2.2.1直线的点斜式方程导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过自行车下坡实例导入，联系确定直线的几何要素，衔接倾斜角和斜率知识，搭建从几何要素到代数方程的学习支架。 以生活问题驱动学习，培养用数学眼光观察现实世界的能力，知识梳理结合定义与特例，通过例题、变式及易错点提示发展数学思维的逻辑推理，分层习题设计帮助学生用数学语言精准表达直线关系，提升学习效率。

第二章　直线和圆的方程 2.2直线的方程 　2.2.1直线的点斜式方程 学习目标　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的 点斜式. 问题 自行车笔直下坡的坡道，已知坡道上一处固定点位和坡面倾斜程度，怎样快速写出这条坡道对应的直线表达式？ 一、直线的点斜式方程 知识梳理 （1）定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线 叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 （2）两种特殊的直线： 垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为 平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为 【例1】经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】过点(2，1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　) A.x＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.y＝2 【变式1-2】直线的点斜式方程为，则（ ）． A．直线过点，斜率为 B．直线过点，斜率为 C．直线过点，斜率为2 D．直线过点，斜率为2 【变式1-3】直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示（ ） A．任何一条直线 B．不过原点的直线 C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线 2、 直线的斜截式方程 （1）定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】①直线的斜截式是直线点斜式的特例。 ②一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距，特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 （2） 斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 【例2】若直线的斜率为2，且在y轴上的截距为﹣2，则直线的方程为（ ） A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+1 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x+2 【变式2-1】已知直线与直线互相垂直，直线与直线在y轴上的截距相等，则直线的方程为_________. 【变式2-2】下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是（ ） A． B． C． D． 易错点提示（1）点斜式和斜截式都不是万能的，需要存在斜率才可以使用，使用时注意别丢解（2）截距不是距离，可正可负可为零。 巩固加练 1.直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2.直线的斜率为，在轴上的截距为，则有 A．， B．， C．， D．， 3.过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 5.直线的图象可能是下列图中的（ ） A． B． C． D． 6. 直线l的倾斜角为60°，且在x轴上的截距为－，则直线l的方程为________. 7.已知点，求中BC边上的高所在直线的方程为 8.设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________. 9.已知两点，，求线段AB的垂直平分线的方程． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.2直线的方程 　2.2.1直线的点斜式方程 学习目标　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的 点斜式. 问题 自行车笔直下坡的坡道，已知坡道上一处固定点位和坡面倾斜程度，怎样快速写出这条坡道对应的直线表达式？ 参考答案　固定点位对应直线上已知的一点坐标，锁定坡道经过的位置。坡面倾斜程度就是直线的坡度，决定坡道延伸的走向。结合定点和倾斜坡度，就能用写出坡道对应的直线式子。 一、直线的点斜式方程 知识梳理 （1）定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 （2）两种特殊的直线： 垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为. 平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 【例1】经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点且斜率为2， 所以直线的方程为，即 【变式1-1】过点(2，1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　) A.x＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.y＝2 【答案】A 【解析】直线y＝－x－1的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x＝2. 答案　A 【变式1-2】直线的点斜式方程为，则（ ）． A．直线过点，斜率为 B．直线过点，斜率为 C．直线过点，斜率为2 D．直线过点，斜率为2 【答案】C 【解析】∵直线的方程为，∴直线的斜率为2，且经过定点． 故选：C 【变式1-3】直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示（ ） A．任何一条直线 B．不过原点的直线 C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线 【答案】D 【解析】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线． 故选：D. 2、 直线的斜截式方程 （1）定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】①直线的斜截式是直线点斜式的特例。 ②一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距，特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 （2） 斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 【例2】若直线的斜率为2，且在y轴上的截距为﹣2，则直线的方程为（ ） A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+1 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x+2 【答案】C 【解析】因为直线的斜率为2，且在y轴上的截距为﹣2， 所以直线的方程为y＝2x﹣2，故选：C 【变式2-1】已知直线与直线互相垂直，直线与直线在y轴上的截距相等，则直线的方程为_________. 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率.又因为直线在y轴上的截距为6，所以直线在y轴上的截距为6，所以直线的方程为 【变式2-2】下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距为，a>0，所以选项A，B都不成立； ②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不符合； ③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角， 直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距为，a<0， 所以只有C成立．故选：C. 易错点提示（1）点斜式和斜截式都不是万能的，需要存在斜率才可以使用，使用时注意别丢解（2）截距不是距离，可正可负可为零。 巩固加练 1.直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的倾斜角，所以直线的斜率为1，又直线经过点， 所以直线的方程为，即，故选：B 2.直线的斜率为，在轴上的截距为，则有 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由直线方程化为斜截式：.可得斜率，在轴上的截距为.故选：A 3.过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的斜率为1，所以的倾斜角为45°，所以所求直线的倾斜角为90°， 所以所求直线的方程为． 故选：B. 4.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 【答案】B 【解析】当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知B符合，其他均不符合. 5.直线的图象可能是下列图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若时，，，根据直线的斜率为及y轴上的截距为，可知选项D符合；若时，，，根据直线的斜率为及y轴上的截距为，选项中无符合条件图象.故选：D 6. 直线l的倾斜角为60°，且在x轴上的截距为－，则直线l的方程为________. 【答案】3x－y＋1＝0 【解析】　由题意可知，直线l的斜率为，且该直线过， ∴直线l的方程为y＝，即3x－y＋1＝0. 7.已知点，求中BC边上的高所在直线的方程为 【答案】 【解析】依题意作图如下： 直线B的斜率，∴BC边上的高的斜率为， 故其直线方程为：，整理得：； 8.设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________. 【答案】[－2，2] 【解析】b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[－2，2]. 9.已知两点，，求线段AB的垂直平分线的方程． 【答案】 【解析】因为两点，， 所以线段中点坐标为，， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：， 整理得：. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $