第三章 函数的概念与性质 章末复习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高一数学第三章函数的概念与性质，精选各地期中期末真题设计基础题，覆盖定义域、单调性等核心知识点，通过实际情境与数学推理培养数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|定义域（第1题）、图像识别（第3题）、实际应用（第6题脉搏率与体重关系）|结合生活情境，考查数学眼光观察现实世界| |多选题|3|奇偶性与单调性（第10题）、高斯函数（第11题）|设置开放选项，培养批判性思维| |填空题|3|幂函数性质（第12题）、函数值域（第13题）|聚焦基础技能，强化数学语言表达| |解答题|2|奇偶性证明（第15题）、单调性与不等式（第16题）|分层设计推理过程，提升数学思维逻辑性|

第三章 函数的概念与性质 章末复习【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·陕西高二期中）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则. 解不等式得或. 所以函数的定义域为， 答案选D. 2.（2025-2026·天津津南高一上期中）设函数，则的表达式为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由,将式中替换为,则对应为,得. 故选:B. 3.（2025-2026·上海徐汇高一上期中）函数的大致图像如图，则其解析式可能为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于选项A:的图象为两条射线,与已知图象不符. 对于选项B:的定义域为,与已知图象不符. 对于选项C:当时,单调递增; 当时,单调递减, 且图象关于对称,在处平滑连接,与已知图象相符. 对于选项D:当时,增长速度快; 当时,下降速度快,与已知图象不符. 故选:C. 4.（2025-2026·高一上课时作业）函数f(x)＝|x－3|在区间[－1，4]上的最大值和最小值分别是 （      ）  A.4，1 B.1，－4 C.4，－4 D.4，0 【答案】D 【解析】由f(x)＝|x－3|＝可知函数图象关于直线x＝3对称， 且在(－∞，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f(－1)＝4，f(4)＝1，f(3)＝0， 故当x＝－1时，f(x)＝|x－3|取得最大值4； 当x＝3时，f(x)＝|x－3|取得最小值0. 故选D. 5.（2025-2026·高一上课时作业）若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m （      ）  A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 【答案】B 【解析】f(x)＝(x＋)2－＋b. ①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f(－)＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，故M－m＝max{1＋a＋}，与a有关，与b无关； ②当－＜0时，f(x)在[0，1]上单调递增，故M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a，与a有关，与b无关； ③当－＞1时，f(x)在[0，1]上单调递减，故M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a，与a有关，与b无关.综上所述，M－m与a有关，但与b无关. 6.（2025-2026·陕西宝鸡高一上期中）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（ ） A.6Kg B.8Kg C.18Kg D.54Kg 【答案】D 【解析】设, 由,得, 故, 由,得, 则, 答案为D. 7.（2025-2026·浙江高一期末）已知函数，对任意，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A、B选项：函数的对称轴为，在递减、递增，因位置不确定，与大小关系无法确定，A、B错误. 对于C、D选项： ，， 作差化简得，即，C正确，D错误. 故答案选C. 8.（2025-2026·重庆高一期末）已知幂函数，则“”是“在上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：时，，在上递增. 必要性：是幂函数且在上递增，需，解得. 故“”是“在上为增函数”的充要条件. 故答案选C. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·高一上课时作业）若函数f(x)＝的值域是[0，＋∞)，则实数a的可能取值是 （      ）  A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】CD 【解析】方法一：令g(x)＝ax2＋ax＋2，要使f(x)＝的值域是[0，＋∞)，只需a＞0且Δ＝a2－8a≥0，解得a≥8，故选C、D. 方法二：令g(x)＝ax2＋ax＋2，要使f(x)的值域包括0，则g(x)的最小值小于等于0.故解得a≥8.故选C、D. 10.（2025-2026·高一上课时作业）若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则下列关系式中成立的是 （      ）  A.f(－)>f(1)>f(－2) B.f(－1)<f(－)<f(2) C.f(2)<f(－1)<f(－) D.f(2)<f(－)<f(－1) 【答案】ACD 【解析】若f(x)为偶函数， 则f(2)＝f(－2)，f(1)＝f(－1). ∵f(x)在(－∞，0]上单调递增， ∴f(－2)<f(－)<f(－1)<f(－)， 即f(－)>f(1)>f(－2)，f(2)<f(－1)<f(－)，f(－1)>f(－)>f(2)，A，C，D选项正确，B选项错误． 11.（2025-2026·江西宜春高一上期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则（） A.当时， B. C.函数是增函数 D.函数的值域为 【答案】AD 【解析】由高斯函数的定义，对任意表示不超过的最大整数， 函数称为小数部分函数. 对于选项A，当时，由定义直接得， 从而，故选项A正确. 对于选项B，取，则， ，于是，因此选项B错误. 对于选项C与D，考虑函数的性质. 由定义可知，对任意整数，当时，，此时. 因此在每个区间上是从到的线性递增函数， 但在整数点处发生跳跃，因为，而. 由此可得的图象为周期的周期折线， 在每个周期内从单调递增至接近，但在整数点处值回落到. 故在上不是单调递增函数，其值域为. 所以选项 C 错误，选项 D 正确. 故选：AD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·福建泉州高一上期中）幂函数在上为减函数，则的值为           ． 【答案】 【解析】由幂函数定义得, 解得或. 因为函数在上单调递减, 所以,即, 故. 13.（2025-2026·高一上课时作业）函数y＝的值域为                   ． 【答案】(－∞，3)∪(3，＋∞) 【解析】因为y＝＝＝3＋， 又因为≠0，所以3＋≠3， 所以函数y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)． 14.（2025-2026·四川达州高一上期末）已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为                   ． 【答案】 【解析】设. 由,当时,, 结合,得,即. 所以在上单调递增. 因为是连续不断的曲线,所以在上单调递增. 因为是定义域为的奇函数,所以. 则,故是上的偶函数. 由,得. 结合为偶函数,有. 又在上单调递增,所以. ,则,化简得. ,则,化简得. 对两边平方,得. 展开整理得, 移项合并同类项得,两边除以3得, 因式分解得,解得. 取三个不等式解集的交集,得. 故答案为:. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·广东广州高一上期中）已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)用函数单调性的定义证明：在上是增函数． 【答案】证明：(1)由得定义域为,关于原点对称; 由,故是奇函数． (2)设, 由; 因为,所以,,故, 因此,即, 故在上是增函数． 16.（2025-2026·四川眉山高一下期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【答案】解：(1)由是定义在上的奇函数，得，代入解析式得， 结合，计算得，故. (2)在上为增函数，证明如下. 设，得， 化简得， 故，从而在上为增函数. (3)由得， 由奇函数性质得，结合在上为增函数， 得，解不等式组得， 故不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 章末复习【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·陕西高二期中）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026·天津津南高一上期中）设函数，则的表达式为（） A. B. C. D. 3.（2025-2026·上海徐汇高一上期中）函数的大致图像如图，则其解析式可能为（） A. B. C. D. 4.（2025-2026·高一上课时作业）函数f(x)＝|x－3|在区间[－1，4]上的最大值和最小值分别是 （      ）  A.4，1 B.1，－4 C.4，－4 D.4，0 5.（2025-2026·高一上课时作业）若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m （      ）  A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 6.（2025-2026·陕西宝鸡高一上期中）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（ ） A.6Kg B.8Kg C.18Kg D.54Kg 7.（2025-2026·浙江高一期末）已知函数，对任意，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 8.（2025-2026·重庆高一期末）已知幂函数，则“”是“在上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·高一上课时作业）若函数f(x)＝的值域是[0，＋∞)，则实数a的可能取值是 （      ）  A.6 B.7 C.8 D.9 10.（2025-2026·高一上课时作业）若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则下列关系式中成立的是 （      ）  A.f(－)>f(1)>f(－2) B.f(－1)<f(－)<f(2) C.f(2)<f(－1)<f(－) D.f(2)<f(－)<f(－1) 11.（2025-2026·江西宜春高一上期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则（） A.当时， B. C.函数是增函数 D.函数的值域为 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·福建泉州高一上期中）幂函数在上为减函数，则的值为           ． 13.（2025-2026·高一上课时作业）函数y＝的值域为                   ． 14.（2025-2026·四川达州高一上期末）已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为                   ． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·广东广州高一上期中）已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)用函数单调性的定义证明：在上是增函数． 16.（2025-2026·四川眉山高一下期末）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $