第七章 第8节 向量法、几何法求空间距离 训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间距离计算，系统整合向量法与几何法，通过分层题型构建“概念-公式-应用”逻辑链，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到直线距离|选择1/填空3、5/解答6(1)、8(2)|向量法（方向向量投影公式）、几何法（构造直角三角形）|由空间向量概念推导距离公式，结合几何体特征选择坐标法或几何构造| |点到平面距离|选择2/填空4/解答6(2)、9(2)|向量法（法向量公式）、几何法（体积法）|从平面法向量定义延伸至距离计算，通过坐标系实现代数化求解| |综合距离|解答7(2)|转化法（线面距离→点面距离）|融合平行关系判定与距离转化，体现空间问题化归思想|

第8节　向量法、几何法求空间距离 一、单选题 1. (2025秋·叶县校级期中)已知点，，，则点到直线的距离为 （ ） A.  B.  C.  D.  2. (2025秋·南皮县校级期中)在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为 （ ） A.  B.  C.  D.  二、填空题 3. (2026·随州模拟)点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是___________. 4. (2025秋·浦东新区校级期末)在空间直角坐标系中，点A(2,0,0)为平面α外一点，点B(0,1,1)为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,-2)，则点A到平面α的距离是________. 5. (2026·思明区校级模拟)直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为________. 三、解答题 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点. (1)求B1到直线D1E的距离; (2)求B1到平面D1EF的距离. 7.(2026·肇庆模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面APC⊥平面PCD. (1)证明:CD⊥平面PAC; (2)若AB＝PA＝BC＝3，E为PD的中点，求PB到平面AEC的距离. 8.(2026·湖州调研)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA. (1)证明:OA⊥BC; (2)当AO＝1时，求点E到直线BC的距离. 9.(2026·长沙质检)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. (1)求BF; (2)求点C到平面AEC1F的距离. 第8节　向量法、几何法求空间距离 一、单选题 1. (2025秋·叶县校级期中)已知点，，，则点到直线的距离为 （ ） A.  B.  C.  D.  答案　B 解析　因为，，所以，，可知，，，所以点到直线的距离为. 2. (2025秋·南皮县校级期中)在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为 （ ） A.  B.  C.  D.  答案　B 解析　解：，则点到平面的距离为. 二、填空题 3. (2026·随州模拟)点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是___________. 答案　 解析　由题意，点和，可得，且， 所以点到直线的距离是. 4. (2025秋·浦东新区校级期末)在空间直角坐标系中，点A(2,0,0)为平面α外一点，点B(0,1,1)为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,-2)，则点A到平面α的距离是________. 答案　. 解析　由题意知，，因为平面α的一个法向量为，所以点A到平面α的距离为. 5. (2026·思明区校级模拟)直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为________. 答案　. 解析　，，则，，直线的方向向量为，，在上投影的长度为，故点到的距离为. 三、解答题 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点. (1)求B1到直线D1E的距离; (2)求B1到平面D1EF的距离. 解　(1)以D为原点， DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，E(2，1，0)，B1(2，2，2)，＝(2，1，－2)，＝(0，－1，－2)， 所以B1到直线D1E的距离为＝2. (2)由(1)得F(0，2，1)，＝(0，2，－1)， 设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取y＝2，则x＝3，z＝4，得n＝(3，2，4)， 所以B1到平面D1EF的距离为 . 7.(2026·肇庆模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面APC⊥平面PCD. (1)证明:CD⊥平面PAC; (2)若AB＝PA＝BC＝3，E为PD的中点，求PB到平面AEC的距离. (1)证明　如图，在平面PAC内，过点A作AH⊥PC，交PC于点H. 因为平面APC⊥平面PCD，平面APC∩平面PCD＝PC，AH⊂平面PAC，AH⊥PC， 所以AH⊥平面PCD，又CD⊂平面PCD， 所以AH⊥CD. 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD，因为PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC. (2)解　法一　如图，连接BD交AC于点O，连接OE. 易知OE为△PBD的中位线，所以PB∥OE. 因为PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， 所以PB∥平面AEC，所以PB到平面AEC的距离，即为点B到平面AEC的距离. 由(1)知CD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC， 所以CD⊥AC. 因为AB∥CD，所以AB⊥AC. 因为AB＝BC＝3，所以AC＝4. 因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AD， 因为CD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC， 所以PC⊥CD， 所以△PAD，△PCD是直角三角形. 所以PD＝， 因为E是PD的中点， 所以AE＝CE＝PD＝， 则S△ACE＝×4×＝3， S△ABC＝×3×4＝6. 设点B到平面AEC的距离为d， 则V三棱锥B－AEC＝S△ACE·d＝S△ABC·PA，解得d＝， 即PB到平面AEC的距离为. 法二　如图， 连接BD交AC于点O，连接OE. 易知OE为△PBD的中位线，所以PB∥OE. 因为PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， 所以PB∥平面AEC， 所以PB到平面AEC的距离， 即为点B到平面AEC的距离. 由(1)知CD⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC， 所以CD⊥AC. 因为AB∥CD， 所以AB⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD， 所以PA，AB，AC两两垂直. 以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系. 则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，3)， 所以＝(0，4，0)，＝(0，0，3)， ＝(－3，4，0)， ()＝()＝. 设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，则x＝1，y＝0， 所以平面AEC的一个法向量为n＝(1，0，1)， 则点B到平面AEC的距离d＝，即PB到平面AEC的距离为. 8.(2026·湖州调研)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA. (1)证明:OA⊥BC; (2)当AO＝1时，求点E到直线BC的距离. (1)证明　因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， 所以AO⊥平面BCD， 又BC⊂平面BCD，所以OA⊥BC. (2)解　取OD的中点F，连接CF， 因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD， 过点O作OM∥CF交BC于点M， 则OM⊥OD， 所以OM，OD，OA两两垂直， 以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(0，－1，0)，C，E， 法一　则， 所以点E到直线BC的距离 d＝＝. 法二　又＝＝， 所以|cos<>|＝＝， 则sin<>＝， 所以点E到直线BC的距离为||sin<>＝×. 9.(2026·长沙质检)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. (1)求BF; (2)求点C到平面AEC1F的距离. 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3). 设F(0，0，z). ∵由题意可得四边形AEC1F为平行四边形， ∴由，得(－2，0，z)＝(－2，0，2)， ∴z＝2，∴F(0，0，2)， ∴＝(－2，－4，2)，于是||＝2， 即BF＝2. (2)设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)， ＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)， 由 得 取z＝1，则y＝－，x＝1， ∴n＝. 又＝(0，0，3)， ∴点C到平面AEC1F的距离d＝. 学科网（北京）股份有限公司 $