5.1.2弧度制课后练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习围绕弧度制，通过基础概念辨析、情境问题应用、综合实践探究三层设计，实现从知识理解到能力迁移的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|角度弧度互化、终边相同角判断、象限确定|以选择题1-4为主，直接考查定义与基本运算，强化概念记忆，培养运算能力| |提升层|时钟夹角计算、扇形面积黄金比例应用、多选项终边位置分析|通过情境题（题5）、多选题（题6-7）培养几何直观与推理意识，深化知识联系| |应用层|铭牌面积优化、终边角集合表示、翻滚路程计算|解答题11-14结合实际问题，发展模型意识与应用能力，体现数学与现实的联系|

课时四十三　弧度制 课后练习 一、选择题 1.将315°化为弧度为(　　) A. B. C. D. 2.与角终边相同的角是(　　) A. B.2kπ-(k∈Z) C.2kπ-(k∈Z) D.(2k+1)π+(k∈Z) 3.设角α=-2弧度,则α所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.下列转化结果错误的是(　　) A.60°化成弧度是 B.-化成角度是-600° C.化成角度是15° D.-150°化成弧度是- 5．如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　) A. 　　　 B． C． 　　　D． 6．(多选)若角α满足α＝＋(k∈Z)，则α的终边可能在(　　) A．第一象限 　　　 　 B．第二象限 C．x轴非负半轴上 　　 　　 D．y轴非正半轴上 7．(多选)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为S1，圆心角为α1，天坛中剩余部分扇形的面积为S2，圆心角为α2，(α1<α2)当S1与S2的比值为≈0.618时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么(　　) A．α1≈137.5° B．α1≈127.5° C．α2＝(－1)π D．＝ 二、填空题 8.已知角α=,则与α终边相同的角β的集是　　　　　　　　　　　　　　　.  9.-是第　　　　　象限的角.  10．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为________． 三、解答题 11．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30 m，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值． 12.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 13.已知α=1 690°, (1)把角α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式; (2)求角θ,使角θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π). 14.如图,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块的宽与桌面所成的角为30°.求点A走过的路程及走过的弧度所对扇形的总面积. 课时四十三　弧度制 课后练习（练习） 一、选择题 1.将315°化为弧度为(　　) A. B. C. D. 解析:315°=. 答案:D 2.与角终边相同的角是(　　) A. B.2kπ-(k∈Z) C.2kπ-(k∈Z) D.(2k+1)π+(k∈Z) 解析:选项A错误,=2π+,与角终边相同;选项B正确,2kπ-,k∈Z,当k=2时,2×2π-,与有相同的终边;选项C错误,2kπ-,k∈Z,当k=1时,2×π-,与有相同的终边;选项D错误,(2k+1)π+,k∈Z,当k=0时,(2×0+1)π+. 答案:B 3.设角α=-2弧度,则α所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵-π<-2<-, ∴2π-π<2π-2<2π-,即π<2π-2<, ∴2π-2为第三象限角,∴α为第三象限角. 答案:C 4.下列转化结果错误的是(　　) A.60°化成弧度是 B.-化成角度是-600° C.化成角度是15° D.-150°化成弧度是- 解析:选项A正确,60°=60×;选项B正确,-=-×180°=-600°;选项C正确,×180°=15°;选项D错误,-150°=-150×=-. 答案:D 5．如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　) A. 　　　B． C． 　　　D． 解析：因为“10”至“2”所夹的钝角为×4＝，时针偏离“10”的角度为×＝，所以时针与分针的夹角应为－＝. 答案：B 6．(多选)若角α满足α＝＋(k∈Z)，则α的终边可能在(　　) A．第一象限 　　　 　B．第二象限 C．x轴非负半轴上 　　 　　D．y轴非正半轴上 解析：当k＝0时，α＝，此时α的终边在第一象限，故A正确；当k＝1时，α＝，此时α的终边在第二象限，故B正确；若α的终边在x轴非负半轴上，则＋＝2k0π(k0∈Z)，即k＝3k0－∉Z，故C错误；若α的终边在y轴非正半轴上，则＋＝2k0π－(k0∈Z)，即k＝3k0－1∈Z，故D正确． 答案：ABD 7．(多选)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为S1，圆心角为α1，天坛中剩余部分扇形的面积为S2，圆心角为α2，(α1<α2)当S1与S2的比值为≈0.618时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么(　　) A．α1≈137.5° B．α1≈127.5° C．α2＝(－1)π D．＝ 解析：设天坛的圆形的半径为R， 由＝＝＝，故D正确； 由α1＋α2＝2π，所以α2＋α2＝2π， 解得α2＝(－1)π，故C正确； 由≈0.618，则－1≈1.236， 所以α2＝(－1)π≈1.236×180°≈222.5°， 所以α1≈360°－222.5°＝137.5°，故A正确，B错误． 答案：AC 二、填空题 8.已知角α=,则与α终边相同的角β的集合是　　　　　　　　　　　　　　　.  答案: 9.-是第　　　　　象限的角.  解析:因为-=-6π-,而-是第三象限的角,所以-是第三象限的角. 答案:三 10．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为________． 解析：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝， 作OM⊥AB，垂足为M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，AB＝r， ∴l＝r，由弧长公式l＝|α|r，得α＝＝＝. 答案： 三、解答题 11．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30 m，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值． 解：(1)根据题意， 可算得＝θx(m)，＝10θ(m). 因为AB＋CD＋＋＝30， 所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30， 所以，θ＝(0<x<10). (2)解：根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ(102－x2)＝×＝－(x－)2＋， 当x＝(m)时，ymax＝(m2). 综上所述，当x＝ m时，铭牌的面积最大，且最大面积为 m2. 12.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 解:如图,330°角的终边与-30°角的终边相同,-30°=-,而75°=75×, 故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 13.已知α=1 690°, (1)把角α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式; (2)求角θ,使角θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π). 解:(1)1 690°=4×360°+250°=4×2π+. (2)因为θ与α终边相同,所以θ=2kπ+(k∈Z). 又因为θ∈(-4π,4π),所以-4π<2kπ+<4π, 解得-<k<(k∈Z). 所以k=-2,-1,0,1. 所以θ的值是-,-. 14.如图,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块的宽与桌面所成的角为30°.求点A走过的路程及走过的弧度所对扇形的总面积. 解:由题意可知圆弧的半径是2 dm,圆心角为;圆弧的半径是1 dm,圆心角为;圆弧的半径是 dm,圆心角为,故点A走过的路程即为3段圆弧之和,即2×+1×π(dm);扇形的总面积是×2×π+(dm2). 学科网（北京）股份有限公司 $