专题2.7对数及对数函数讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦对数与对数函数专题，涵盖对数概念、性质、运算法则、对数函数图象与性质及反函数等核心考点，按知识梳理-题型突破-训练巩固逻辑架构，通过考点系统梳理、解题方法指导、真题模拟训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破对数运算、函数性质应用等难点。 资料以题型分层设计为特色，设置对数式化简求值、函数图象应用等四类题型，结合2025-2026模拟真题，通过典例精讲与跟踪训练培养学生数学思维与模型意识，如在对数函数性质应用中引导学生分析定义域与单调性关系，助力学生高效掌握考点，为教师精准把控复习节奏提供实用教学资源。

专题2.7对数与对数函数 知识梳理 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1) 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0) 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．换底公式的三个重要结论 ①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大． 【题型1 对数式的化简与求值】 【例1】（1）（2026·北京·模拟预测）设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． （2）（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 跟踪训练 1．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________． 2.（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 3．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________． 4.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 5.（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 6.（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 对数函数的图象及应用】 【例2】若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) 　 跟踪训练 1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　) 2.（25-26高二下·江苏常州·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 4.若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．　 5.（多选 2025·广东深圳·模拟预测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 对数函数的性质及应用】 【例3】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最小值为0，求a的值． 跟踪训练 1．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3.（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·山东聊城·模拟预测）若，则实数的取值范围是__________. 5.（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 6.（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【题型4 对数及对数函数的应用】 【例4】（2026·安徽合肥·模拟预测）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（     ）（参考数据：） A．10年 B．12年 C．23年 D．24年 跟踪训练 1．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 2.（25-26高三下·辽宁·阶段检测）中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（    ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：. A．10 B．11 C．12 D．13 课后作业： 1.（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 2．函数y＝的定义域是(　　) A．[1，2] B．[1，2) C． D． 3．（2026·陕西渭南·三模）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 5.（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 6.（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7.（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 8.（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 9.（2026·安徽·模拟预测）已知 ,则 （     ） A．40 B．32 C．72 D．64 10.（2026·四川德阳·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 11.（多选2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选 2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 13.（多选 2026·陕西榆林·模拟预测）设函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．曲线与曲线有且仅有个交点 14.（2026·江西吉安·一模）若，则___________. 15.已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________． 16.（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 17.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为______. 18．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 19.（2025·上海闵行·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 20.（22-23高三上·河南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7对数与对数函数 知识梳理 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1) 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0) 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．换底公式的三个重要结论 ①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大． 【题型1 对数式的化简与求值】 【例1】（1）（2026·北京·模拟预测）设，，为非零实数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数式化为对数式，再根据对数运算的性质即可求解． 【详解】设，则， 所以． （2）（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 跟踪训练 1．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________． 解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝. 答案： 2.（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【详解】由，得 ，所以 3．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________． 解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：2 4.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 【答案】16 【难度】0.72 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 5.（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】对数的运算、等比数列的定义 【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可. 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 6.（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 【题型2 对数函数的图象及应用】 【例2】若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　) 　【答案】B 由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B． 跟踪训练 1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　) 解析：选C．函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D．选C． 2.（25-26高二下·江苏常州·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、函数奇偶性的定义与判断 【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解. 【详解】令函数，定义域为， ，故是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项、， 当时，，排除选项， 所以函数的图象大致为选项. 3.（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用、由对数函数的单调性解不等式、对数函数图象的应用 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 4.若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．　 解析：由题意知f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1. 答案：1 5.（多选 2025·广东深圳·模拟预测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、对数函数图象的应用 【分析】根据题意单调递减，且，结合复合函数单调性求出答案. 【详解】的图象经过第二、三、四象限， 故单调递减，且，解得， 根据复合函数单调性可知，单调递减，故. 故选：BD 【题型3 对数函数的性质及应用】 【例3】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最小值为0，求a的值． 【解】　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数f(x)的定义域为(－1，3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)． (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a＝.故实数a的值为. 跟踪训练 1．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 3.（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、求对数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 4.（2026·山东聊城·模拟预测）若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【详解】满足底数且， 由，可得或，结合且，可得， 故由，可得，即，解得或， 故实数的取值范围是. 5.（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由对数（型）的单调性求参数、根据对数函数的值域求参数值或范围、求指数型复合函数的值域 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 6.（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、函数对称性的应用、对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 【题型4 对数及对数函数的应用】 【例4】（2026·安徽合肥·模拟预测）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（     ）（参考数据：） A．10年 B．12年 C．23年 D．24年 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【详解】初始种群数量为，经过年后，种群数量变为. 根据题意，种群数量变为原来的1000万倍，即. 两边同时除以，得. 两边同时取常用对数，有. 由于，且 ，代入得： ，解得. 因此该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过10年. 跟踪训练 1．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 2.（25-26高三下·辽宁·阶段检测）中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（    ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】设至少需要小时，则有 . 所以至少需要经过小时才能合法驾驶. 课后作业： 1.（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】对数的运算 【详解】. 2．函数y＝的定义域是(　　) A．[1，2] B．[1，2) C． D． 解析：选C．由即 解得x≥.故选C． 3．（2026·陕西渭南·三模）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】判断命题的必要不充分条件、对数的运算性质的应用、由对数函数的单调性解不等式 【详解】，， 当，，则，，此时； 当，，则，，此时； 充分性不成立. 由，得，即； ，，由基本不等式得（当且仅当时等号成立）； ； . 必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 4.（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【详解】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 5.（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求反函数、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 6.（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】对数的运算、比较对数式的大小、对数的运算性质的应用 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 7.（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】对数的运算、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【详解】已知衰减公式，当的质量衰减为最初的时，满足： ，即， 两边取对数得：， 则， 即． 8.（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】对数函数的概念判断与求值、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 9.（2026·安徽·模拟预测）已知 ,则 （     ） A．40 B．32 C．72 D．64 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据题干信息构造单调函数，将换元转化为，利用函数单调性得，即，代入原式即可求出. 【详解】令，易知在上单调递增. 由，得. 对变形，设，则. 代入得，即. 因为单调递增，函数值相等则自变量相等，所以. 即，也就有. 结合，替换得. 10.（2026·四川德阳·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.5 【知识点】对数的运算、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】将，变形为，令，再用导数法证明其单调性即可. 【详解】根据题意，可知，，， ∵， ∴， 令，，则， ∵， 令， ∵， ∴， 即对于任意的，恒有， ∴在上单调递增， ∴. 11.（多选2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.62 【知识点】对数的运算、根式的化简求值、对数的运算性质的应用、指数幂的运算 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 12．（多选 2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及最值判断B,D，根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断C. 【详解】，解得， 即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，D选项正确． 13.（多选 2026·陕西榆林·模拟预测）设函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．曲线与曲线有且仅有个交点 【答案】ABD 【难度】0.42 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算性质的应用、比较函数值的大小关系、求函数零点或方程根的个数 【分析】先确定函数的定义域，再用函数的奇偶性的定义可得A对错；由函数的性质可判断B，根据函数的奇偶性及单调性可判断C；对D构造函数，用导数判断函数的零点可得. 【详解】由函数的定义域：由，，得， 即函数的定义域为. 对于A：，满足奇函数定义，A正确； 对于B ：化简，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递减，由函数的性质得函数在单调递增，故B正确； 对于C，由奇函数性质，， 所以不等式可化为： ， ，，所以, 又因为在上单调递增，得，故原不等式错误，故C错误； 对于D，设，因为均为奇函数， 所以是奇函数，只需分析： 当时，，即是一个交点； 当时，求导得， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递减，，因此在无零点； 因为是奇函数，所以在无零点， 因此函数在有且仅有零点，故D正确. 14.（2026·江西吉安·一模）若，则___________. 【答案】2 【难度】0.82 【知识点】对数的运算 【详解】因为，所以，， 代入得. 15.已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________． 解析：由于a>0，且a≠1，所以u＝ax－3为增函数， 所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，所以a>1. 又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，所以a－3>0，即a>3. 答案：(3，＋∞) 16.（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据分式和对数函数定义域的基本要求可求得的定义域，采用换元法可构造偶函数，将所求不等式化为，根据对数型复合函数和一次函数单调性可确定当时不等式的解，结合奇偶性可求得最终结果. 【详解】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 17.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为______. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数的值并验证即得. 【详解】因的值域为， 即，又在定义域内为增函数，故的最大值为4， 则，由，可得时，，解得， 此时的定义域为， 在上单调递增，在上单调递减， 则得，符合题意. 故答案为：1. 18．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立 19.（2025·上海闵行·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的最值、函数奇偶性的应用 【分析】（1）利用奇函数的定义求解； （2）由的表达式求出的表达式，利用换元法将设为，求出的取值范围，利用二次函数的图象求值域即可得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， ， 当时，，， ； （2）当时，，， ， 令， ，， ， 函数图象开口向上，对称轴为， ，   函数的值域为. 20.（22-23高三上·河南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）利用偶函数定义可得参数值，从而的解析式； （2）易知在上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即可； （3）原问题等价于在上的最小值不大于在上的最小值. 【详解】（1）由题意知， 即，所以，故. （2）由（1）知，，易知在上单调递增， 所以不等式恒成立，等价于， 即恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. （3）因为存在，对任意的，都有， 所以在上的最小值不大于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. 图象的对称轴方程为， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得； 当时，在上单调递减，，解得， 所以. 综上，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $