2.1.2 两条直线平行和垂直的判定导学案—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕两条直线平行和垂直的判定展开，通过马路上平行车道与十字路口的现实情境导入，承接直线倾斜角与斜率的已有知识，引导学生从倾斜角规律中发现斜率关系，搭建知识过渡的学习支架。 资料注重联系现实培养数学眼光，通过知识梳理强调斜率存在与否的前提条件发展数学思维，例题与变式题分层设计，结合易错点提示和巩固加练，帮助学生用数学语言精准表达几何关系，提升逻辑推理与应用能力。

第二章　直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标　能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 问题 马路上双向平行车道永不相交，十字路口道路相交成直角，这两种位置关系的直线，倾斜角度存在什么规律，能用来判定平行和垂直？ 参考答案　互相平行的车道倾斜角度完全相同，对应两条直线斜率相等；十字路口横竖道路夹角为直角，两条直线倾斜程度相互制约。 一、直线的平行 知识梳理 （1）设两条不重合的直线的斜率分别为. 若，则与的倾斜角与相等。由，可得，即. 因此， （2）当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 【注意】公式成立的前提条件是： ①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 【例1】下列说法正确的是( ) A．若两直线和的斜率相等，则∥； B．若∥，则两直线的斜率相等； C．若直线和中有一斜率不存在，另一斜率存在，则相交； D．若直线斜率都不存在，则∥. 【答案】C 【解析】∵＝时，两直线可能平行或重合，∴A错； 又∥时，两直线斜率可能都不存在，即都垂直于x轴，∴B错； 又斜率不存在，可能重合，∴D错； 故只有C正确． 【变式1-1】已知过点、的直线与过点、的直线平行，则m的值为______． 【答案】-2 【解析】由题意得，，.由于AB∥CD，即， 所以＝，所以m＝-2. 【变式1-2】若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________. 【答案】 【解析】因为直线与直线平行，直线的斜率为，所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为 2、 直线的垂直 设两条直线的斜率分别为.若，则. 【注意】①公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； ②当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【例2】直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 【答案】C 【解析】直线2x＋y＋m＝0的斜率＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为＝－，则≠，且≠－1. 【变式2-1】若直线a，b的斜率分别为方程的两个根，则a与b的位置关系为（ ） A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．无法确定 【答案】C 【解析】由题意，∴两直线垂直．故选：C 【变式2-2】已知点，，，，顺次连接，，，，所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【解析】由已知可得：，，, ∴，，，即，不平行于，，，故构成的图形为直角梯形. 故选：B 易错点提示（1）每一个直线都有一个确定的倾斜角，但不一定都有斜率，当直线的倾斜角是90°时，没有斜率。（2）直线不一定是函数。 巩固加练 1.下列说法正确的有 (　　) ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l1∥l2，则k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】　A 【解析】　当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确． 2.已知点A（−2，−5），B（6，6），点P在y轴上，且∠APB=90°，则点P的坐标为（ ） A．（0，−6） B．（0，7） C．（0，−6）或（0，7） D．（−6，0）或（7，0） 【答案】C 【解析】由题意可设点P的坐标为（0，y）．因为∠APB=90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．又，，kAP·kBP=−1，所以，解得y=−6或y=7．所以点P的坐标为（0，−6）或（0，7） 3.已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选D. 4.若点A(0,1)，B(，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为(　　) A．－30° B．30° C．150° D．120° 【答案】C 【解析】kAB＝＝，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°， 故选C 5.“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率， 即当和都垂直于轴时，与仍然平行， 但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立； 6.（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（ ） A．经过点，，经过点， B．的斜率为1，经过点， C．经过点，，经过点， D．经过点，，经过点， 【答案】CD 【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为． 对于A．，，，与不平行． 对于B，，，，故或与重合 对于C，，，则有． 又，则A，B，M不共线．故. 对于D，由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有 7.判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行. 【解析】（1）经过，两点，则， 则，可得两直线平行. （2）经过，两点，可得平行于x轴， 平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以； （3）经过，两点，， 经过，两点，则， 所以. 8. 已知，，三点，试判断的形状． 【答案】是直角三角形 【解析】边所在直线的斜率，边在直线的斜率． 由，得，即． 所以是直角三角形． 9.已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形． 【答案】证明见解析. 【解析】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在， 所以，，，， 所以，，， 所以四边形四条边两两垂直，所以四边形四个内角都为， 所以四边形是矩形. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标　能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 问题 马路上双向平行车道永不相交，十字路口道路相交成直角，这两种位置关系的直线，倾斜角度存在什么规律，能用来判定平行和垂直？ 一、直线的平行 知识梳理 （1）设两条 的直线的斜率分别为. 若，则与的倾斜角与相等。由，可得，即 因此， （2）当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 【注意】公式成立的前提条件是： ①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 【例1】下列说法正确的是( ) A．若两直线和的斜率相等，则∥； B．若∥，则两直线的斜率相等； C．若直线和中有一斜率不存在，另一斜率存在，则相交； D．若直线斜率都不存在，则∥. 【变式1-1】已知过点、的直线与过点、的直线平行，则m的值为______． 【变式1-2】若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________. 2、 直线的垂直 设两条直线的斜率分别为.若，则 【注意】①公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； ②当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【例2】直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 【变式2-1】若直线a，b的斜率分别为方程的两个根，则a与b的位置关系为（ ） A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．无法确定 【变式2-2】已知点，，，，顺次连接，，，，所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 易错点提示（1）每一个直线都有一个确定的倾斜角，但不一定都有斜率，当直线的倾斜角是90°时，没有斜率。（2）直线不一定是函数。 巩固加练 1.下列说法正确的有 (　　) ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l1∥l2，则k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知点A（−2，−5），B（6，6），点P在y轴上，且∠APB=90°，则点P的坐标为（ ） A．（0，−6） B．（0，7） C．（0，−6）或（0，7） D．（−6，0）或（7，0） 3.已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　　) A. B. C. D. 4.若点A(0,1)，B(，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为(　　) A．－30° B．30° C．150° D．120° 5.“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 6.（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（ ） A．经过点，，经过点， B．的斜率为1，经过点， C．经过点，，经过点， D．经过点，，经过点， 7.判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 8. 已知，，三点，试判断的形状． 9.已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $