-x的关系图像如图所示 根据功的定义,f-x图线与横轴围成的面积表示木塞克服摩擦力做的功,则有Wf=0.5f0h 联立解得W=m(g+a)h+ΔpSh+0.5f0h (3)对木塞受力分析,根据牛顿第二定律得F-f-mg-ΔpS=ma 由匀加速直线运动的速度与时间关系可得v=at 由匀加速直线运动的位移与时间关系可得x=at2,其中0≤t≤ 拔塞钻对木塞作用力F的瞬时功率为P=Fv 联立解得 P=f0at-+mgat+ΔpSat+ma2t 第2节　动能定理及其应用 动能定理的理解和基本应用T1、2、3、6、7　　动能定理与图像结合的问题T4、5、8、9 五年高考 1.★★(2025云南,2,4分)如图所示,中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发,沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h,在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近(　　) A.4×105 J　　　　B.4×104 J　　　　 C.4×103 J　　　　D.4×102 J 1.答案　B 2.★★(2023辽宁,3,4分)如图(a),从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放,沿不同轨道滑到N点,其速率v与时间t的关系如图(b)所示。由图可知,两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中(　　) A.甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大 B.甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小 C.乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变 D.乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大 2.答案　B 3.★★(2025浙江6月,6,3分)如图所示,两根相同的橡皮绳,一端连接质量为m的物块,另一端固定在水平桌面上的A、B两点。物块处于AB连线的中点C时,橡皮绳为原长。现将物块沿AB中垂线水平拉至桌面上的O点静止释放。已知CO距离为L,物块与桌面间的动摩擦因数为μ,橡皮绳始终处于弹性限度内,不计空气阻力,重力加速度为g,则释放后(　　) A.物块做简谐运动 B.物块只受到重力、橡皮绳弹力和摩擦力的作用 C.若∠AOB=90°时每根橡皮绳的弹力为F,则物块所受合力大小为F D.若物块第一次到达C点的速度为v0,此过程中橡皮绳对物块做的功为W=m+μmgL 3.答案　D 4.★★★(多选)(2025江西,9,6分)每逢端午节,江西各地常会举办热闹非凡的赛龙舟活动。利用与某龙舟同方向匀速直线飞行的无人机跟踪拍摄,发现在某段时间内该龙舟做匀加速和匀减速交替的周期性直线运动。若以无人机为参考系,该龙舟在0.4 s时间内速度由0增加到0.6 m/s(划桨阶段),再经历0.6 s时间速度减为0(未划桨阶段),则关于这段时间内该龙舟的位置x、速度v、加速度a、动能Ek与时间t的关系,下列图像可能正确的是(　　) 　　 　　 4.答案　AB 5.★★★(多选)(2023新课标,20,6分)一质量为1 kg 的物体在水平拉力的作用下,由静止开始在水平地面上沿x轴运动,出发点为x轴零点,拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4,重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.在x=1 m时,拉力的功率为6 W B.在x=4 m时,物体的动能为2 J C.从x=0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为8 J D.从x=0运动到x=4 m的过程中,物体的动量最大为2 kg·m/s 5.答案　BC 三年模拟 6.★★★(2026届四川广安中学模拟)如图所示,有一根长为L、质量为M的均匀链条AB静止在动摩擦因数μ=0.2的粗糙水平桌面上,其长度的悬于桌边外,如果在链条的A端施加一个拉力使链条AB以0.4g(g为重力加速度)的加速度运动,直到把悬着的部分拉回桌面。设拉动过程中链条与桌边始终保持接触,则拉力需做功(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 6.答案　C 7.★★★(2025届甘肃金昌三模)一质量为m的小球从离地足够高的位置由静止开始释放,已知小球下落过程中受到一个始终垂直于速度方向的外力,且外力F的大小与小球速率v的关系为F=kv(k>0且为常数),重力加速度为g,则小球下落的最大高度h与此时小球的速率v分别为(　　) A.h=,v=　　　　B.h=,v= C.h=,v=　　　　D.h=,v= 7.答案　A 8.★★★(多选)(2026届湖南永州一模)如图甲所示,倾角为37°的斜面固定在水平地面上,一木块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长,上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示,重力加速度为g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是(　　) 　 A.木块的重力大小为 B.木块与斜面间的动摩擦因数为0.5 C.木块在斜面上运动的总时间为 D.木块返回斜面底端时的动能为E0 8.答案　BD 9.★★★(2025届山东潍坊三模)某次训练投掷中,运动员将质量m=4 kg的铅球以初速度v0斜向上抛出,忽略空气阻力,重力加速度g=10 m/s2。已知铅球在t1=0.5 s时动能达到最小值Ekmin=150 J。以抛出点所在水平面为零势能面,下列反映铅球在空中运动过程中动能Ek、重力势能Ep随时间t或高度h变化关系的图像正确的是(　　) 　　 　　 9.答案　C 创新风向·模块融合 电场中等势面上动能定理的应用 (2026届辽宁鞍山一模)如图所示,光滑圆弧轨道ABC半径为R,O1为圆心,在O1点固定一个点电荷+Q,AO1水平,B为最低点,θ=37°。C点右侧有一光滑圆弧轨道与ABC相切于C点,O2为右侧圆弧轨道圆心。现有一个带电荷量为+q的小球(图中未画出)从A点无初速度滑下,到B点处时对轨道的压力为自身重力的4倍,经过C点右侧瞬间对轨道的压力刚好为零。由此可求得右侧圆弧轨道的半径R2为(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)(　　) A.2R　　　　B.　　　　C.　　　　D. 答案 D 微专题10　动能定理在多过程运动中的应用 题组1　动能定理在“单向”多过程运动中的应用 1.★★(2024重庆,4,4分)活检针可用于活体组织取样,如图所示。取样时,活检针的针芯和针鞘被瞬间弹出后仅受阻力。质量为m的针鞘在软组织中运动距离d1后进入目标组织,继续运动d2后停下来。若两段运动中针鞘整体受到阻力均视为恒力,大小分别为F1、F2,则针鞘(　　) A.被弹出时速度大小为 B.到达目标组织表面时的动能为F1d1 C.运动d2过程中,阻力做功为(F1+F2)d2 D.运动d2的过程中动量变化量大小为 1.答案　A 2.★★(多选)(2025届辽宁多校联考)在哈尔滨冰雪大世界,游客们不可错过的体验项目之一便是“冰雪大滑梯”,其简化模型如图所示。冰滑梯轨道AB固定在斜面上,表面摩擦忽略不计,游客乘坐雪圈从高h处由静止开始下滑,并通过长度为L1=10 m的水平雪面BC,最终进入长度为L2=15 m的铺有地垫的缓冲区CD。已知雪圈与雪面BC和缓冲区CD间的动摩擦因数分别为μ1=0.1、μ2=0.5,游客与雪圈可视为质点,不计空气阻力和通过B点时的机械能损失。为了确保游客下滑后能够停在缓冲区内,h的取值可能为(　　) A.3 m　　　B.6 m　　　C.9 m　　　D.12 m 2.答案　AB 3.★★★(2025届江苏常州前黄高级中学月考)如图所示,不可伸长、长为l的轻细线一端固定于O点,另一端连接一小球,此时细线刚好伸直,角度θ=30°。现将小球静止释放,不计空气阻力,重力加速度为g,则小球运动到O点正下方时速度的大小为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.答案　C 4.★★★(2025云南,6,4分)如图所示,质量为m的滑块(视为质点)与水平面上MN段的动摩擦因数为μ1,与其余部分的动摩擦因数为μ2,且μ1>μ2。第一次,滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动,通过MN段后停在水平面上的某一位置,整个运动过程中,滑块的位移大小为x1,所用时间为t1;第二次,滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动,通过MN段后停在水平面上的另一位置,整个运动过程中,滑块的位移大小为x2,所用时间为t2。忽略空气阻力,则(　　) A.t1<t2　　　　B.t1>t2　　　　C.x1>x2　　　　D.x1<x2 4.答案　A 5.★★★★(多选)(2026届云南玉溪一中开学考)如图所示,ABC为一弹性轻绳,一端固定在墙壁上A点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿在竖直杆上,杆OB固定在墙上,另一端为定滑轮,初始时A、B、C在同一水平线上,弹性绳的原长为AB,现将小球在C点由静止释放,E点为下滑的最低点,D点为CE的中点,且经过D点时速度最大,小球在C点时弹性绳的拉力为,C、E间距离为h,小球与竖直杆间的动摩擦因数μ=0.4,重力加速度为g,弹性轻绳始终在弹性限度内,下列说法正确的是(　　) A.CD段小球克服摩擦力做的功与DE段克服摩擦力做的功相等 B.小球在E点的加速度大小大于在C点的加速度大小 C.小球经过D点时加速度为零 D.若在最低点E给小球一个向上的初速度v,使小球恰好回到C点,则v= 5.答案　ACD 6.★★★(2023湖北,14,15分)如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板,其半径为2R、内表面光滑,挡板的两端A、B在桌面边缘,B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内,过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧,从B点飞出桌面后,在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧,并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为,重力加速度大小为g,忽略空气阻力,小物块可视为质点。求 (1)小物块到达D点的速度大小; (2)B和D两点的高度差; (3)小物块在A点的初速度大小。 6.答案　(1)　(2)0　(3) 解析　(1)设物块质量为m,物块恰好能通过最高点D,可知其所受重力提供向心力,在D点对物块根据牛顿第二定律有mg=m,可得vD=。 (2)由题意可知C、D之间的高度差hCD=R+R cos 60°=R 对物块由C到D根据动能定理有-mghCD=m-m 解得vC=2 物块从B到C做平抛运动,过C点时有 vC水平=vC cos 60°=vB,解得vB= 由动能定理有mghBD=m-m 解得hBD=0。 (3)物块从A到B由动能定理得-μmgs=m-m 其中s=×2π×2R 解得vA=。 题组2　动能定理在往复运动中的应用 1.★★★(2026届河北保定定州中学开学考)将一可视为质点且质量为m的物体由地面沿竖直向上的方向抛出,抛出瞬间物体的动能为Ek0,物体的动能与距离抛出点高度的关系如图所示,规定抛出点为零势能面,整个过程物体所受的空气阻力大小保持不变,图线与坐标轴的交点为已知量,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　) A.m= B.空气阻力为物体重力的 C.物体下落过程中,距离地面的高度为时,其动能等于重力势能 D.若在抛出点物体的动能为2Ek0,上升时,动能与重力势能相等时动能大小为 1.答案　B 2.★★★(多选)(2026届云南师大附中月考)如图所示,水平轻质弹簧一端连接竖直墙壁,另一端连接一质量为m的小物块,物块位于O点时弹簧为原长,现将物块向右拉到P点,静止释放后物块向左运动,且物块在第2次经过O点前,在O左边某位置停下,已知OP=L,重力加速度为g,弹簧的劲度系数k=,弹性势能的表达式为kx2(x为弹簧形变量),物块可视为质点,物块与地面间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,μ取不同值时,运动情况不同,则下列说法正确的是(　　) A.若物块一直向左运动后停下,则≤μ< B.若物块先向左运动再向右运动后停下,则<μ< C.物块最后停下的位置距O最远距离为 D.物块运动过程中,在O点左边距O最远距离为 2.答案　AC 第3节　机械能守恒定律及其应用 机械能守恒的判断T1、2、6　　单物体的机械能守恒问题T4、5　　系统的机械能守恒问题T3、7、8 五年高考 1.★★(2024浙江1月,3,3分)如图所示,质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3,在空中达到最高点2的高度为h,则足球(　　) A.从1到2动能减少mgh B.从1到2重力势能增加mgh C.从2到3动能增加mgh D.从2到3机械能不变 1.答案　B 2.★★(多选)(2023重庆,8,5分)某实验小组测得在竖直方向飞行的无人机飞行高度y随时间t的变化曲线如图所示,E、F、M、N为曲线上的点,EF、MN段可视为两段直线,其方程分别为y=4t-26和y=-2t+140。无人机及其装载物的总质量为2 kg,取竖直向上为正方向。则(　　) A.EF段无人机的速度大小为4 m/s B.FM段无人机内的装载物处于失重状态 C.FM段无人机和装载物总动量变化量的大小为4 kg·m/s D.MN段无人机机械能守恒 2.答案　AB 3.★★(2024北京,7,3分)如图所示,光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放,物体脱离弹簧后进入半圆形轨道,恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是　(　　) A.物体在C点所受合力为零 B.物体在C点的速度为零 C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度 D.物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能 3.答案　C 4.★★★(2024全国甲,17,6分)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　) A.在Q点最大　　　　B.在Q点最小 C.先减小后增大　　　　D.先增大后减小 4.答案　C 5.★★(2025黑吉辽蒙,13,10分)如图,一雪块从倾角θ=37°的屋顶上的O点由静止开始下滑,滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x=2.5 m,A点距地面的高度h=1.95 m,雪块与屋顶的动摩擦因数μ=0.125。不计空气阻力,雪块质量不变,取sin 37°=0.6,重力加速度大小g=10 m/s2。求: (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0; (2)雪块落地时的速度大小v1,及其速度方向与水平方向的夹角α。 5.答案　(1)5 m/s　(2)8 m/s　60° 解析　(1)雪块在屋顶从静止开始做匀加速直线运动,根据牛顿第二定律得mg sin θ-μmg cos θ=ma,又=2ax,联立解得v0=5 m/s (2)雪块从A点离开屋顶后做斜抛运动,由机械能守恒定律得mgh=m-m,代入数据解得v1=8 m/s,雪块在做斜抛运动过程中,水平分速度不变,则v1 cos α=v0 cos θ,解得α=60° 思路点拨　本题求雪块落地时与水平方向的夹角,可以巧妙地在已求得初、末速度的情况下,运用斜抛运动初、末速度的水平分速度相等这一特点来列等式。 三年模拟 6.★★(2026届天津武清杨村一中开学考)高空“蹦极”是勇敢者的游戏。蹦极运动员将专用弹性橡皮绳(质量忽略不计)的一端系在双脚上,另一端固定在高处的跳台上,运动员无初速度地从跳台上落下。若不计空气阻力,则(　　) A.弹性绳刚伸直时,运动员开始减速 B.整个下落过程中,运动员的机械能保持不变 C.整个下落过程中,重力对运动员所做的功等于运动员克服弹性绳弹力所做的功 D.弹性绳从伸直到最低点的过程中,运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先增大后减小 6.答案　C 7.★★★(2026届江苏扬州新华中学月考)如图所示,光滑斜面固定在水平地面上,质量相等的物块A、B通过一根不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮连接,一轻质弹簧下端固定在斜面底端,另一端连接在A上。开始时B被托住,轻绳伸直但没有弹力。现使B由静止释放,在B运动至最低点的过程中(设B未落地,A未与定滑轮相碰,弹簧始终在弹性限度内)(　　) A.A和B总的重力势能先增大后减小 B.轻绳拉力对A做的功等于A机械能的增加量 C.当A受到的合力为零时,A的速度最大 D.当A和B的速度最大时,A和B的总机械能最大 7.答案　C 8.★★★(2026届四川绵阳丰谷中学开学考)如图所示,左侧竖直墙面上固定半径为0.3 m的光滑半圆环,右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一水平光滑直杆。质量为2 kg的小球a套在半圆环上,质量为2 kg的小球b套在直杆上,两者之间用长为L=0.4 m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处静止释放,让其沿圆环自由下滑,不计一切摩擦,a、b均视为质点,g取10 m/s2,则以下说法正确的是(　　) A.小球a滑到与圆心O等高的P点时,a的速度大小为 m/s B.小球a滑到与圆心O等高的P点时,a的向心加速度为10 m/s2 C.小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点(图中未画出)过程中,a、b及轻杆组成的系统机械能、动量均守恒 D.小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点(图中未画出)的过程中,小球a克服杆的作用力做的功约为6.59 J 8.答案　D 创新风向·挑战思维 运用机械能守恒解决不同方案下的“火箭发射”问题 (2025届山东德州三模)如图所示,某实验小组用轻质压缩弹簧代替推进剂,来研究火箭单级推进与多级推进。火箭的总质量为m,重力加速度为g,弹簧始终处于弹性限度内,火箭始终在竖直方向上运动,不计空气阻力。方案一:将两根相同的轻弹簧并排放置在火箭底部(不连接),模拟火箭的单级推进,将两根弹簧进行同样的压缩,释放后火箭在极短时间内获得速度(此过程忽略重力的影响),此后上升的最大高度为h。方案二:将火箭分为质量相等的两级,将方案一中的两根轻弹簧分别放置在两级火箭的底部(均不连接),将两级火箭上下叠放,并使两根轻弹簧分别压缩与方案一相同长度,以此模拟火箭的二级推进过程。实验时,先释放一级火箭底部的弹簧进行一级推进,使两级火箭迅速获得一共同速度,一级推进完成瞬间立即自动释放两级之间的弹簧进行二级推进,推进过程忽略重力影响。下列说法正确的是(　　) A.两个方案中,火箭的机械能守恒 B.方案二中,一级推进完成瞬间,火箭速度的大小为 C.方案二中,二级火箭上升的最大高度为2h D.方案一中,压缩的单根弹簧储存的弹性势能为mgh 答案 C 第4节　功能关系　能量守恒 常见的功能关系的理解和应用T1、3、6　　能量守恒定律的理解和应用T2、4、5、7 五年高考 1.★★(2023浙江1月,4,3分)一位游客正在体验蹦极,绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中　(　　) A.弹性势能减小 B.重力势能减小 C.机械能保持不变 D.绳一绷紧动能就开始减小 1.答案　B 2.★★★(2024安徽,7,4分)在某地区的干旱季节,人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田,简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h,与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变,水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ,水管内径的横截面积为S,重力加速度大小为g,不计空气阻力。则水泵的输出功率约为　(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 2.答案　B 3.★★★(2024山东,7,3分)如图所示,质量均为m的甲、乙两同学,分别坐在水平放置的轻木板上,木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接,连接点等高且间距为d(d<l)。两木板与地面间动摩擦因数均为μ,弹性绳劲度系数为k,被拉伸时弹性势能E=kx2(x为绳的伸长量)。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木板,直至甲所坐木板刚要离开原位置,此过程中两人与所坐木板保持相对静止,k保持不变,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g,则F所做的功等于(　　) A.+μmg(l-d)　　　　　B.+μmg(l-d) C.+2μmg(l-d)　　　　　D.+2μmg(l-d) 3.答案　B 4.★★★(2024江苏,15,12分)某重力储能系统的简化模型如图所示,长度为L,倾角为θ的斜坡ABCD上,有一质量为m的重物通过绳索与电动机连接。在电动机牵引下,重物从斜坡底端A点由静止开始运动,到达B点时速度达到最大值v,然后重物被匀速拉到C点,此时关闭电动机,重物恰好能滑至顶端D点,系统储存机械能。已知绳索与斜坡平行,重物与斜坡间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力和滑轮摩擦。 (1)求CD的长度x; (2)求重物从B到C过程中,电动机的输出功率P; (3)若不计电动机的损耗,求在整个上升过程中,系统储存的机械能E1与消耗电能E2的比值。 4.答案　(1) (2)mgv (3) 解析　(1)解法一　 动力学观点 重物在CD段运动过程中,由牛顿第二定律得 mg sin θ+μmg cos θ=ma 由运动学公式有0-v2=-2ax 联立解得x= 解法二　 能量观点 重物在CD段运动过程中,由动能定理有 -x=0-mv2 解得x= (2)重物在BC段匀速运动,则电动机对重物的牵引力为F=mg sin θ+μmg cos θ 由P=Fv得P=mgv (3)全过程中重物初、末态的动能均为0,重力势能增加,则重物增加的机械能为E1=mgL sin θ 整个过程根据题意及能量守恒可知,电动机消耗的总电能转化为重物增加的机械能(即系统储存的机械能)和因摩擦产生的热量,故可知E2=E1+μmg cos θ·L 可得== 三年模拟 5.★★★(多选)(2025届河南名校联盟三模)某缓冲装置的理想模型如图所示,劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可在固定的槽内移动,与槽间的滑动摩擦力为定值。轻杆向右移动的距离不超过L时,装置可安全工作。若一小车分别以初动能Ek和2Ek撞击弹簧,导致轻杆分别向右移动和。已知装置安全工作时,轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且不计小车与地面间的摩擦。比较小车这两次撞击缓冲的过程,下列说法正确的是(　　) A.弹簧的最大弹性势能为 B.轻杆与槽间的滑动摩擦力为 C.两次小车反弹离开弹簧的速度不同 D.为使装置安全工作,小车撞击弹簧的最大动能为 5.答案　AD 6.★★★(多选)(2026届四川绵阳平武中学开学考)如图所示,一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上,另一端与质量为m的滑块P连接,P穿在杆上,一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来,Q的质量为4m。将P从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动,当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等。已知OA与水平面的夹角θ=53°(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6),OB长为3L、与AB垂直,不计滑轮的摩擦,重力加速度为g。则P从A点到B点的过程中(　　) A.P和Q组成的系统机械能守恒 B.P的速度一直增大 C.轻绳对P做的功为8mgL D.P运动至B点的速度为v=2 6.答案　CD 7.★★★(2024届河北雄安新区部分学校联考)如图所示,某同学设计了一款小球循环运动的“永动装置”。小球从漏斗A点处静止释放,沿粗糙双金属杆组成的轨道运动,小球运动至轨道水平部分时经过一电磁作用区,然后从轨道末端D抛出,最终刚好以大小为v的水平速度回到漏斗中。小球撞击漏斗后立即减速为零继续下一周期的运动。小球的质量为m,重力加速度为g,漏斗和轨道末端距离轨道水平部分的高度分别为h1和h2,轨道末端与水平方向所成的角度为θ,不计小球在拐弯处机械能损失,下列说法正确的是(　　) A.从静止释放到第一次撞击漏斗前的过程中,电磁作用区给小球提供的能量等于小球机械能的增加量 B.从静止释放到第一次撞击漏斗前的过程中,电磁作用区给小球提供的能量等于 C.若撤去电磁作用区,其他条件不变,则小球仍可从D点抛出 D.h1-h2= 7.答案　D 创新风向·知识迁移 对比重力势能、重力做功与重力势能的关系理解“新势能” (多选)(2025届湖南衡阳模拟)“水往低处流”是一种自然现象,同一滴水在水面的不同位置具有相同的重力势能,即水面是等势面。通常稳定状态下的水面为水平面,但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动,稳定时水面呈凹状,如图所示。这一现象依然可用势能来解释:以桶为参考系,桶中的水还多受到一个“力”,同时水还将具有一个与该“力”对应的“势能”。为便于研究,在过桶竖直轴线的平面上,以水面最低处为坐标原点O、以竖直向上为y轴正方向、以水平向右为x轴正方向建立xOy直角坐标系,质量为m的小水滴(可视为质点)在这个坐标系下,因该“力”具有的“势能”可表示为Epx=-mω2x2。该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能,水会向总势能更低的地方流动,稳定时水面上相同质量的水将具有相同的总势能。下列说法正确的是(　　) A.若增大桶转动的角速度ω,则稳定时,凹液面的最低点位置应下降 B.稳定转动时桶中水面的纵截面为双曲线的一部分 C.小水滴距离y轴越远,该“势能”越小 D.与该“势能”对应的“力”的大小随x的增大而减小 答案 AC 微专题11　动力学和能量观点相结合的两类典型模型 题组1　传送带模型 1.★★★(2026届广西来宾高级中学开学考)如图所示,与水平地面成θ角的传送带,以恒定速率v顺时针转动。现将一质量为m的小物体(视为质点)无初速度放在传送带的底端M处,小物体到达传送带最高点N处时恰好达到传送带的速率v,已知M、N间的高度差为H,则在小物体从M到N的过程中(　　) A.传送带对小物体做功为mv2 B.将小物体由底端传送到N处过程中,该系统多消耗的电能为mgH+mv2 C.将小物体传送到N处,系统因摩擦而产生的热量为mv2 D.改变传送带与小物体之间的动摩擦因数,使物体到达N点前速率达到v,则系统因摩擦产生的热量将减少 1.答案　D 2.★★★(多选)(2025届福建厦门六中月考)如图甲所示,绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行。初速度大小为v2,质量为m的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时,小物块在传送带上运动的v-t图像(以地面为参考系)如图乙所示,已知当地重力加速度为g,则下列判断正确的是(　　) 　 A.小物块与传送带之间的动摩擦因数为 B.小物块向左运动的最远距离为(v2-v1)t2 C.从0到t3时间内,由于物块和传送带摩擦而增加的内能为 D.从0到t3时间内,由于物块在传送带上运动而多消耗的电能为 2.答案　AC 3.★★★(2025浙江6月,16,11分)某兴趣小组设计了一传送装置,其竖直截面如图所示。AB是倾角为30°的斜轨道,BC是以恒定速率v0顺时针转动的水平传送带,紧靠C端有半径为R、质量为M、置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道,水平面和传送带BC处于同一高度,各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块,从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑,经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为μ,其余接触面均光滑。已知R=0.36 m,L=1.6 m,v0=5 m/s,m=0.2 kg,M=1.8 kg,μ=0.25。g取10 m/s2,不计空气阻力,物块可视为质点,传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小; (2)从B点运动到C点过程摩擦力对其做的功; (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度; (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间,受到轨道的压力大小。 3.答案　(1)4 m/s　(2)0.9 J　(3)0.2 m　(4)3 N 解析　(1)解法一　 能量观点 物块从P点到B点的过程,只有重力做功,由机械能守恒定律 得mgL sin 30°=m 解得物块滑到B点处的速度大小vB=4 m/s 解法二　 运动学观点 物块从P点到B点的过程做匀变速直线运动,由牛顿第二定律有mg sin 30°=ma斜 由运动学公式有=2a斜L,联立解得vB=4 m/s (2)由于传送带足够长,则物块滑上传送带后,先做匀加速直线运动,与传送带共速后做匀速直线运动,由动能定理得该过程摩擦力对物块做的功为Wf=m-m 代入数据解得Wf=0.9 J (3)由功的定义可得物块在传送带上加速的位移为 x1==1.8 m 物块在传送带上加速时的加速度大小为 a=μg=2.5 m/s2 物块在传送带上的加速时间为 t==0.4 s 此过程传送带的位移为x2=v0t=2 m 则物块在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度为 Δx=x2-x1=0.2 m (4)物块从进入圆弧轨道直至到达圆弧轨道最高点的过程,物块和半圆弧轨道组成的系统机械能守恒、水平方向动量守恒,规定水平向右为正方向,则有mv0=mv1+Mv2 m=m+M+2mgR 解得v1=-2.2 m/s,v2=0.8 m/s(另一组解不符合题意,舍去) 物块在最高点时,由牛顿第二定律得F+mg=m【点拨:速度应用物块相对半圆弧轨道的速度】 解得F=3 N 题组2　滑块-木板模型 1.★★(多选)(2026届北京四中开学考)如图所示,质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上,使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的滑动摩擦力为f。物块滑到小车的最右端时,小车运动的距离为s。在这个过程中,以下结论正确的是(　　) A.物块到达小车最右端时具有的动能为F(l+s) B.物块到达小车最右端时,小车具有的动能为fs C.物块和小车系统增加的内能为fl D.物块和小车系统增加的机械能为F(l+s) 1.答案　BC 2.★★(多选)(2023全国乙,21,6分)如图,一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上,另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f,当物块从木板右端离开时(　　) A.木板的动能一定等于fl B.木板的动能一定小于fl C.物块的动能一定大于m-fl D.物块的动能一定小于m-fl 2.答案　BD 3.★★★(多选)(2025届河北衡水二模)质量m1=3 kg的长木板M放置在光滑水平面上,另一质量m2=2 kg的物块N放置在长木板的左端,如图甲所示。现对物块N施加一向右的水平拉力,在物块N离开长木板前,两者的加速度a随各自位移x变化的图像如图乙所示,已知重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　) 　　 A.M、N之间的动摩擦因数为0.3 B.当x=0.5 m时,水平拉力大小为10 N C.物块N的位移x≤5 m的过程中,水平拉力的最大功率为264 W D.物块N的位移x≤5 m的过程中,水平拉力做的功为110 J 3.答案　BC 4.★★★(多选)(2026届四川多校开学联考)如图甲所示,质量M=0.5 kg、长L=1 m的木板,初始时刻静止在光滑水平地面上,可视为质点的质量m=1 kg的小物块,以初速度v0从木板左端滑上,同时对木板施加一个水平向右的恒力F,系统因摩擦产生的热量Q的倒数与恒力F取不同值时的关系图像如图乙所示。已知物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.2,重力加速度g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　) 　 A.当F<1 N时,系统因摩擦产生的热量为2 J B.DE段表示物块最终与木板共速 C.物块的初速度为4 m/s D.C点的横坐标为3 N 4.答案　ACD 5.★★★★(2025届山东齐鲁名校联考五)如图所示,足够长固定斜面的倾角θ=37°,斜面顶端放一长为4.5 m的木板,其质量为m1=4 kg,与斜面间动摩擦因数为μ1=0.5,初始时被锁定。一质量为m2=1 kg的小物块(可看作质点)以沿斜面向上v0=8 m/s的速度从木板下端滑上木板,同时释放木板,物块与木板间动摩擦因数为μ2=0.3。已知sin 37°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,以下说法正确的是(　　) A.物块从木板上端滑下 B.物块经2 s从木板上滑下 C.物块从木板上滑下时,木板的速度大小为3.2 m/s D.从物块滑上木板到滑下木板过程中,整个系统因摩擦产生的热量为103.2 J 5.答案　D 实验7　验证机械能守恒定律 1.(2025江西,11,8分)某小组利用气垫导轨、两个光电门、滑块、遮光片等,组成具有一定倾角的导轨装置,研究机械能守恒定律。重力加速度g取9.80 m/s2。 (1)实验前,应合理安装实验器材。图(a)中光电门　　　　的位置安装不合理,应如何调整:　。  (2)实验时,导轨倾斜角的正弦值sin θ=0.061 3,光电门1、2相距L。将宽度d=4.82 mm的遮光片固定于滑块上,从导轨最左端静止释放滑块,分别记录遮光片通过光电门1、2的时间Δt1和Δt2。移动光电门2的位置改变L,重复实验,所测数据如表。 L/cm 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 … 60.00 65.00 70.00 Δt1/ms 9.982 9.883 10.019 10.068 10.049 … 10.073 10.066 10.170 Δt2/ms 8.016 7.578 7.032 6.583 6.310 … 4.938 4.787 4.677 滑块经过光电门1、2的速度分别为v1和v2。当L=65.00 cm时,v2=　　　　m/s,滑块通过两光电门下降的高度HL=　　　　cm。(结果保留2位小数)  (3)处理表中数据,并绘制Δv2-HL关系曲线(其中Δv2=-),如图(b)所示。根据图(b)中的信息,分析滑块在下滑过程中机械能是否守恒:　　　,并给出理由:　　　　　　　　　　　　。  1.答案　(1)1　将光电门1位置沿导轨适当向右移动 (2)1.01　3.98　(3)守恒　根据图(b)可知图线斜率约为19.6 m/s2(等于2g)。在误差范围内Δv2=2gHL成立,说明下滑过程中滑块的动能增加量等于重力势能的减少量,即机械能守恒 解析　(1)滑块从导轨左端释放时其状态易受到扰动,若其与光电门1的位置太近,会导致滑块通过光电门1的速度测量不准,因此应将光电门1位置沿导轨适当向右移动。 (2)v2==1.01 m/s,HL=Lsin θ=3.98 cm。 (3)根据图(b)可知图线斜率约为19.6 m/s2(等于2g)。在误差范围内Δv2=2gHL成立,说明下滑过程中滑块的动能增加量等于重力势能的减少量,即机械能守恒。 2.(2025甘肃,11,6分)某学习小组使用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律。 把一个直径为d的小球用不可伸长的细线悬挂,光电门置于小球平衡位置处,其光线恰好通过小球球心,计时器与光电门相连。 将小球拉离平衡位置并记录其高度h,然后由静止释放(运动平面与光电门光线垂直),记录小球经过光电门的挡光时间Δt。改变h,测量多组数据。已知重力加速度为g,忽略阻力。 (1)以h为横坐标、　　　 填“Δt”“(Δt)2”“”或“”为纵坐标作直线图。若所得图像过原点,且斜率为　　　　(用d和g表示),即可证明小球在运动过程中机械能守恒。  (2)实验中,用游标卡尺测得小球直径d=20.48 mm。 ①由结果可知,所用的是　　　　分度的游标卡尺(填“10”“20”或“50”);  ②小组设计了一把25分度的游标卡尺,未测量时的状态如图2所示。如果用此游标卡尺测量该小球直径,则游标尺上第　　　　条刻度线与主尺上的刻度线对齐。  2.答案　(1)　　(2)①50　②12 解析　(1)若机械能守恒,则有mgh=mv2,其中v=,整理可得= h,故应以h为横坐标、为纵坐标,所得直线的斜率为。 (2)①用10分度的游标卡尺测得结果精确到 mm=0.1 mm,以毫米为单位记录,则结果只能到小数点后一位;同理,用20分度的游标卡尺测得结果精确到 mm=0.05 mm,用50分度的游标卡尺测得结果精确到 mm=0.02 mm,0.48 mm恰好是0.02 mm的24倍,与0.05 mm没有整数倍关系,则所用的是50分度的游标卡尺。 ②25分度的游标卡尺是把24 mm分成25个小格,每个小格表示 mm,与主尺上1 mm的偏差是 mm= mm=0.04 mm,测量结果以毫米为单位,整数位直接从主尺上读出,0.48 mm是根据游标尺得到的,=12,故游标尺上第12条刻度线与主尺上的刻度线对齐。 3.(2025河南,12,9分)实验小组利用图1所示装置验证机械能守恒定律。可选用的器材有:交流电源(频率50 Hz)、铁架台、电子天平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。 图1 (1)下列所给实验步骤中,有4个是完成实验必需且正确的,把它们选择出来并按实验顺序排列:　　　(填步骤前面的序号)。  ①先接通电源,打点计时器开始打点,然后再释放纸带 ②先释放纸带,然后再接通电源,打点计时器开始打点 ③用电子天平称量重锤的质量 ④将纸带下端固定在重锤上,穿过打点计时器的限位孔,用手捏住纸带上端 ⑤在纸带上选取一段,用刻度尺测量该段内各点到起点的距离,记录分析数据 ⑥关闭电源,取下纸带 (2)图2所示是纸带上连续打出的五个点A、B、C、D、E到起点的距离。则打出B点时重锤下落的速度大小为　　　　m/s(保留3位有效数字)。  (3)纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度h,计算相应的重锤下落速度v,并绘制图3所示的v2-h关系图像。理论上,若机械能守恒,图中直线应　　　(填“通过”或“不通过”)原点且斜率为　　　　(用重力加速度大小g表示)。由图3得直线的斜率k=　　　　　　(保留3位有效数字)。  (4)定义单次测量的相对误差η=×100%,其中Ep是重锤重力势能的减小量,Ek是其动能增加量,则实验相对误差为η=　　　　×100%(用字母k和g表示);当地重力加速度大小取g=9.80 m/s2,则η=　　　　%(保留2位有效数字),若η<5%,可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。  3.答案　(1)④①⑥⑤　(2)1.79　(3)通过　2g　19.1 m/s2(18.9 m/s2、19.0 m/s2、19.2 m/s2、19.3 m/s2均算对)　 (4)　2.6(3.6、3.1、2.0、1.5均算对) 解题导引　通过v2-h图像验证机械能守恒定律,关键是理解机械能守恒定律的表达式,然后进行合理变换。 解析　(1)需要先接通电源,再释放纸带,①正确,②错误;不需要测量重锤质量,③不是必需的;依据实验步骤先后,正确排序应为④①⑥⑤。 (2)B点的瞬时速度等于AC段的平均速度,vB== m/s=1.785 m/s≈1.79 m/s (3)若机械能守恒,由mgh=mv2得v2=2gh,故v2-h图像中的图线应通过原点,斜率k=2g。在图线上选点(0.29 m,5.5 m2·s-2)和(0.075 m,1.4 m2·s-2)计算斜率,可得k= m/s2≈19.1 m/s2 (4)η=×100%=×100%=×100%。代入k=19.1 m/s2和g=9.80 m/s2可得η≈2.6%。 4.[2023天津,9(1)]某同学利用图示的气垫导轨实验装置验证机械能守恒定律,主要实验步骤如下: A.将桌面上的气垫导轨调至水平; B.测出遮光条的宽度d; C.将滑块移至图示位置,测出遮光条到光电门的距离l; D.由静止释放滑块,读出遮光条通过光电门的遮光时间Δt; E.称出托盘和砝码总质量m1、滑块(含遮光条)的质量m2。 已知当地重力加速度为g,回答以下问题(用题中所给的字母表示): ①遮光条经过光电门时的速度大小为　　　　;  ②遮光条由静止运动至光电门的过程,系统重力势能减少了　　　　;遮光条经过光电门时,滑块、托盘和砝码的总动能为　　　　　;  ③通过改变滑块的释放位置,测出多组l、Δt数据,利用实验数据绘制出-l图像如图。若图中直线的斜率近似等于　　　　,可认为该系统机械能守恒。  4.答案　①　②m1gl　(m1+m2)　③ 解析　①遮光条通过光电门的挡光时间极短,该时间内的平均速度近似等于遮光条通过光电门的瞬时速度,即v=; ②遮光条由静止运动至光电门的过程中,系统重力势能的减少量=m1gl,系统动能的增加量ΔEk=(m1+m2); ③若系统的机械能守恒,则有=ΔEk,即m1gl=(m1+m2)成立,整理得=l,可得图像的斜率k=。 学科网（北京）股份有限公司 $