第三章函数的概念与性质 核心素养测评卷 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，融合基础巩固与创新应用，适配高中数学函数单元复习，通过跨地区期中真题与新定义问题，提升抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、解析式、奇偶性|含“1阶准偶函数”新定义（第8题），整合江苏南京等地期中题| |多选题|3/18|函数性质综合、狄里克雷函数|结合数学文化（第11题），考查批判性思维| |填空题|3/15|奇函数性质、幂函数、存在性问题|注重知识迁移（第14题函数值域应用）| |解答题|5/77|解析式求法、单调性证明、“含峰函数”|突出抽象推理（第17题抽象函数证明）与创新应用（第19题新定义探究）|

第三章核心素养测评卷 函数的概念与性质 满分150分　限时120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设f(3x)＝，则f(1)＝(　C　) A. B.7 C.2 D. 【解析】∵f(3x)＝，∴f(1)＝f＝2. 2.(2025·江苏南京高一期中)设函数f(x)＝则f＝(　B　) A.－4 B.－2 C.0 D.2 【解析】∵f(x)＝ ∴f＝f＝f＝f＝f＝f＝f＝4－6＝－2. 3.已知函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(2x－1)的定义域为(　D　) A. B. C. D. 【解析】∵函数f(x)的定义域为，∴－1≤2x－1≤3，解不等式得0≤x≤2，即函数f(2x－1)的定义域为[0，2].　 4.(2025·山东济宁高一阶段练习)已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝(　B　) A.－1 B.－1 C.－1 D.－1 【解析】设1－x＝t，则x＝1－t，由x≠0，得t≠1，于是f(t)＝－1，∴f(x)＝－1，x≠1. 5.(2025·福建厦门高一期中)函数f的单调递减区间是(　A　) A. B. C. D. 【解析】对于函数f(x)，有－x2－2x≥0，即x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，∴函数f(x)的定义域为[－2，0]，∵内层函数u＝－x2－2x在[－2，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，且外层函数y＝在上为增函数，由复合函数法可知，函数f(x)的递减区间为[－1，0]. 6.(2025·杭州高一期中)设f(x)为奇函数且在上单调递减，若f(3)＝0，则x·f(x)＜0的解集为(　C　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 【解析】∵f(x)为奇函数且在上单调递减，∴在(－∞，0)上单调递减，又f＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，作出f(x)的大致图象如图所示， ∴x·f＜0⇔或解得x＞3，或x＜－3，∴x·f(x)＜0的解集为∪. 7.(2025·广东高一期中)已知函数f若对任意x1≠x2，＜0恒成立，则a的取值范围是(　C　) A.[－3，0) B.(0，3] C.[－4，－3] D.(－4，－3] 【解析】不妨假设x2＞x1，由＜0，得f＜f，则f(x)在R上单调递减，∴解得－4≤a≤－3，∴实数a的取值范围是. 8.(2025·广东深圳高一检测)若集合中恰有k个元素，则称函数f(x)是“k阶准偶函数”.若函数f是“1阶准偶函数”，则a的取值范围是(　D　) A. B. C. D. 【解析】根据题意，函数f是“1阶准偶函数”，则集合中恰有1个元素.当a＜0时，函数f∵函数y＝x2本身具有偶函数性质，故集合中不止有1个元素，矛盾；当a＞0时，根据“1阶准偶函数”的定义得f(x)的可能取值为x2，或－3x－2，f为3x－2，若3x－2＝－3x－2， 即x＝0，不满足题意，若x2＝3x－2，解得x＝2，或x＝1，故要使得集合中恰有1个元素，则需要满足1≤a＜2；当a＝0时，函数ff(x)的取值为x2，f(－x)为3x－2，根据题意得 3x－2＝x2，解得x＝2，或x＝1，恰有2个元素，故a＝0不满足条件.综上， 实数a的取值范围是. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.(2025·福建高一期中)若f(x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h(x)＝f(x)g(x)的部分图象可能为(　AC　) A. B. C. D. 【解析】∵f(x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，∴h＝fg＝－fg＝－h，∴函数h(x)＝f(x)g(x)为奇函数，∴h(x)的图象关于原点对称. 10.(2025·山东枣庄高一期中)已知函数f(x)＝，则(　ABD　) A.函数f(x)的定义域为 B.函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减 C.函数f(x)的值域为 D.不等式f(x)＞2的解集为(－1，0) 【解析】对于A，函数f(x)＝有意义，则x＋1≠0，解得x≠－1，f(x)的定义域为，A正确；对于B，f(x)＝1＋在(－1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，B正确；对于C，f(x)＝1＋≠1，函数f(x)的值域为，C错误；对于D，由f(x)＞2，得＞1，则0＜x＋1＜1，解得 －1＜x＜0，f(x)＞2的解集为(－1，0)，D正确. 11.(2025·湖北高一期中)狄里克雷是解析数论的创始人之一，1837年他提出“狄里克雷函数”D下列说法中，正确的是(　AB　) A.D(D(x))＝1 B.D(x)＝1是偶函数 C.D(x＋y)＝D(x)＋D(y) D.D(xy)＝D(x)·D(y) 【解析】对于A，当x是有理数时，D(x)＝1，D＝D＝1；当x是无理数时，D(x)＝0，D(D(x))＝D(0)＝1，故D(D(x))＝1，A正确；对于B，当x是有理数时，－x也是有理数，D(－x)＝D(x)＝1；当x是无理数时，－x也是无理数，D(－x)＝D(x)＝0，故对任意实数x，都有D(－x)＝D(x)，即D(x)是偶函数，B正确；对于C，取x，y为有理数，则D(x＋y)＝1，D(x)＝D(y)＝1，显然C错误；对于D，取x＝，y＝，则D(xy)＝D(1)＝1，D(x)＝D(y)＝0，显然D错误. [选择题答题区] 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B A C C D AC ABD AB 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(2025·湖南株洲高一期中)已知函数f为奇函数，则 2a＋b等于　－3　.  【解析】设x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝＝x2－x＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2＋x，又当x＞0时，f(x)＝ax2－bx，∴a＝－1，b＝－1，故2a＋b＝－3. 13.(2025·温州高一期中)已知幂函数f(x)的图象经过第二象限，且在区间(0， ＋∞)上单调递减，则一个符合要求的f(x)＝　x－2(答案不唯一，符合题意即可)　.  【解析】例如f＝x－2＝，可知f(x)的定义域为，且f(x)＞0，∴幂函数f(x)的图象经过第二象限，且在区间上单调递减，符合题意，故f(x)为x－2(答案不唯一，符合题意即可). 14.函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax－1，若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f＝g，则a的取值范围是　(－∞，－4]∪[2，＋∞)　.  【解析】若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f＝g，即g(x)在[－1，2]上的值域要包含f(x)在[－1，2]上的值域，又在[－1，2]上f(x)∈[－1，3]. ∴当a＜0时，g(x)＝ax－1单调递减，此时解得a≤－4；当a＝0时，g(x)＝－1，显然不满足题设；当a＞0时，g(x)＝ax－1单调递增，此时解得a≥2.综上，a的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞). 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025·宁波高一期中)已知函数f(x)＝的图象过点(1，1)和. (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在区间上的单调性，并用单调性的定义证明. 解：(1)根据题意函数f(x)＝的图象过点(1，1)和，则f＝1，f，解得m＝3，n＝2，则f(x)＝. (2)函数f(x)在上单调递减，证明如下：任取x1，x2∈， 设x1＜x2，则f－f， 又0＜x1＜x2，则x2－x1＞0，x1＋x2＞0，＋2＞0，＋2＞0， 则f－f＞0，∴f＞f，故函数f(x)在上单调递减. 16.(15分)(2025·绍兴高一期中)设f(x)为定义在R上的偶函数，如图所示为函数f(x)图象的一部分，当0≤x＜2时，函数f(x)的图象是线段OA；当x≥2时，函数f(x)的图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的抛物线的一部分. (1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)在y轴左侧的图象； (2)求函数f(x)在上的解析式； (3)写出函数f(x)的单调区间. 　　　 答案图 解：(1)如图所示，根据函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称，作出其图： (2)当0≤x＜2时，f(x)＝x；当x≥2时，依题设f(x)＝a(x－3)2＋4，代入点(2，2)，解得a＝－2，故此时f(x)＝－2(x－3)2＋4＝－2x2＋12x－14， 即函数f(x)在上的解析式为 f(x)＝ (3)由图知，函数的单调递增区间为(－∞，－3]和[0，3]，单调递减区间为[－3，0]和[3，＋∞). 17.(15分)(2025·江苏连云港高一期中)定义在R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0. (1)证明：函数f(x)是奇函数； (2)判断函数f(x)在R上的单调性并证明. (1)证明：函数f(x)的定义域为R，令x＝0，y＝0得，f＝f＋f，∴f＝0， 再令y＝－x，则f＝f＋f，即f＝－f，∴函数f(x)在R上是奇函数. (2)解：f(x)在R上是减函数，证明如下： 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，则f－f＝f－f＝f＋f－f＝f，∵当x＞0时，f＜0，∴f＜0，∴f－f＜0，即f＜f，∴函数f(x)在R上单调递减. 18.(17分)已知函数f(t)＝t＋，t∈. (1)求f(t)的值域G； (2)若对于G内的所有实数x，不等式－x2＋2mx－m2＋2m≤1恒成立，求实数m的取值范围. 解：(1)∵f(t)在上单调递减，在上单调递增，且f＋2－＝1，f(1)＝1＋1－，f(2)＝2＋＝1，∴f(t)的值域G是. (2)∵对于G内的所有实数x，不等式－x2＋2mx－m2＋2m≤1恒成立，∴x2－2mx＋m2－2m＋1≥0对于x∈恒成立.令g(x)＝x2－2mx＋m2－2m＋1，则g(x)min≥0，　 易知g(x)的图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线x＝m. ①当m≤时，g(x)在上单调递增， ∴g(x)min＝g－m＋m2－2m＋1≥0， 解得m≤，或m≥，∴m≤； ②当＜m＜1时，g(x)在上单调递减，在[m，1]上单调递增，∴g(x)min＝g(m)＝m2－2m2＋m2－2m＋1≥0，解得m≤，无解； ③当m≥1时，g(x)在上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝1－2m＋m2－2m＋1≥0， 解得m≤2－，或m≥2＋，∴m≥2＋.综上，实数m的取值范围是∪[2＋，＋∞). 19.(17分)(2025·山东济宁高一期中)设y＝f(x)是定义在[m，n](m＜n)上的函数，若存在x0∈(m，n)，使得y＝f(x)在区间上严格递增，且在区间上严格递减，则称y＝f(x)为“含峰函数”，x0称为峰点，[m，n]称为含峰区间. (1)试判断y＝－x2＋x是否为[0，1]上的“含峰函数”?若是，请指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c∈R)是定义在[m，3]上，峰点为1的“含峰函数”，且值域为[0，2]，求a的取值范围. 解：(1)y＝－x2＋x为[0，1]上的“含峰函数”，理由如下： ∵y＝－x2＋x＝－，函数图象开口向下，∴y＝－x2＋x在上严格递增，在上严格递减，故y＝－x2＋x为[0，1]上的“含峰函数”，峰点为. (2)由题意得y＝ax2＋bx＋c在上严格递增，在上严格递减， 故m＜1，a＜0，－＝1，∴b＝－2a， 故y＝ax2－2ax＋c＝a＋c－a，又值域为[0，2]，故c－a＝2，故y＝a＋2，a＜0，若m＜－1，此时y＝＋2在x＝m处取得最小值0，故a＋2＝0，∴a＝－，由于m＜－1，故－＜－＜0，即－＜a＜0；若－1≤m＜1，此时y＝＋2在x＝3处取得最小值0，即4a＋2＝0，解得a＝－.综上，a∈. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章核心素养测评卷 函数的概念与性质 满分150分　限时120分钟 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设f(3x)＝，则f(1)＝(　 　) A. B.7 C.2 D. 2.(2025·江苏南京高一期中)设函数f(x)＝则f＝(　 　) A.－4 B.－2 C.0 D.2 3.已知函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(2x－1)的定义域为(　 　) A. B. C. D. 4.(2025·山东济宁高一阶段练习)已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝(　 　) A.－1 B.－1 C.－1 D.－1 5.(2025·福建厦门高一期中)函数f的单调递减区间是(　 　) A. B. C. D. 6.(2025·杭州高一期中)设f(x)为奇函数且在上单调递减，若f(3)＝0，则x·f(x)＜0的解集为(　 　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 7.(2025·广东高一期中)已知函数f若对任意x1≠x2，＜0恒成立，则a的取值范围是(　 　) A.[－3，0) B.(0，3] C.[－4，－3] D.(－4，－3] 8.(2025·广东深圳高一检测)若集合中恰有k个元素，则称函数f(x)是“k阶准偶函数”.若函数f是“1阶准偶函数”，则a的取值范围是(　 　) A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.(2025·福建高一期中)若f(x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h(x)＝f(x)g(x)的部分图象可能为(　 　) A. B. C. D. 10.(2025·山东枣庄高一期中)已知函数f(x)＝，则(　 　) A.函数f(x)的定义域为 B.函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减 C.函数f(x)的值域为 D.不等式f(x)＞2的解集为(－1，0) 11.(2025·湖北高一期中)狄里克雷是解析数论的创始人之一，1837年他提出“狄里克雷函数”D下列说法中，正确的是(　 　) A.D(D(x))＝1 B.D(x)＝1是偶函数 C.D(x＋y)＝D(x)＋D(y) D.D(xy)＝D(x)·D(y) 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(2025·湖南株洲高一期中)已知函数f为奇函数，则 2a＋b等于　 　.  13.(2025·温州高一期中)已知幂函数f(x)的图象经过第二象限，且在区间(0， ＋∞)上单调递减，则一个符合要求的f(x)＝　 　.  14.函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax－1，若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f＝g，则a的取值范围是　 　.  四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025·宁波高一期中)已知函数f(x)＝的图象过点(1，1)和. (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在区间上的单调性，并用单调性的定义证明. 16.(15分)(2025·绍兴高一期中)设f(x)为定义在R上的偶函数，如图所示为函数f(x)图象的一部分，当0≤x＜2时，函数f(x)的图象是线段OA；当x≥2时，函数f(x)的图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的抛物线的一部分. (1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)在y轴左侧的图象； (2)求函数f(x)在上的解析式； (3)写出函数f(x)的单调区间. 　　　 17.(15分)(2025·江苏连云港高一期中)定义在R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0. (1)证明：函数f(x)是奇函数； (2)判断函数f(x)在R上的单调性并证明. 18.(17分)已知函数f(t)＝t＋，t∈. (1)求f(t)的值域G； (2)若对于G内的所有实数x，不等式－x2＋2mx－m2＋2m≤1恒成立，求实数m的取值范围. 19.(17分)(2025·山东济宁高一期中)设y＝f(x)是定义在[m，n](m＜n)上的函数，若存在x0∈(m，n)，使得y＝f(x)在区间上严格递增，且在区间上严格递减，则称y＝f(x)为“含峰函数”，x0称为峰点，[m，n]称为含峰区间. (1)试判断y＝－x2＋x是否为[0，1]上的“含峰函数”?若是，请指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c∈R)是定义在[m，3]上，峰点为1的“含峰函数”，且值域为[0，2]，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $